數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)和自主探究能力的嘗試

陳懷宇

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要交給學(xué)生科學(xué)知識，而且還揭示獲取知識的思維方法和思維過程.課程改革的核心是課堂教學(xué)改革，實施課堂教學(xué)的重點是改變教育觀念，改變傳統(tǒng)的教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神.在教學(xué)過程中我們必須選擇靈活多樣的教學(xué)方法，如啟發(fā)式、探究式、嘗試式、情景式等，想方設(shè)法培養(yǎng)和提高學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力和自主探究的能力.為此，我在關(guān)于《等差數(shù)列前n項和》的教學(xué)中對培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)和自主探究能力方面進(jìn)行了積極的嘗試.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項和以及該求和公式的應(yīng)用.等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經(jīng)常遇到的一類問題.同時，求數(shù)列前n項和也是數(shù)列研究的基本問題，通過對公式的推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問題的方法.

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項公式及基本性質(zhì)，這就為倒序相加法的學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)；同時學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的有關(guān)知識，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)思想.高斯的算法與一般等差數(shù)列的求和還有一定的距離，如何從首尾配對法引出倒序相加法，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙.

三、設(shè)計思想

教學(xué)過程中，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列前n項和的求法.通過設(shè)計一些從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的問題，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過生生互動和師生互動等形式，讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí).同時為了促進(jìn)成績優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，我還設(shè)計了選做題和探索題，進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點分析、解決問題的能力，達(dá)到了分層教學(xué)的目的.

四、教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程；掌握并能熟練運用等差數(shù)列前n項和公式；了解倒序相加法原理.

2.通過公式的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生體驗從特殊到一般的研究方法，滲透函數(shù)思想與方程思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、反思的能力；通過小組討論學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流和自主探究的能力.

五、重點和難點

重點：探索并掌握等差數(shù)列前n項和公式，學(xué)會用公式解決一些實際問題.

難點：等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)思路的獲得.

六、教學(xué)過程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識經(jīng)驗的感悟和體驗

世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？

[知識鏈接]

高斯，德國著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.200多年前，高斯的算術(shù)教師提出了下面的問題： 1+2+3+…+100=？

據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：

（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.

[學(xué)情預(yù)設(shè)]高斯的算法蘊(yùn)涵著推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法——倒序相加法.教學(xué)時，應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時間，讓學(xué)生們自己去觀察、探究、發(fā)現(xiàn)和交流它們的內(nèi)在規(guī)律.為了使學(xué)生對這種算法有進(jìn)一步的理解，我又設(shè)計了以下三道由易到難的問題.

（二）由易到難，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)

問題1圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？

以上方法實際上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個項問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個項求解，教師應(yīng)進(jìn)行充分肯定與表揚.

[設(shè)計意圖] 這是求奇數(shù)個項的和的問題，若簡單地摹仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對的問題，借此滲透化歸思想.

問題2：求圖案中從第1層到第n層（1

[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生通過激烈的討論后，發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時不能配對，可能會分n為奇數(shù)、偶數(shù)的情況分別求解，教師如何引導(dǎo)學(xué)生避免討論成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵.

[設(shè)計意圖] 從求確定的前n個正整數(shù)之和到求一般項數(shù)的前n個正整數(shù)之和，讓學(xué)生領(lǐng)會從特殊到一般的研究方法，旨在讓學(xué)生對“首尾配對求和”這一算法的改進(jìn).

啟發(fā)：（多媒體演示）如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形.

[設(shè)計意圖] 借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學(xué)生記憶深處的東西，并為倒序相加法的出現(xiàn)提供了一個直接的模型.

通過以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，相信容易得出解法：

[設(shè)計意圖]該例題是將課本P46習(xí)題2.3A組第3題改編成表格形式，可以鍛煉學(xué)生處理數(shù)據(jù)信息的能力和選用公式的能力.學(xué)生可以從首項、末項、項數(shù)出發(fā)，選用公式1；也可以從首項、公差、項數(shù)出發(fā)，選用公式2，通過兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生在解題時注意選擇適當(dāng)?shù)墓剑员阌谟嬎?

例2已知等差數(shù)列5，42[]7，34[]7，…

求（1）數(shù)列{an}的通項公式；

（2）數(shù)列{an}的前幾項和為1257？

（3）Sn的最大值為多少？并求出此時相應(yīng)的n的值.

[設(shè)計意圖] 通項公式與求和公式中共有a1，d，n，an，Sn五個基本元素，如果已知其中三個，就可求其余兩個，主要是訓(xùn)練學(xué)生的方程思想.第（3）小題是讓學(xué)生用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ).

[知識鏈接]（1）由Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+a1-d2n，若令d2=A，a1-d2=B，則Sn=An2+Bn，可知當(dāng)d≠0時，點（n，Sn）在常數(shù)項為0的二次函數(shù)圖像上，可由二次函數(shù)的知識解決Sn的最值問題；

[設(shè)計意圖]分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學(xué)生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實現(xiàn)“以人為本”的教育理念.

（五）回顧反思，深化知識

組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，小組之間互相補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實現(xiàn)對等差數(shù)列前n項和公式的再次深化.

1.從特殊到一般的研究方法；

2.體會倒序相加的算法，掌握等差數(shù)列的兩個求和公式，靈活運用方程思想；

3.前n項和公式的函數(shù)意義；

（六）布置作業(yè)

1.習(xí)題2.3第1題（1）（3），第2題（3）（4），第5題

2.探索題

七、教學(xué)反思

“等差數(shù)列前n項和”的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和.該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對等差數(shù)列性質(zhì)的理解.本節(jié)課教學(xué)過程的難點在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路.為了突破這一難點，在教學(xué)中采用了以問題驅(qū)動的教學(xué)方法，設(shè)計的三個問題體現(xiàn)了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再試圖運用這一方法解決一般問題.在教學(xué)過程中，通過教師的層層引導(dǎo)、學(xué)生的合作學(xué)習(xí)與自主探究，學(xué)生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了.