多約束下編隊隨船備件配置優化方法

蔡芝明，金家善，陳硯橋，倪 何，魏曙寰

（海軍工程大學動力工程學院，湖北武漢430033）

多約束下編隊隨船備件配置優化方法

蔡芝明，金家善，陳硯橋，倪 何，魏曙寰

（海軍工程大學動力工程學院，湖北武漢430033）

針對艦艇編隊備件配置方案的確定需要綜合考慮多項約束指標因素的特點，以編隊出海執行任務準備階段備件配置為研究背景，以艦船載荷、排水量及保障費用為約束條件，構建了以編隊備件保障概率為目標函數的編隊隨艦備件庫存優化模型，應用拉格朗日乘子法及邊際效應法原理給出了編隊隨船備件庫存模型計算及優化流程，并運用罰函數原理對保障資源約束因子進行了確定及動態調整。最后，通過案例分析驗證了本文提出的方法能夠為解決多約束下編隊隨船備件配置優化問題提供新的途徑。

編隊；多約束；備件；備件保障概率；配置優化；邊際效應法；拉格朗日乘子

0 引 言

備件資源是影響編隊系統備件保障概率的關鍵因素，平時影響裝備完好率，戰時影響編隊任務成功率，隨著裝備復雜程度的提高，備件數量、種類及費用需求也隨之增加，在編隊出海執行作戰任務之前需要對編隊備件攜帶方案進行優化，達到在滿足多個約束指標的前提下，尋求多約束下編隊最優備件配置方案。

編隊隨船備件配置好壞與否對艦船海上自主保障能力有很大影響，合理規劃編隊隨船備件配置方案是提高艦船裝備海上自我保障能力的關鍵，在艦船出海執行任務準備階段，由于受保障費用、艙室空間、排水量及載荷的限制，編隊艦船備件配置需要綜合考慮多項約束條件，如備件的費用、質量、體積等，在滿足多項約束的情況下，如何使編隊備件保障概率最大。自1968年Sherbrooke提出經典的備件保障理論［1］以來，國內外一些學者對備件保障理論進行了大量的研究，文獻［2- 3］將METRIC模型理論應用于海軍艦艇裝備，建立多級備件庫存模型；文獻［4- 5］在備件體積、質量等約束下，對航空備件的配置優化問題進行了研究；文獻［6- 7］建立了多約束下以艦載裝備維修級別優化模型及費效比為目標的多約束優化模型；文獻［8］建立了以備件體積、質量為約束條件的備件庫存優化模型及優化算法；文獻［9］以備件體積及費用為約束條件對艦艇隨船備件配置方案進行了優化；文獻［10］引入指標權重，在優化過程中對各指標權重進行反復調整，從而最終確定方案。從以上文獻可以看出，一方面，多約束下隨船備件配置優化問題是研究的熱點，同時也是難點；另一方面，目前研究對象集中在單艦多約束備件配置優化問題，而對艦艇編隊器材配置的研究比較少，艦艇編隊已經成為目前海軍作戰艦艇的主要作戰形式，顯然編隊備件配置并不是單艦備件配置方案簡單的疊加，其備件配置的好壞與否將直接影響整個艦艇編隊任務成功率。

