“騎士巡邏”與幻方

方常春

《最強大腦》的口號是：讓科學流行起來！而我們的口號則是：讓數學流行起來！

第一季有一期對戰西班牙，教授馬丁·洛佩茲的“騎士跳”，給我留下了十分深刻的印象，因為這首先就是一個棋盤上的由來已久的數學問題，很是有趣.

這一問題最早可以追溯到9世紀的古印度的恰圖蘭卡.之后許多數學家都曾鉆研此問題，包括歐拉在內.我們稱之為“騎士巡邏（也叫騎士巡游）（Knight's tour）”：將一個國際象棋的騎士（或稱馬）放在棋盤上，有什么路徑能使它按照規定走法（馬步）走遍棋盤上每一格而無重復呢？

于是，“騎士巡邏”就成為了歷史上比較有名的一個趣味問題流傳下來，思考這一問題的人的初衷可能是為了好玩，但是數學家們卻要思考趣味問題背后的秘密——找出所有的“騎士巡邏”路徑.

H.C.von Warnsdorff在1823年提出了第一個系統化解決騎士巡邏問題的方法-Warnsdorff規則，

騎士巡邏問題其實是圖論上的一個求哈密爾頓路徑問題，假若騎士能夠走回到最初位置，則稱此巡邏為“封閉巡邏”；否則，稱為“開巡邏”.孫徹然為馬丁教授設計的這個問題，初始點與最終點之間剛好也滿足馬步跳，所以其實就是一個“封閉巡邏”.

接著，我們對比下“騎士跳”的規則：

在200～500之間任意選擇一個三位數，然后在8×8的國際象棋盤中任意選擇一個騎士的起點和終點，并且在起點格中任填寫一個數字，然后按照國際象棋中跳馬的規則，每走一步填寫一個數字，直至走完整個棋盤.所走路線不能重復，填完之后，每一行每一列之和等于之前所選擇的三位數.

不難發現，最大的區別在于最后的一句話：“填完之后，每一行每一列之和等于之前所選擇的三位數.”

這不就是一個類似幻方的填充嗎？

幻方，是人類智慧的結晶，它起源于中國的河圖洛書，義被稱為縱橫圖，公元13世紀，我國數學家楊輝首先對其開展了系統研究，歐洲的研究則要推遲至14世紀后，這義是一個歷史悠久的“大家伙”啊！（關于幻方的科普書籍也有很多，比如吳鶴齡所著的《幻方及其他——娛樂數學經典名題》、談祥柏所著的《奇妙的幻方》等，感興趣的同學可以閱讀）

而且比較巧合的是，數學家歐拉在這兩個問題上都有過研究，他設計的馬步半幻方（注：如果不能保證對角線相加等于幻和，就是半幻方），就很有意思.

如下圖所示，在8×8的方格中，從1出發，按照國際象棋中馬步走法，可以一直走到64而沒有重復.

（注：之所以是半幻方，是因為利用馬步構造偶數階幻方非常困難，至今沒有完美結果.）

這個發現令我們有些激動起來，因為半幻方就是利用馬步跳來完成的，那么細想想，“騎士巡邏”與馬步幻方之間是否存在著某種關聯？

小小的一個“騎士跳”，竟然融合了“騎士巡邏”和幻方兩個歷史上都鼎鼎大名的數學趣味問題，而且溝通了中西文化，真是意義深遠，令人回味無窮.

馬丁教授的能力也很了得，他很可能是熟記了一個八階的半幻方，并根據孫徹然提供的起點和終點現場尋找“騎士巡邏”的有效路徑（一開始沒找到，有些失誤），然后通過對比起點和終點的數字與原來數字的差，以及八階幻和260與477的差，進行加減運算后，得到了最終的一個解，

步驟可以演示如下：

1.記憶八階半幻方一個，盡量規律性強些（甚至就類比于“騎士巡邏”的路線來操作，現場制作八階半幻方），方便記憶，如下圖所示：

2.孫徹然給出起點和終點的位置及相應的數字后，根據起點和終點尋找“騎士巡邏”的路徑，如下圖所示：

要找到這個路徑并不是很容易，但是也有技巧可循.這里只稍作提示：觀察上圖的同類型區域（陰影區分），是比較容易實現馬步循環的，一共有4種不同的類型，而你只要找到從一種類型跳到另一種類型的策略，就可以找出這個路徑.規律性比較強.

3.根據數字31以及總和477，我們開始計算：

1比31少了30，要減，所以1到8的數字都要加上30，以保證每行每列的和同時增加30；

而新的和477比八階幻和260多了217，現在還差217-30 =187，那就簡單了，類似的方法，將49到56的數字同時加上187即可！最后就能得到馬丁教授的那個解.