實數連續性的奧秘

孟飛

整數由小到大的變化是跳躍式的。從1跳到2，跨過了許多分數。有理數從1變到2，中間似乎沒有跳躍，因為1與2之間的有理數是密密麻麻的，找不到一段空白。其實有理數從l變到2并非連續地變化，因為中間跨過了許多無理數，例如■。

有理數再添上無理數，湊成全體實數。我們說，實數是可以連續變化的。說變量x從0變到1，是說x要取遍0到1之間的一切實數。

在直線上取定一個原點，一個單位長和一個方向，直線就成了數軸。數軸上的每個點代表一個實數，每個實數都可以用數軸上的一個點表示。實數可以連續變化，就是說點可以在數軸上連續地運動。

如何精確說明這里所說的連續性的含義呢？

設想用一把鋒利的刀猛砍數軸，把數軸砍成兩截。這一刀一定會砍在某個點上，即砍中了一個實數。如果能夠砍在一個縫隙上，數軸就不算連續的了。

設數軸是從點A處被砍斷的。這個點A在哪半截數軸上呢？答案是不在左半截上，就在右半截上。這是因為點不可分割，又不會消失，所以不會兩邊都有，也不會兩邊都沒有。

從以上的假想中領會到所謂數軸的連續性，就是不管把它從什么地方分成兩半截，總有半截是帶端點的，而另外半截沒有端點。

實數的連續性，也就可以照樣搬過來：“把全體實數分成甲、乙兩個非空集合，如果甲集里任一個數x比乙集里的任一個數y都小，那么，或者甲集里有最大數，或者乙集里有最小數，二者必居其一，且僅居其一。這就叫作實數的連續性。”

有理數系不滿足這個條件。如把全體負有理數和平方不超過2的非負有理數放在一起組成甲集，所有平方超過2的正有理數組成乙集，則甲集無最大數，乙集也無最小數。若從甲乙兩集之間下手砍一刀，就砍在縫里了。在實數系中，這個縫就是用無理數■填起來的。

這樣把有理數分成甲、乙兩部分，使乙中每個數比甲中每個數大，這種分法叫作有理數的一個戴德金分割，簡稱分割。有理數的每個分割確定一個實數。有縫隙的分割確定一個無理數，沒有縫隙的分割確定一個有理數。這樣建立實數系的方法是德國數學家戴德金（J.W.R. Dedekind，1831～1916年）提出來的。