在隨船備件配置中一個非常重要的問題就是如何在艦船有效的載荷、排水量及保障費用約束下確定備件攜帶方案，使目標函數最優，已經有很多學者對此問題進行了相關研究。在相關研究［1116］中給出了裝備在不同目標函數下的備件配置最優方案。然而通過對上述文獻分析可知，在絕大多數的備件庫存模型中，目標函數要么是延期交貨量，要么是使用可用度，平均等待時間及費效比，很少有模型是以裝備備件保障概率作為優化目標。上述目標函數在應用時出現如下問題：首先，在隨船備件庫存實際管理中無論是備件平均等待時間、費效比還是延期交貨量都是管理部門難以把握和掌控的；其次，上述目標函數影響因素很多，備件只是其中一個。同時，在國內無論是裝備實際使用部門還是裝備的研制單位絕大部分都將備件保障概率作為確定備件種類及數量的指標需要，然而現有多約束下編隊備件保障概率模型比較少，不能建立多約束下編隊備件品種及數量與編隊備件保障概率之間的權衡關系，很難使編隊備件保障概率具有較高的費效比。因此，本文在參考上述文獻的基礎上，針對編隊隨船備件配置的特點，提出了多約束下的編隊備件保障概率模型，通過引入拉格朗日乘子法，將備件費用、體積和質量約束轉化為保障資源約束因子，提出了保障資源約束因子確定及動態調整的方法并通過案例分析驗證了方法的有效性及模型的合理性，該方法的應用能夠為解決多約束條件下的隨船備件配置提供一種新的途徑。

1 多約束下編隊隨船備件庫存模型建立

1.1 目標函數

備件保障概率是指在規定保障時間內，現存量可以滿足需求的百分比，其值大小與備件的庫存量及備件故障率密切相關。船上電子器件，如電阻、晶體二極管、耦合器、放大器、保險絲等，這些都是壽命服從指數分布的電子器件，計算保障概率Psi的公式是一致的，即

式中，L為備件數量；Ni為備件i（i＝1，2，…，I）的單機安裝數；λi為某項零備件故障率；s為裝備中某備件的備件需求量；ti為備件供應周期。

隨船攜帶的備件按其所屬的層次不同，可分為故障現場可更換單元（line-replaceable unit，LRU）和車間可更換單元（shop-replaceable unit，SRU）［17］。LRUi的年平均維修更換率［18］為式中，i為裝備所屬備件編號；DCi為占空比，表示備件i運行時間占裝備運行時間的百分比，代表了備件在所屬裝備上的工作強度；RIPi為故障備件原位維修率；L為裝備配置數量；MTBFi為備件i的平均故障間隔時間；RtOKi為備件i的重測完好率。根據裝備故障樹，裝備母體的故障率由其所屬分備件的故障率決定，設母體LRUi的發生故障是由SRUk故障導致的概率為Pik， 則SRUk的故障率λk

［19］為

其中

式中，Nk為分備件SRUk在其母體LRUi中的單機安裝數。把式（4）代入式（3），得

假設編號為i的備件保障概率為Psi，則某船備件保障概率Psj為

式中，psj為系統備件保障概率；psc為需求的備件存放在船上的概率；psd為假定在給定的條件下，要求的備件存放在船上且可以取到的概率。

式中，λT為系統總的故障率。

依據式（6）～式（8），計算得到單船系統備件保障概率公式，即

依據式（9），在不考慮串件拼修的情況下，將編隊各艦船看成一個大的系統，計算得到編隊備件保障概率為

式中，Nj為編隊第j種艦船的數量，其中

1.2 約束條件

考慮到艦船編隊攜帶能力、倉庫空間和保障經費的限制，編隊隨船備件保障概率問題可以表述為給定空間、質量和費用約束下，通過選擇不同品種及數量的備件，使得系統備件保障概率Ps最優。編隊隨船攜帶備件所占用空間必須小于事先給定的編隊倉庫總空間指標，即

式中，vij為第j個船備件i的體積；VT為事先給定的編隊倉庫空間指標。

編隊隨船攜帶備件所需保障費用的總和必須小于事先給定的編隊保障經費指標，即

式中，cij為第j個船備件i的費用；CT為事先給定的編隊保障經費指標。

編隊隨船攜帶備件質量的總和必須小于事先給定的編隊質量指標，即

式中，mij為第j個船備件i的質量；MT為事先給定的編隊倉庫質量指標。

1.3 模型的建立

考慮到載荷、費用及存儲空間的限制，將這些限制條件作為約束條件，建模的基本思想是把上述3個約束條件轉換為保障資源約束因子，通過引入拉格朗日約束因子及罰函數，動態更新保障資源約束因子，運用邊際效應分析法，在滿足所有約束指標的基礎之上，求得編隊備件保障概率總和最優的隨船備件配置方案。所建模型如下：

