基于多尺度正交PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法的故障特征增強(qiáng)方法

張曉濤，唐力偉，王 平，鄧士杰

(軍械工程學(xué)院 火炮工程系，石家莊 050003)

多尺度主元分析(MSPCA)是一種典型的多元統(tǒng)計(jì)過(guò)程監(jiān)控方法［1］，通過(guò)數(shù)據(jù)的分布信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模和描述數(shù)據(jù)的主要特征。李宏坤等［2］將MSPCA應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障增強(qiáng)檢測(cè)中，使故障信號(hào)包絡(luò)譜中故障譜線得到明顯增強(qiáng)，尹剛等［3］將MSPCA用于發(fā)動(dòng)機(jī)缸蓋振動(dòng)信號(hào)特征增強(qiáng)中，使得發(fā)動(dòng)機(jī)不同故障的識(shí)別率得到顯著提高。主元分析PCA方法適宜描述數(shù)據(jù)的全局分布方差，使數(shù)據(jù)在投影后空間沿坐標(biāo)軸的分布方差最大，但投影過(guò)程中無(wú)法保證數(shù)據(jù)的局部非線性特征不變，對(duì)于含有非線性成分的數(shù)據(jù)MSPCA方法的效果有限，因此MSPCA需要在數(shù)據(jù)非線性特征保持方面做出相應(yīng)的改進(jìn)處理。

局部保持投影(LPP)是一種典型的流形學(xué)習(xí)局部特征非線性保持投影算法［4］，由 He等［5］在拉普拉斯特征映射的基礎(chǔ)上提出，局部保持投影在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中能夠保持?jǐn)?shù)據(jù)樣本局部流形結(jié)構(gòu)不變，最早應(yīng)用于人臉識(shí)別領(lǐng)域。文獻(xiàn)［4］中論述LPP在投影過(guò)程最優(yōu)保持了數(shù)據(jù)的局部鄰域關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的非線性流形。文獻(xiàn)［6］中的局部保持PCA算法研究表明PCA融合局部保持投以可以實(shí)現(xiàn)整體方差最大以及局部鄰域結(jié)構(gòu)不變，由此可知LPP具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)局部非線性特征保持能力，但卻在數(shù)據(jù)的全局分布特征把握上則效果不佳。文獻(xiàn)［7］中進(jìn)行了PCA與LPP聯(lián)合的圖像重構(gòu)研究，該研究方法首先對(duì)高維圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行PCA降維處理，然后再進(jìn)行LPP降維處理，是PCA與LPP順序結(jié)合的應(yīng)用。

實(shí)際應(yīng)用中，LPP需要引入相應(yīng)處理，提高其全局信息處理能力。本文提出一種多尺度正交PCA-LPP特征增強(qiáng)方法，兼顧PCA的全局方差增強(qiáng)，以及LPP的局部非線性特征保持能力，結(jié)合小波包分解實(shí)現(xiàn)單維故障信號(hào)的多維構(gòu)造及特征投影增強(qiáng)，通過(guò)投影矩陣特征值累積率區(qū)分有用特征成分子空間以及干擾成分子空間，并正交化處理消除投影分量間的信息冗余，通過(guò)重構(gòu)擬合有用特征成分子空間得到特征增強(qiáng)信號(hào)，齒輪箱故障聲發(fā)射實(shí)測(cè)信號(hào)處理結(jié)果表明，信號(hào)故障特征得到顯著增強(qiáng)，表現(xiàn)在故障信號(hào)包絡(luò)譜中譜線明顯增強(qiáng)以及多樣本的故障類(lèi)型辨識(shí)率明顯提升兩個(gè)方面。

1 正交PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法

正交PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法是一種綜合PCA和LPP兩種方法特點(diǎn)的流形學(xué)習(xí)算法，能夠在投影過(guò)程中實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分布的整體分布方差最大以及局部非線性流形結(jié)構(gòu)保持。設(shè)高維空間RD中存在數(shù)據(jù)集X=［x1，x2，…，xN］，正交PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法的目標(biāo)是尋找投影矩陣W，將數(shù)據(jù)集X轉(zhuǎn)換到低維投影空間Rd(d＜D)中，d為有用特征成分子空間維度，通過(guò)Y=WTX實(shí)現(xiàn)有用信號(hào)成分與噪聲干擾成分的有效分離。正交PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法的原理分析均是在此假設(shè)數(shù)據(jù)集基礎(chǔ)上進(jìn)行。

