圖象題解法探究

王勇

識 ?圖

給出解析式或文字語言描述，要求同學(xué)們讀懂題意，緊扣函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等，有時還需借助函數(shù)的零點、特殊點對應(yīng)的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)知識、極限思想等.此類問題結(jié)合選擇支利用排除法不難找出正確答案.

例1 ?（2014年高考江西卷）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)[y=ax2-x+a2]與[y=a2x3-2ax2+x+a（a∈R）]的圖象不可能的是（ ? ）

[A ? B C D]

命題意圖 ?本題考查函數(shù)圖象的識別，意在考查考生利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.

解析 ?（1）令[a=0]，則函數(shù)[y=ax2-x+a2]與[y=a2x3-2ax2+x+a]分別為[y=-x]與[y=x]，對應(yīng)的圖象是選項D中的圖象.

記[f（x）=ax2-x+a2]，[g（x）=a2x3-2ax2+x+a]，

（2）取[a=12]，則[g（0）>f（0）>0].

而[f（x）=12x2-x+14=12（x-1）2-14]，令[g（x）=0]，得[x=23，2]，易知[g（x）]在區(qū)間[（-∞，23）]和[（2，+∞）]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[（23，2）]上單調(diào)遞減，

所以[g（x）]的極小值為[g（2）=12].

又[f（2）=14]，所以[g（2）>f（2）]，所以選項A中的圖象有可能.

（3）取[a=2]，則[g（0）>f（0）>0]，令[g（x）=0]，得[x=16，12]，易知[g（x）]在區(qū)間[（-∞，16）]和[（12，+∞）]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[（16，12）]上單調(diào)遞減.

所以[g（x）]的極小值為[g（12）=2].

又[f（12）=1]，

所以[g（12）>f（12）]，所以選項C中的圖象有可能. 利用排除法可知，本題應(yīng)選B.

點撥 ?給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象是近幾年高考的重點和熱點，多數(shù)需要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷其變化趨勢，或者利用導(dǎo)數(shù)求極值（最值）來研究函數(shù)零點.

釋 ?圖

利用所給的函數(shù)圖象（或部分函數(shù)圖象），通過觀察、探究揭示其蘊含的代數(shù)意義或幾何意義，再結(jié)合有關(guān)數(shù)學(xué)知識可順利解決問題.

例2 ?（2014年高考湖北卷）如圖1所示，函數(shù)[y=f（x）]的圖象由兩條射線和三條線段組成. 若[?x∈R]，[f（x）>f（x-1）]，則正實數(shù)[a]的取值范圍為 ? ? ? ? ?.

圖1

命題意圖 ?本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移以及恒成立問題，意在考查考生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.

解析 ?“[?x∈R，fx>fx-1]”等價于“函數(shù)[y=fx]的圖象恒在函數(shù)[y=fx-1]的圖象的上方”，函數(shù)[y=fx-1]的圖象是由函數(shù)[y=fx]的圖象向右平移1個單位而得到，如圖2所示，要使[?x∈R，][fx>fx-1]，則[3a--3a<1]，解得[a<16]，又[a]為正實數(shù)，故[a]的取值范圍為[0，16].

圖2

點撥 ?透徹領(lǐng)悟“[?x∈R，fx>fx-1]”的含義是解題的突破口，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題是快速求解的關(guān)鍵.

例3 ?（2014年高考陜西卷）如圖3，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）. 已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（ ? ）

[ 圖3]

A. [y=12x3-12x2-x] ? ?B. [y=12x3+12x2-3x]

C. [y=14x3-x] ? ? ? ? D. [y=14x3+12x2-2x]

命題立意 ?本題考查考生運用函數(shù)知識解決實際問題的能力和對圖形的觀察能力. 本題可采用檢驗的方法，也可根據(jù)已知條件逐步進行求解.

解法一 ?由題意可知，該三次函數(shù)滿足以下條件：過點[（0，0）]，[（2，0）]，在[x∈（π2，π]]處的切線方程為[y=-x]，在[（2，0）]處的切線方程為[y=3x-6]，以此對選項進行檢驗. A選項，[y=12x3-12x2-x]，顯然過兩個定點[（0，0）]，[（2，0）]，又[y=32x2-x-1]，則[yx=0=-1]，[yx=2=3]，故條件都滿足，由選擇題的特點知應(yīng)選A.

解法二 ?設(shè)該三次函數(shù)為[f（x）=ax3+bx2+cx+d]，則[f（x）=3ax2+2bx+c].

由題設(shè)有[f（0）=0?d=0，f（2）=0?8a+4b+2c+d=0，f（0）=-1?c=-1，f（2）=3?12a+4b+c=3，]

解得[a=12]，[b=-12]，[c=-1]，[d=0].

所以該函數(shù)的解析式為[y=12x3-12x2-x]，故選A.

點撥 ?三次函數(shù)是高中階段的一類重要函數(shù)，其圖象和性質(zhì)需要利用導(dǎo)數(shù)來解決，其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，而二次函數(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中起著重要作用，需要熟練掌握.

譯 ?圖

給出圖形，要求考生用另外的圖象去“轉(zhuǎn)譯”此圖形所蘊含的豐富信息.解決這類問題的基本步驟如下.