2 模型求解方法

步驟1 從式（9）、式（10）、式（11）及式（15）可以看出，編隊備件保障概率模型涉及的約束和變量較多，引入拉格朗日乘子松弛部分或全部約束，將備件質量、體積和費用約束統一轉化為保障資源約束，即

式中，Zij為備件i的保障資源約束；λm為質量因子；λv為體積因子；λc為費用因子。

步驟2 將備件質量、體積和費用約束統一轉化為備件保障資源約束Zij后，因隨船備件保障概率psi為保障資源約束因子zij的函數，則隨船備件保障概率可表示為

對式（16）兩邊取對數，得

步驟3 即使P屬于泊松分布，式（17）括號內的累積概率分布也不是凸函數，不能用邊際效應法進行分析，但當式（18）右邊概率分布服從二項分布、泊松分布或負二項分布時，上述累積的概率的對數屬于凸函數，于是就可以利用邊際效應分析法求得最優庫存量，當前備件保障資源約束組合為

步驟4 對式（18）做一階差分，此時邊際增量為

步驟5 依據式（20），計算得到邊際效應值（用Δ表示），即

在每一列中選擇Δ值最大的備件，去掉已選的Δ值，對剩下各Δ列的Δ值進行比較，選擇其中Δ值最高的備件，依次類推，直到約束條件不滿足要求時停止。

步驟6 計算此時其他約束條件值，判斷是否超過事先給定的指標，若沒超過，則該方案可行；反之，需要更新保障資源約束因子，依據式（16）計算得到新的保障資源約束因子為

步驟7 依據式（20）計算得到邊際效應增量，即

步驟8 重復步驟6和步驟7，直到得到可行方案時停止。

3 保障資源約束的確定、動態調整及模型優化

模型在計算之前，首先需要確定質量因子λm、體積因子λv和費用因子λc的初值，其中質量、體積和費用約束采用相對權重，即設定其中一個約束為1，求出另外兩個約束的相對權重，依據式（16）求出備件保障資源約束因子。

方案1 當不考慮備件的體積及質量約束時，令λv＝0，λm＝0，λc＝1。

步驟1 依據式（20）計算得到1組備件庫存方案，即

步驟2 依據方案sc0，計算該方案下的備件質量、體積和費用，分別記為M（sc0）、V（sc0）、C（sc0），依據M（sc0）、V（sc0）、C（sc0）來確定初始拉格朗日乘子λcv0、λcm0、zci0，即

步驟3 依據式（15）及式（24）計算得到保障資源約束因子為

步驟4 依據式（20），式（22）及式（23）重新計算得到一組備件保障方案為

步驟5 若該方案所對應的備件庫存總體積超過了設定的指標V時，需要增加λcv，以形成懲罰因子；同理，若對應的備件庫存總質量超過了設定的指標M時，需要增加λcm，以形成懲罰因子，其增量具體計算方法為

步驟6 如果得到的備件庫存方案所對應的體積或質量仍然超過了設定的約束條件時，可在當前約束因子的基礎之上，通過式（23）及式（25）對其進行動態更新和調整。

在既定的多約束條件下，還有可能會出現一種情況，即無論怎么調整約束因子的數值，都不能找到一組滿足所有約束條件的備件庫存保障方案，在此情況下，需要重新設定約束條件，可適當增加質量指標M、體積指標V或者費用指標C。