1.1 PCA全局方差最大目標(biāo)函數(shù)

PCA尋找數(shù)據(jù)分布方差最大的坐標(biāo)系，通過(guò)投影矩陣W實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)集從原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的變換，實(shí)現(xiàn)沿坐標(biāo)軸方向的整體分布方差最大，其投影矩陣W的求取目標(biāo)函數(shù)如式1所示［6］。

其中

PCA全局方差最大目標(biāo)函數(shù)僅考慮數(shù)據(jù)的線性空間投影，通過(guò)在投影空間保留數(shù)據(jù)集的大部分方差信息，實(shí)現(xiàn)全局分布特征的增強(qiáng)，但PCA全局目標(biāo)函數(shù)中沒(méi)有考慮樣本之間的局部幾何關(guān)系，投影后數(shù)據(jù)的局部非線性信息丟失嚴(yán)重，對(duì)內(nèi)含非線性成分的數(shù)據(jù)PCA方法處理效果較差。

1.2 LPP局部流形保持目標(biāo)函數(shù)

局部保持投影LPP是一種非線性局部流形保持投影算法，能夠使投影前后的數(shù)據(jù)局部近鄰結(jié)構(gòu)相似，其投影矩陣W的求取目標(biāo)函數(shù)如式(2)所示［8］。

其中:sij為權(quán)重系數(shù)，所有權(quán)重系數(shù)構(gòu)成權(quán)重矩陣S，對(duì)角矩陣Dii=∑jsij，L為拉普拉斯矩陣，權(quán)重系數(shù)sij由自適應(yīng)鄰域構(gòu)造SG方法［9］進(jìn)行構(gòu)造，其具體計(jì)算原理如式(3)所示。

局部保持投影LPP在數(shù)據(jù)投影空間變換過(guò)程中，能夠盡可能的保持?jǐn)?shù)據(jù)局部流形結(jié)構(gòu)相似，使數(shù)據(jù)局部細(xì)節(jié)特征得到保留增強(qiáng)，但局部目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有考慮樣本的全局分布特征，有可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)全局特征投影后發(fā)生扭曲失真。

1.3 正交PCA-LPP整體投影目標(biāo)函數(shù)

結(jié)合PCA全局方差最大目標(biāo)函數(shù)與LPP局部流形保持目標(biāo)函數(shù)，基于最大邊緣準(zhǔn)則［10］構(gòu)造PCA-LPP整體目標(biāo)函數(shù)，如式(4)所示，該目標(biāo)函數(shù)同時(shí)考慮了PCA與LPP方法的特性，能夠?qū)崿F(xiàn)投影后數(shù)據(jù)特征的全面增強(qiáng)。

其中限定條件WTXDXTW=I可消除隨機(jī)尺度因子的影響。

全局目標(biāo)函數(shù)結(jié)合了PCA與LPP的投影目標(biāo)函數(shù)，投影過(guò)程能夠盡可能實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)內(nèi)含特征的增強(qiáng)，為進(jìn)一步減小投影后數(shù)據(jù)集分量間的信息冗余，在計(jì)算第k投影分量過(guò)程中引入正交約束，如下所示:

其中:wk為投影矩陣W的某一列向量。

正交PCA-LPP的投影矩陣W通過(guò)聯(lián)立求解式(4)和式(5)得到，應(yīng)用拉格朗日乘子法［11］將上面兩式轉(zhuǎn)化為有約束最大值問(wèn)題，則第k個(gè)投影分量約束函數(shù)如式(6)所示。

將上式的L(wk)對(duì)wk求導(dǎo)并置零后得到:

定義矩陣形式變量 Uk－1=［μ1，μ2，…，μk－1］T，Wk－1=［w1，w2，…，wk－1］，將式(8)的聯(lián)立形式改為矩陣形式如下:

由式(9)可得Uk－1的計(jì)算表達(dá)式如下:

對(duì)式(7)左乘(XDXT)－1可以得到下式:

聯(lián)立式(10)和式(11)可得下式:

