高考之前話審題

劉斌

執因尋果

任何一個數學問題都是由條件和結論兩部分構成的. 條件是解題的主要素材，充分利用條件間的內在聯系是解題的必經之路. 條件有明示的、有隱含的，審視條件更重要的是充分挖掘每一個條件的內涵和隱含的信息，發揮其解題功能.

例1 ?在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]，若|[OP]|<[12]，則|[OA]|的取值范圍是（ ? ）

A. [（0，52]] ? ? B. [（52，72]]

C. [（52，2]] ? D. [（72，2]]

審題思路 ?由[AB1]+[AB2]考慮建立直角坐標系→設出所有相關點坐標→尋求條件和結論的關系.

解析 ?建立如圖直角坐標系.

設[O（x，y）]，[B1（a，0）]，[B2（0，b）]，則[P（a，b）].

由已知得，

[（x-a）2+y2=1，①x2+（y-b）2=1，②（x-a）2+（y-b）2<14，③]

由③得[-（x-a）2-（y-b）2>-14]，④

①+②+④得，[x2+y2>74]，則[|OA|>72].

①+②得，[x2+y2≤（x-a）2+y2+x2+（y-b）2=2，]

則[|OA|≤2]，故[72<|OA|]≤[2].

執果索因

解決問題的最終目標就是求出結論或說明已給結論正確或錯誤. 因而解決問題時的思維過程大多都是圍繞著結論這個目標進行定向思考的. 審視結論，就是在結論的啟發下，探索已知條件和結論之間的內在聯系和轉化規律. 善于從結論中捕捉解題信息，善于對結論進行轉化，使之逐步靠近條件，從而發現和確定解題方向. 例如在利用函數的單調性和最值證明不等式問題中，若不等式中含有兩個（或兩個以上）變量，就有必要分析結論的結構以及和已知條件的關系，通過構造函數（單變量），利用求導完成.

例2 ?已知函數[f（x）=lnx].

（1）若直線[y=x+m]與函數[f（x）]相切，求實數[m]的值;

（2）設[0

審題思路 ?對第（2）問可作如下分析：由[00]，[f（b）-f（a）b-a]？[2a+b]?[lnb-lnab-a]？[2a+b]?[lnb-lna]？[2（b-a）a+b]?ln[ba]？[2（ba-1）ba+1]?[lnt]？[2（t-1）t+1] （設[t=ba]，[t>1]）?[lnt？]2（1-[2t+1]），到此可構造函數[f（t）=lnt-2（1-2t+1）（t>1）]，利用導數證明不等式.

解析 ?（1）由已知[f（x）=1x]，設切點坐標為[P（x0，y0）]，

則[1x0=1，y0=lnx0，y0=x0+m，]解得[x0=1，y0=1，m=-1.]

（2）設[f（t）=lnt-2（1-2t+1），t>1.]

則[f（t）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t（t+1）2]≥0，

則[f（t）]在（1，+∞）上遞增.

[∴f（t）>f（1）]，即[lnt>2（1-2t+1）.]

將[t=ba]，代入上式整理可得[lnb-lnab-a]>[2a+b]，即[f（b）-f（a）b-a]>[2a+b].

定性分析

幾何問題的審題過程大致是：讀題→標注→分析（確定幾何體的條件和基本量）→證明→建系→計算. 而分析確定幾何體的條件，明確基 本量是建立坐標系和求相關點坐標的基礎和前提，可先定性后定量.

例3 ?如圖，在正三棱錐[A-BCD]中，[E，F]分別是棱[AB，BC]的中點，[EF⊥DE]且[BC=1]，則正三棱錐[A-BCD]的體積為（ ? ）

A. [212] ? ? B. [224] ? ? C. [312] ? ? D. [324]

審題思路 ?（1）根據錐體的公式[V=13Sh]，故確定正三棱錐體積只需確定底面面積和高，顯然[BC=1]可以確定底面，當然[EF⊥DE]就是確定正三棱錐高的間接條件. 如何使用條件[EF⊥DE]成為解決本問題的關鍵. （2）顯然[AC∥EF]，則[AC⊥DE]，又可證[AC⊥BD]，則[AC⊥面ABD].（3）可考慮建立直角坐標系，由[EF⊥DE]求點[A]到面[BCD]的距離.

解析 ?如圖，點[A]在面[BCD]上的射影[O]為正[△BCD]的中心，如圖建立直角坐標系[O-xyz]. 設[A（0，0，t）]，[B（-12]，[-36]，0），[C（12]，-[36]，0），[D（0，33]，0），[E（-14]，-[312]，[t2]），[F（0，-36]，0），

[EF]=（[14]，-[312]，-[t2]），[DE]=（-[14]，-[5312]，[t2]）.

由已知[EF]·[DE]=0，

解得[t=66]，[VA-BCD=13S△BCD·AO=][224].

定量分析

“設，列，求”是我們解決很多數學問題的必經過程，而在用代數方法研究幾何問題時這一方法尤為重要. 通過所設未知量的“個數”，挖掘題目的條件，布列方程，尋求解決問題的途徑. 比如求橢圓、雙曲線的標準方程一般需要兩個條件;而求其離心率只需一個條件即可.

例4 ?如圖，已知雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為[l1]，[l2]，左、右焦點分別為[F1]，[F2]，點[P]在[l1]上且[PF1⊥l2]，[PF2∥l2]，則此雙曲線的離心率為（ ? ）

A. [2] ? ? ?B. 2 ? ? ?C. [3] ? ? ?D. 3

審題思路 ?可設[P（x0，y0）]，由已知條件列方程組求解.

解析 ?設[P（x0，y0）]，由已知得，[y0=bax0，①y0x0-c=-ba，②y0x0+c=ba，③]

消去[x0，y0]得，[b2=3a2].

[∴e=ca=2.]