阻尼振動及受迫振動系統的能量研究

朱博

摘 要：文章基于機械振動現象，對阻尼振動系統的弱阻尼、過阻尼、臨界三種狀態進行分析，對其能量損耗規律進行總結，并對受迫振動系統中能量損耗和能量補充問題進行探討，以期能夠增進人們對振動系統的認識。

關鍵詞：機械振動；阻尼振動；受迫振動；能量損耗

機械振動現象廣泛存在于自然界和我們日常生活中，如樹梢迎風擺動、浮標隨波浮動、活塞的往復運動以及鐘擺的左右擺動等，還有一些我們用肉眼無法感知的機械運動，如電磁振蕩、原子熱運動等。總而言之，振動廣泛存在于物理學、生物學以及化學等多個領域，是一種十分普遍的運動形式，對振動相關問題進行探討，具有重要的理論指導和現實意義。

1 機械振動原理及特征分析

在物理學中，將物體或質點在其平衡位置附近所做的往復運動稱為機械振動，其強弱受到位移、速度以及加速度的影響，通常用振動量來表示，在機械工程領域中，機械設備的振動量一旦超過允許的范圍，就會產生很大的動載荷和噪音，其直接后果就是縮短設備的使用壽命，因此，機械設備只有充分利用振動原理，才能夠產生預期的振動，更好地發揮其工作性能。在現實應用中，對機械設備的動態特性進行研究，需要建立動力學模型，并在已知工作條件和外部激勵基礎上進行動態分析，即要測定振動頻率、剛度、模態振型、阻尼等固有特性，計算激勵狀態下質點的震動量、振動時間歷程以及頻譜，并對機械設備的動力穩定性進行分析[1]。理想化的振動是隨著時間而呈現正弦函數變化，即簡諧振動，這是機械振動中最簡單、最常見的形式，很多常見的振動都可以視為簡諧振動迭加的結果，這是在一定條件下對這種振動形式的科學抽象，而在具體的振動系統中，都不可避免地受到各種因素的影響而存在不同程度的損耗情況，在各種損害因素作用下，振動系統所產生的能量也會被損失掉，我們將這種振動稱為阻尼振動[2]。為保證振動能夠持續下去，就要對振動系統施加一個周期性的外力，這時的振動即為受迫振動。

2 阻尼振動系統的能量損耗規律

阻尼振動也稱減幅振動，是指在受到摩擦、介質阻力以及其他能耗時，振動系統隨時間變化振幅逐漸衰減的振動，這實際上就是能量不斷減少的振動，該系統即屬于耗散系統。

2.1 能量損耗原因

外界的摩擦和介質阻力是始終存在的，彈簧振子和單擺在振動過程中必然要受到二者的影響，進而不斷克服外界阻力做功，并隨著能量的不斷消耗，振幅也會不斷減小，指導振動停止，我們可以將振動系統能量損耗的原因概括為兩種：一種是摩擦阻尼，受摩擦阻力影響，振動系統的能量會逐漸轉變為熱運動能量，如單擺擺動過程實際上就是擺的機械能轉化為空氣內能的過程；另一種是輻射阻尼，受周圍介質影響，振動系統的能量會逐漸轉變為波動的能量，如琴弦的發聲實際上就是在以波的形式向外輻射。以水平彈簧振子為例，物體在阻尼運動中要受到自身重力、地面支撐力、彈簧彈性力和阻力的影響，根據微分方程理論，振動系統的運動狀態可通過動力學方程獲取[3]。

2.2 動力學方程

阻尼振動系統的運動狀態包括弱阻尼、過阻尼和臨界阻尼三種，現利用動力學方程對這三種運動狀態進行分析。（1）弱阻尼狀態。當阻力很小時，質點的運動學方程為：x=Ae-Ucos（k+T），式中，A和T為待定常數（與初始條件有關），U表示阻尼因數，k表示包含的兩因子。振動系統的振幅會隨著時間的推移而不斷變化，阻尼因數越小，振幅衰減就越慢。我們將質點在運動范圍內不斷做縮小的往復運動的狀態，稱為弱阻尼狀態。（2）過阻尼狀態。當阻力足夠大時，質點的運動學方程為：x=C1e-（U-k）t+C2e-（U-k）t，式中，C1和C2為待定常數（與初始條件有關），此時質點的運動既不是周期的也不是往復的，會逐漸返回到平衡位置，直至停下來，這種狀態即為過阻尼狀態，阻尼因數越大，能耗損耗越慢，質點回到平衡位置所需要的時間也就越長。（3）臨界阻尼狀態。當所受阻力剛好滿足各因子時，質點的運動學方程為：x=（C1+C2t）e-U，式中，C1和C2為待定常數（與初始條件有關），此時質點的運動仍不是往復的，質點會很快回到平衡位置，這種狀態即為臨界阻尼狀態[4]。

3 受迫振動系統的能量分析

在自由振動過程中，振動系統會受到各種損耗因素的影響，待其能量損耗殆盡，便會停止振動，為維持其振動，就要對其補充能量，機械系統受到外界持續激勵而產生的振動即為受迫振動，受迫振動系統的驅動力即為外來的周期性力。受迫振動有瞬態振動和穩態振動之分，前者是在振動初始階段所出現的隨時間變化的振動，其存在時間較短；后者是借助外界能量來補償阻尼所耗散的能量，維持系統做持續的等幅振動，激勵頻率與振動頻率一致。對于該振動的分析，主要考慮的是系統對激勵的響應，周期激勵屬于較為典型的常態性激勵，可將其理解為若干諧和激勵之和，根據疊加原理，求得系統對各諧和激勵的響應，并將其疊加起來，便能夠獲得振動系統對周期激勵的總響應。通常情況下，振子在水平方向會受到彈性力、阻尼力和驅動力（周期性外力）的共同作用，根據微分方程理論，質點的運動學方程為：x=Ae-Ucos（k+T）+A0（K+H），式中，A和T為待定常數（與初始條件有關），最終得到的是阻尼振動和周期振動之和，前者隨著時間的變化而趨于零，其反映的是受迫振動的暫態行為，后者表示的是與驅動力頻率相同的周期振動，二者的區別在于是否與驅動力有關[5]。系統的能量損耗與阻力系數有關，其能量補充與驅動力頻率有關，當能量損耗與能量補充的數量相同時，系統便會維持一個穩定的振幅。

4 結束語

綜上所述，當阻尼很小時，我們不經過一段時間的觀察很難看出振動系統振幅的減小，常將其作為簡諧振動來處理，但是在實際應用中，往往需要考慮到影響振動系統的各種損耗因素，以便獲得系統的能量損耗情況來對其進行適當的補充，其中就涉及到阻尼振動和受迫振動，基于機械振動原理來理解阻尼振動系統的運動狀態，才能更好地解決能量損耗和能量補充問題，這在實際運用中也是十分有益的。

參考文獻

[1]徐忠岳.阻尼振動與受迫振動定量演示儀[J].教學儀器與實驗，2012，10（2）：39-42.

[2]鄧躍.低雷諾數下均勻流和振蕩流共同作用的圓柱體受迫振動和渦激振動研究[D].中國海洋大學，2014.

[3]艾金婷，富立，鄭玉.庫侖摩擦對機械振動的影響[J].長春理工大學學報（自然科學版），2014，11（2）：49-52.

[4]劉長江.建筑膜結構非線性振動及其預張力測量理論和試驗研究[D].重慶大學，2012.

[5]潘玉華，王元豐.含復阻尼振動系統的逐步積分法穩定性研究[J].土木工程學報，2010，10（1）：208-210.