通過(guò)式(12)求解特征值對(duì)應(yīng)特征向量即可求解W的第k個(gè)投影分量。

總結(jié)正交PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下:

(1)已知樣本X，根據(jù)式(1)計(jì)算構(gòu)造全局方差最大目標(biāo)函數(shù)Jg(W);

(2)根據(jù)式(3)計(jì)算相似權(quán)重矩陣S，并根據(jù)式(2)構(gòu)造局部流形保持目標(biāo)函數(shù)Jl(W);

(3)根據(jù)式(4)構(gòu)造整體投影目標(biāo)函數(shù)J(W)，并根據(jù)式(6)構(gòu)造最大值目標(biāo)函數(shù);

(4)正交投影矩陣 W=［w1，w2，…wk］的各個(gè)投影分量通過(guò)迭代方式求解:

① w1為矩陣(XDXT)－1(Cu+Cl－XLXT)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量;

② wk為式(12)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量;

(5)根據(jù)映射Y=WTX，得到投影空間轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)集。

2 多尺度正交PCA-LPP特征增強(qiáng)原理

多尺度正交PCA-LPP特征增強(qiáng)方法基于小波包實(shí)現(xiàn)原始故障信號(hào)的多尺度分解，小波包分解能夠提供比小波分解更加精細(xì)的頻帶劃分能力，利用各子頻帶小波包系數(shù)重構(gòu)分量將單維故障信號(hào)組成多維重構(gòu)信號(hào)。文獻(xiàn)［12］認(rèn)為工業(yè)過(guò)程數(shù)據(jù)是多尺度分布的，且存在潛在緩變和微小故障信息，多尺度正交PCA-LPP流形學(xué)習(xí)算法是一種基于信號(hào)多尺度分布的非線性投影處理，通過(guò)在投影過(guò)程中區(qū)分有用信號(hào)成分子空間與噪聲干擾成分子空間，從而在低維有用信號(hào)子空間重構(gòu)原始信號(hào)實(shí)現(xiàn)故障特征的分離增強(qiáng)。有用子空間的維度通過(guò)投影矩陣W各分量對(duì)應(yīng)特征值的大小進(jìn)行確定，矩陣W各分量對(duì)應(yīng)的特征值向量為λ=［λ1，λ2，…，λk］，有用信號(hào)子空間維數(shù) d通過(guò)式(13)進(jìn)行確定。

其中:η為投影分量特征值累積率，一般取0.95。根據(jù)確定出的投影空間維數(shù)d，可知有用信號(hào)子空間的投影矩陣為 W=［w1，w2，…wd］，有用信號(hào)成分通過(guò)Y=WTX投影計(jì)算得到。

多尺度正交PCA-LPP特征增強(qiáng)方法流程如圖1所示。首先對(duì)原始數(shù)據(jù)y進(jìn)行n層小波包分解，在各個(gè)子頻帶內(nèi)重構(gòu)小波包系數(shù)得到2n個(gè)多尺度分量Cn0，…，Cni，…，Cnk，其中 k=2n－1，i=0，…，k。將 2n個(gè)多尺度分量重構(gòu)成的多維信號(hào)，經(jīng)多尺度正交PCA-LPP特征增強(qiáng)方法處理，得到)k個(gè)有用信號(hào)子空間的低維投影正交分量，…，…。參照文獻(xiàn)［13］的處理方法，將)k個(gè)正交投影分量經(jīng)多元多項(xiàng)式擬合重構(gòu)得到一維信號(hào)，即為故障特征增強(qiáng)信號(hào)。由于個(gè)分量為正交投影分量，所有多項(xiàng)式擬合如式(14)所示。

其中:ωi為權(quán)值，權(quán)值滿足ωi＞0且∑ωi=1。

圖1 多尺度正交PCA-LPP方法流程Fig.1 Flow chart of multiscale orthogonal PCA-LPP algorithm

多尺度正交PCA-LPP方法在數(shù)據(jù)投影中，兼顧了PCA與LPP的優(yōu)點(diǎn)，具備PCA方法投影數(shù)據(jù)整體分布方差增大，以及LPP方法局部非線性流形結(jié)構(gòu)保持的雙重特點(diǎn)，同時(shí)正交化處理使投影后各分量之間無(wú)冗余信息。處理后信號(hào)的特征增強(qiáng)表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是包絡(luò)譜中故障譜線增強(qiáng)，二是多樣本故障類(lèi)型識(shí)別率提升。