題示樣圖[仔細(xì)觀察轉(zhuǎn)譯含義]代數(shù)意義[以圖達意展現(xiàn)新貌]確定新圖

例4 ?（2014年高考新課標(biāo)Ⅰ卷） [ 圖4]如圖4，圓[O]的半徑為1，[A]是圓上的定點，[P]是圓上的動點，角[x]的始邊為射線[OA]，終邊為射線[OP]，過點[P]作直線[OA]的垂線，垂足為[M]. 將點[M]到直線[OP]的距離表示成[x]的函數(shù)[f（x）]，則[y=f（x）]在[0，π]上的圖象大致為（ ? ）

A ? ? ? ? ?B ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? D

命題意圖 ?本題考查建立函數(shù)解析式及函數(shù)的圖象，意在考查考生譯圖、用圖的能力.

解析 ?由題意知，[f（x）=cosx?sinx][=12|sin2x|]，其周期為[T=π2，]最大值為[12]，最小值為0. 結(jié)合選擇支可知本題應(yīng)選B.

點撥 ?在選擇題中，圖象問題常用到函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、特殊點處的函數(shù)值等.

用 ?圖

華羅庚指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”. 有些題若能借助圖象直觀去解，即數(shù)形結(jié)合，則可收到事半功倍的效果.

例5 ?（2014年高考重慶卷）已知函數(shù)[f（x）=][1x+1-3， ?x∈-1，0，x， ? x∈0，1，]且[g（x）=f（x）-mx-m]在[-1，1]上有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)[m]的取值范圍是（ ? ）

A. [-94，-2?0，12] ? ? B. [-114，-2?0，12]

C. [-94，-2?0，23] ? ? D. [-114，-2?0，23]

命題意圖 ?本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的零點、斜率公式及利用函數(shù)圖象求解參數(shù)的取值范圍，意在考查考生綜合運用函數(shù)圖象求解函數(shù)零點問題，運用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想解答問題的能力和計算能力.

解析 ?[g（x）=f（x）-mx-m]在[-1，1]上有且僅有兩個不同的零點就是函數(shù)[y=f（x）]的圖象與函數(shù)[y=m（x+1）]的圖象有且僅有兩個不同的交點， [ 圖5]在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)[f（x）=1x+1-3， ?x∈-1，0，x， ? x∈0，1]和函數(shù)[y=m（x+1）]的圖象，如圖5所示.

當(dāng)直線[y=m（x+1）]與[y=1x+1-3， ?x∈-1，0]和[y=x， ? x∈0，1]都相交時，[0

當(dāng)直線[y=m（x+1）]與[y=1x+1-3， ?x∈-1，0]有兩個交點時，由方程組[y=m（x+1），y=1x+1-3，]消去[y]得[mx2+（2m+3）x+m+2=0]，當(dāng)[Δ=9+4m=0]，即[m=-94]時，直線[y=m（x+1）]與[y=1x+1-3]相切，當(dāng)直線[y=m（x+1）]過點[（0，-2）]時，[m=-2]，所以[m∈-94，-2].

綜上，實數(shù)[m]的取值范圍是[-94，-2?0，12].

答案 ?A

點撥 ?在求解函數(shù)零點問題時往往要轉(zhuǎn)化為兩曲線的交點個數(shù)問題，需要先畫出函數(shù)的圖象，本題中在畫分段函數(shù)的圖象時要注意自變量的取值范圍，在函數(shù)的定義域內(nèi)畫圖，再利用直線[y=m（x+1）]過定點[（-1，0）]，通過轉(zhuǎn)動直線判斷何時有兩個交點，利用分界點處直線的斜率求解范圍.

例6 ?（2014年高考天津卷）已知函數(shù)[f（x）=][x2+3x，x∈R]. 若方程[f（x）-ax-1=0]恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)[a]的取值范圍為 ? ? ? ? .

命題意圖 ?本題主要考查函數(shù)的零點、函數(shù)的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，以及運算求解能力. [1 2 3 4 5][-5 -4 -3 -2 -1][-1][13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1] [ 圖6]

解析 ?畫出函數(shù)[f（x）=x2+3x]的大致圖象，如圖6所示.

令[g（x）=ax-1]，則函數(shù)[f（x）]的圖象與函數(shù)[g（x）]的圖象有且僅有4個不同的交點，顯然[a>0].

聯(lián)立[y=-x2-3x，y=a（1-x），]消去[y]，得[x2+（3-a）x+a=0]，

由[Δ=（3-a）2-4a=0?a2-10a+9=0?a=1]或[a=9]（舍去），由圖象可知，當(dāng)[0

聯(lián)立[y=x2+3x，y=a（x-1）]消去[y]得，[x2+（3-a）x+a=0].

由[Δ=（3-a）2-4a=0?a2-10a+9=0?a=9]或[a=1]（舍去），由圖象可知，當(dāng)[a>9]時，函數(shù)[f（x）]的圖象與函數(shù)[g（x）]的圖象有且僅有4個不同的交點.

綜上所述，若方程[f（x）-ax-1=0]恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)[a]的取值范圍為[（0，1）?（9，+∞）].

點撥 ?正確畫出函數(shù)[f（x）=x2+3x]和[g（x）=ax-1]的圖象是解題的關(guān)鍵，其中函數(shù)[g（x）=ax-1]的圖象是過點[（1，0）]的折線.