方案2 當不考慮備件費用和質量約束時，即λc＝0，λm＝0，λv＝1。

計算步驟同上。

方案3 當不考慮備件體積和費用約束時，即λv＝0，λc＝0，λm＝1。

計算步驟同上。

方案4 當不考慮質量和體積約束，僅考慮費用約束，運用邊際效應法求僅在費用約束下的最優備件攜帶方案。

方案5 當不考慮費用和體積約束，僅考慮質量約束，運用邊際效應法求僅在質量約束下的最優備件攜帶方案。

方案6 當不考慮費用和質量約束，僅考慮體積約束，運用邊際效應法求僅在體積約束下的最優備件攜帶方案。

4 案例分析

編隊三艘同類艦船出海執行某項任務，出海執行任務之前需要對編隊備件配置進行優化，達到在有限的費用、載荷及空間約束下使編隊備件保障概率最優，同時保證艦船在執行任務的過程中有充足的備件可用于故障維修。該類艦船的備件清單及相關參數見表1所示，在實裝數據中，該類艦船備件清單包含400多項備件，出于對方法介紹的目的及篇幅限制，文中不能將所有備件全部列出，因此，表1只列舉了該類艦船的一些關鍵性設備，并對相關屬性值進行了一些適當的調整，但分析該類問題的方法是一致的。

表1 裝備備件清單及相關參數

依據表1給的備件清單及相關參數，按文中模型給定的步驟進行計算，限于篇幅原因這里不再詳細敘述，同時編隊同類艦船之間攜帶有差異的備件數量和總的備件攜帶量相比可以忽略不計，計算得到不同約束條件下的備件配置最優方案如表2所示。

根據表2的結果，依據式（9）及式（10）得到6個方案下所對應保障概率如表3所示。裝備備件費用指標為41．25萬元，質量指標為410 kg，體積指標為16．85 m3，在這6種方案中，方案4：備件質量為420．97 kg，顯然超過了給定的約束值，不符合要求，方案不予以采用：方案5：備件費用為42．7萬元，顯然超過了給定的約束值，不符合要求，方案不予以采用；方案6：備件費用42．9萬元，質量為443．1 kg，顯然都超過了給定的約束值，不符合要求，方案不予以采用；只有方案1、2和3滿足所有約束條件，在這滿足約束條件的3個方案中，方案1、2和3的備件保障概率都為88．01%。因此，方案1、2和3其中任何一個都可作為最優方案。從表1～表3中可以看出。

（1）只考慮單個約束條件而不考慮其余兩個約束條件的方案4、5及6比考慮多個約束的方案1、2及3的系統備件保障概率值要大，但并不滿足約束指標要求，這從另一個方面驗證了研究多約束下編隊備件配件優化的重要性；

表2 不同約束條件下的最優備件攜帶方案

表3 不同約束條件下備件方案結果

（2）方案4、5及6備件保障概率和備件攜帶方案相同，但計算的過程并不相同，這只是一種“特殊”情況，經計算證明當約束指標值改變時，方案4、5及6的備件攜帶方案都不相同；

（3）顯然，編隊備件配置最優方案并不是單艦最優配置方案的簡單的組合疊加，需要綜合權衡多種約束條件，依據文中模型計算得到。

不同約束條件下的備件最優配置曲線如圖1～圖6所示。

圖1 費用約束下的最優保障概率曲線

從上述6個方案的備件保障概率曲線圖可以看出：

（1）備件保障概率關系曲線上的各個離散點是既定約束條件下的最優備件保障概率，且等同于該保障概率條件下最低指標值；

圖2 質量約束下的最優保障概率曲線

圖3 體積約束下的最優保障概率曲線

圖4 多約束下的最優保障概率曲線（方案1）

圖5 多約束下的最優保障概率曲線（方案2）

圖6 多約束下的最優保障概率曲線（方案3）

（2）依備件保障概率變化曲線，能夠為決策者制定決策及設定各個指標范圍提供依據。例如，以圖4為例，當編隊備件保障概率達到80．18%時，備件總費用為33．5萬元，因此設定的費用約束必須滿足C≥33.5萬元，若給定的費用小于33.5萬元時，必須相應降低備件保障概率指標Ps來滿足費用約束要求。

