漫談《高等數學》中的指數函數ex

段展鵬

【摘要】對以e為底的指數函數，指出了其奇偶分解、及其與一元定積分、概率積分、第二類換元積分、級數展開及歐拉公式等內容的聯系及應用雛形，有助于進一步認識該函數的重要性.

【關鍵詞】以e為底的指數函數；定積分；第二類換元積分法；級數展開

一、引 言

數e在1727年由Euler引進用以表記極限值limn→∞1+1nn，后被證明e是超越數.以e為底的指數函數y=ex是《高等數學》中常見的函數，也是連續復利等模型的雛形.但是，瀏覽多部教材后發現，教材對該函數并未有專門的分析和深入研究.本文就該函數在高等數學中與不同部分內容的聯系和作用做一簡單的串聯，并對其亮點作簡單分析，是為“漫談”.

二、《高等數學》中的函數ex

（一）由y=ex的奇偶分解可得shx，chx

ex雖然不具有奇偶性，但ex=12（ex+e-x）+12（ex-e-x）很明確告訴我們：它可以分解為奇偶兩部分.這個思路在信號處理中可以理解為信號的奇偶分離；因此，12（ex+e-x），12（ex-e-x）是值得注意的兩個函數，實際上它們就是：chx=12（ex+e-x），shx=12（ex-e-x），而且懸鏈線方程可由chx表示.

亮點：從分解的角度引出chx，shx，并解釋為信號的奇偶分離，和實際問題相聯系.

（二）shx，chx及其反函數的導數

y=12（ex+e-x）的反函數：y=ln（x+x2-1），（x≥1）

y=12（ex-e-x）的反函數：y=ln（x+x2+1），（x∈R）

顯然：（shx）′=chx，（chx）′=shx；y=ln（x+x2-1），（x>1）的導數為1x2-1，而y=ln（x+x2+1），（x∈R）導數為1x2+1.

亮點：其反函數的導數是積分中常見的根式.

（三）ex與不定積分的第二類換元法

第二類換元積分中帶有根式的積分是一個難點，基本的積分有如下幾種：∫u2+1du，∫u2-1du，∫1u2+1du及∫1u2-1du.這些積分都可以利用ex或者shx，chx進行換元，如下：

例1 求∫u2+1du.

解 在∫u2+1du中，設u=12（ex-e-x），則有：

u2+1=12（ex+e-x），du=12（ex+e-x），

∫u2+1du=∫（12（ex+e-x））2dx=18e2x+18e-2x+x2+C=12ex+e-x2ex-e-x2+x2+C=u2u2+1+12ln（u+u2+1）+C.

（四）ex與一元定積分

在一元定積分中，不難知道：∫+∞0tndt（n∈N）是發散的，而∫+∞0e-ttndt（n∈N）是收斂的，因此，得出：∫+∞0pn（t）dt是發散的，而∫+∞0e-t·pn（t）dt是收斂的，其中：pn（t）是t的多項式.

這個現象有直接的現實意義：假設在工程中獲得某些信號的測量數據的時間（t）序列值，如果將這些觀測數據用多項式擬合，在計算信號能量時就會遇到積分∫+∞0pn（t）dt發散的問題；為解決該問題，引進一個控制因子e-t，改用pn（t）e-t來擬合，則既可以保持擬合函數比較好的性質，又不會出現積分發散的情況.若控制因子e-t太強大，為此將其弱化為e-λ·t（λ>0）.而∫+∞1pn（t）e-λtdt（λ>0）是收斂的.實際上，此類積分還可以改進到x的指數出現某些負數的情形：Γ（s）=∫+∞0xs-1e-xdx（s>0）也是收斂的，此即是著名的Γ函數.

亮點：串起了廣義積分中兩個常見積分，突出了e-x的控制作用，賦予了應用的背景.使學生知曉為何介紹這兩個積分、有什么實際意義.

（五）ex與廣義二重積分

不難知道：x2+y2≤R2x，y≥0e-x2-y2dxdy=∫π20dθ∫R0re-r2dr=π4（1-e-R2）及x2+y2≤R2x，y≥0e-x2-y2dxdy≤0≤x，y≤Re-x2-y2dxdy≤x2+y2≤2R2x，y≥0e-x2-y2dxdy，而0≤x，y≤Re-x2-y2dxdy=（∫R0e-x2dx）2，因此，令R→+∞就可以得到：∫+∞0e-x2dx=π2，從而易知：1π∫+∞-∞e-x2dx=1，此為概率積分，其重要性是非常顯然的.

亮點：和重要的概率積分相聯系，同時展示了一元廣義積分計算的另一思路.

（六）從證明ex>1+x，（x>0）開始延伸

例2 證明ex>1+x，（x>0）.

證明：記f（x）=ex-（1+x），（x≥0），則該函數在[0，+∞）上連續、在（0，+∞）內可導，且f′（x）=ex-1，（x>0），因此f′（x）>0，（x>0），從而該函數在（0，+∞）上單調增加，從而，當x>0時，f（x）>f（0）=0，得到：f（x）=ex-（1+x）>0，（x>0），故：ex>1+x，（x>0）.

這個例題很平淡，高中學生是可以利用導數和單調的知識來證明的.

現在，請考慮：ex>1+x+12x2，（x>0）的證明.

方法如前，只需構造輔助函數f（x）=ex-（1+x+12x2），（x≥0）.并利用ex>1+x，（x>0）來說明這個時候的輔助函數ex-（1+x+12x2），（x>0）的導數為正.

現在請學生根據剛才的推導過程，猜想、提出下一個類似的不等式：

ex>1+x+12x2+13！x3，（x>0），如此，一直下去，得到：

ex>1+x+12x2+…1n！xn，（x>0），取極限可得：ex≥1+x+12x2+…1n！xn+…，（x>0）.所以出現這樣的巧妙結果，是因為其背后的事實是：ex=1+x+12x2+…1n！xn+…，（x∈R）.

亮點：展示了思維發散和探索的過程，對學生是較好的示范.

（七）從ex的冪級數展開到Euler公式

從級數理論部分不難得知：ex=1+x+12x2+…1n！xn+…，（x∈R），

sinx=x-13！x3+15！x5-17！x7+…，（x∈R），cosx=1-12！x2+14！x4-16！x6+…，（x∈R），實際上，上述結論可以推廣到：ez=1+z+12z2+…1n！zn+…，（z∈C），因

∑+∞n=0znn！絕對收斂，因此：

eix=1+（ix）+12！（ix）2+13！（ix）3+14！（ix）4+15！（ix）5+…+1n！（ix）n+…=1+ix-12！x2-i13！x3+14！x4+i15！x5+…+1n！（ix）n+…=cosx+isinx，（x∈R）.

由此得到著名的Euler公式：ei·x=cosx+isinx，（x∈R），進而由此得到象征數學和諧美的等式：ei·π+1=0.其中1是正整數，也是實數的基本單位，i是虛數的基本單位，0是唯一的中性數，它們都具有獨特的地位，最具有代表性，可以說，i來源于代數，π來源于幾何，e來源于分析，它們居然如此和諧地統一在一個式子中[3].

亮點：將ex，sinx，cosx乃至0，1，π聯系在一起.

三、結束語

對以e為底的指數函數，指出了其奇偶分解可得到雙曲正弦、雙曲余弦，介紹了它在一元定積分、概率積分和第二類換元積分中的作用，其級數展開與歐拉公式的聯系.通過這些串聯重組，更加明晰地揭示了函數y=ex的重要地位.