5 結 論

本文針對編隊出海執行任務準備階段備件配置優化問題進行了研究，在備件質量、費用和體積約束下，通過引入拉格朗日資源約束因子，建立了多約束下編隊備件保障概率模型，并對模型進行了優化和驗證。出于對方法介紹的目的，文中對備件的一些相關參數進行了調整，但分析該類問題的方法是一致的，本文模型不僅適用于海軍艦艇編隊備件配置優化問題，而且對于空軍裝備、航空航天裝備、陸軍集群裝備等領域同樣具有一定的參考意義。

在實際工程運用中，隨著編隊艦船數量的增加，系統復雜性、備件攜帶數量和種類也會隨之增加，采用邊際效應法計算所用時間較長，對于價格較低但需求量較大的備件，可采用遺傳算法和免疫算法等進行優化；另外，編隊系統裝備備件保障概率不僅與備件攜帶量有關，還與任務強度以及備件的維修特性等相關，在今后的工作和學習中，還需針對上述問題進行更進一步的研究。

［1］Sherbrooke C C．METRIC：a multi-echelon technique for recoverable item control［J］．Operations Research，1968，16（1）：122- 141．

［2］Sleptchenko A，Van der Heijden M C，Van Harten A．Effects of finite repair capacity in multi-echelon，multi-indenture service part supply systems［J］．International Journal of Production Economics，2002，79（3）：209- 230．

［3］Rustenburg W D，Van Houtum G J，Zijm W H M．Spare parts management at complex technology-based organizations：an agenda for research［J］．International Journal of Production Economics，2001，71（1）：177- 193．

［4］Loo H L，Ek P C，Suyna T，et al．Multi-objective simulation based evolutionary algorithm for an aircraft spare parts allocation problem［J］．European Journal of Operational Research，2008，189（2）：325- 341．

［5］Robert C K，Tovey C．Estimating spare requirements with commonality and redundancy［J］．Journal of Spacecraft and Rockets，2007，44（4）：977- 984．

［6］Ruan M Z，Li Q M，Peng Y W，et al．Modeling and optimization for repair level of shipborne equipment under multi-constraints［J］．Systems Engineering and Electronics，2012，34（5）：955- 960．（阮旻智，李慶民，彭英武，等．多指標約束下艦載裝備維修級別建模與優化［J］．系統工程與電子技術，2012，34（5）：955- 960．）

［7］Ruan M Z，Li Q M，Zhang G Y，et al．Optimization method of carrying spare parts warship equipment under multi-constraints［J］．Acta Armamentarii，2013，34（9）：1144- 1149．（阮旻智，李慶民，張光宇，等．多約束下艦船裝備攜行備件保障方案優化方法［J］．兵工學報，2013，34（9）：1144- 1149．）

［8］Wang N C，Kang R．An optimization model for inventory spares under multi-constraints and its decomposition algorithm［J］．Acta Armamentarii，2009，30（2）：247- 251．（王乃超，康銳．多約束條件下備件庫存優化模型及分解算法［J］．兵工學報，2009，30（2）：247- 251．）

［9］Wei S H，Chen Y Q，Jin JS．Warship spare parts allotment method under space and cost constraints［J］．Systems Engineering and Electronics，2013，35（12）：2540- 2544．（魏曙寰，陳硯橋，金家善．空間和費用約束條件下的隨船備件配置優化方法［J］．系統工程與電子技術，2013，35（12）：2540- 2544．）

［10］Nosoohi I，Hejazi S R．A multi-objective approach to simultaneous times［J］．Applied Mathematical Modeling，2011，35（3）：1157- 1166．

［11］Ward R，Ruud T，Willem V J．A two-step method for forecasting spare parts demand using information on component repairs［J］．European Journal of Operational Research，2012，220（2）：386- 393．

［12］Molenaers A，Herman B，Liliane P，et al．Criticality classification of spare parts：a case study［J］．International Journal of Production Economics，2012，140（2）：570- 578．

［13］Francesco C，Giulio D G，Massimo T．Multi-echelon，multi-indenture spare parts inventory control subject to system availability and budget constraints［J］．Reliability Engineering& System Safety，2013，119（11）：95- 101．

［14］Sherbrooke C C．Optimal inventory modeling of systems：multi-echelon techniques［M］．2nd ed．New York：Wiley，2004：57- 71．

［15］Famfulík J，MíkováJ，LánskáM，et al．A stochastic model of the logistics actions required to ensure the availability of spare parts during maintenance of railway vehicles［J］．Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part F：Journalof Rail and Rapid Transit，2014，228（1）：85- 92．

［16］Molenaers A，Baets H，Pintelon L，et al．Criticality classification of spare parts：a case study［J］．International Journal of Production Economics，2012，140（2）：570- 578．

［17］Yoon K B，Sohn S Y．Finding the optimal CSPinventory level for multi-echelon system in air force random effects regression model［J］．European Journal of Operational Research，2007，180（3）：1076- 1085．

［18］Ruan M Z，Li Q M，Li C，et al．Improved layered marginal algorithm to optimize initial spare part configuration project［J］．Acta Armamentarii，2012，33（10）：105- 111．（阮旻智，李慶明，李承，等．改進的分層邊際算法優化設備的初始備件配置方案［J］．兵工學報，2012，33（10）：105- 111．）

［19］Ruan M Z，Li Q M，Wang H J，et al．Application of artificial immune particle swarm optimization algorithm to system-reliability optimization［J］．Control Theory&Application，2010，27（9）：1253- 1258．（阮旻智，李慶明，王紅軍，等．人工免疫粒子群算法在系統可靠性優化中的應用［J］．控制理論與應用，2010，27（9）：1253- 1258．）

Warship formation spare parts allotment optimization method under multi-constraints

CAI Zhi-ming，JIN Jia-shan，CHEN Yan-qiao，NI He，WEI Shu-huan
（College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

The multi-constraints index is synthetically considered to confirm the spare parts configuration optimization project for the warship formation．This paper takes the warship formation carrying out the spare parts configuration optimization at the mission preparation stage before sailing as a research background．The warship formation carrying ability，storage space and support cost adopted as multi-constraints，an optimized model of the warship formation spare support probability is built．Lagrange and marginal algorithm are applied to building the warship spare parts allotment optimization model and process optimization，and the resource factors are confirmed and dynamically updated．Finally，in the given example，the calculated result is analyzed，and the feasibility of the proposed method is verified．

warship formation；multi-constraints；spare parts；spare support probability；allotment optimization；marginal analysis；Lagrange

TJ 83；U 662．1

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．18

蔡芝明（1984-），男，博士研究生，主要研究方向為艦船動力及熱力系統的科學管理。E-mail：caizhiming1984＠163．com

金家善（1962-），男，教授，博導，主要研究方向為艦船動力及熱力系統的科學管理、裝備綜合保障和動力工程。E-mail：jinjiashan401＠163．com

陳硯橋（1978-），男，講師，博士，主要研究方向為裝備維修保障。E-mail：chen_yanqiao＠163．com

倪 何（1982 ），男，講師，博士，主要研究方向為熱力系統設計、優化和仿真。E-mail：elegance＠sina．com

魏曙寰（1981 ），男，講師，博士，主要研究方向為艦艇裝備綜合保障。E-mail：weishuhuan＠hotmail．com

1001-506X（2015）04-0838-07

2014- 05- 14；

2014- 07- 01；網絡優先出版日期：2014- 09- 28。

網絡優先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140928．1625．015．html

中國博士后科學基金（2013 T60921）；海軍工程大學自然科學基金（HGDQNEQJJ13006）資助課題