3 實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析

采用齒輪箱故障聲發(fā)射實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)正交PCA-LPP方法的特征增強(qiáng)性能進(jìn)行檢驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)齒輪箱為二級(jí)減速器，一級(jí)減速比為1∶2，故障軸承設(shè)置為中間傳動(dòng)軸單端軸承，型號(hào)6206，故障齒輪為中間傳動(dòng)軸大齒輪。齒輪箱原理結(jié)構(gòu)及傳感器安裝如圖2所示。

圖2 齒輪箱結(jié)構(gòu)及傳感器布置Fig.2 Gearbox structure and sensor arrangement

3.1 故障特征增強(qiáng)檢測(cè)分析

檢測(cè)中設(shè)置軸承外圈故障和齒根裂紋故障，采集傳感器為聲華R15聲發(fā)射傳感器，全波形采集儀采樣頻率1 MHz，兩種故障形式的輸入軸轉(zhuǎn)速均為1490 r/min，由軸承國(guó)標(biāo)參數(shù)以及故障頻率計(jì)算公式可知外圈故障頻率fouter=44.46 Hz，齒輪故障頻率fgear=12.42 Hz。兩種故障的原始采樣信號(hào)及其包絡(luò)譜如圖3和圖4所示。

從圖3和圖4中可以看出，外圈及齒輪故障原始信號(hào)的包絡(luò)譜中干擾成分較多，故障頻率處譜線非常不明顯，無(wú)法識(shí)別故障頻率fouter和fgear。對(duì)原信號(hào)采用db4小波，分解層數(shù)為3層，取η=0.95，多尺度正交PCA-LPP處理后得到的信號(hào)及其包絡(luò)譜如圖5和圖6所示。

圖3 外圈故障原始信號(hào)及其包絡(luò)譜Fig.3 Original signal and envelope spectrum of outer ring fault

圖4 齒輪故障原始信號(hào)及其包絡(luò)譜Fig.4 Original signal and envelope spectrum of gear tooth fault

圖5 外圈故障處理信號(hào)及其包絡(luò)譜Fig.5 Processed signal and envelope spectrum of outer ring fault

圖6 齒輪故障處理信號(hào)及其包絡(luò)譜Fig.6 Processed signal and envelope spectrum of gear tooth fault

從圖5和圖6中可以看到，經(jīng)過(guò)多尺度正交PCALPP方法處理后的信號(hào)，由于投影空間的變換以及信號(hào)的多項(xiàng)式重構(gòu)，故障增強(qiáng)后信號(hào)的幅值不再具有原始幅值的物理意義，但信號(hào)頻率成分依然反映故障的特征信息［2－3，13］。圖 5 中包絡(luò)譜在 44.82 Hz(≈fouter=44.46 Hz)及其倍頻處有明顯譜線，可以清晰識(shí)別故障類(lèi)型屬于外圈故障，圖6中包絡(luò)譜在12.4 Hz(≈fgear=12.42 Hz)及其倍頻處有明顯譜線，可以清晰地識(shí)別出齒輪故障。

3.2 故障特征增強(qiáng)識(shí)別分析

故障類(lèi)型識(shí)別中設(shè)置正常狀態(tài)，軸承內(nèi)圈故障，外圈故障，齒根裂紋四種故障類(lèi)型。軸承內(nèi)外圈裂紋以及齒根裂紋如圖7所示，其中軸承內(nèi)外圈故障類(lèi)型為0.4mm寬，1mm深的線切割裂紋，齒根裂紋為0.2mm寬，1mm深的線切割裂紋。故障軸承以及故障齒輪位置與3.1中相同。

圖7 軸承及齒輪故障Fig.7 Bearing and gear failure

實(shí)驗(yàn)中每種故障類(lèi)型采集70個(gè)樣本數(shù)據(jù)，共計(jì)280個(gè)樣本，單個(gè)樣本長(zhǎng)度1 s。經(jīng)過(guò)多尺度正交PCALPP方法(參數(shù)設(shè)置與3.1相同)處理后的信號(hào)幅值不具有明確的物理意義，故考慮提取信號(hào)的頻域特征參數(shù)進(jìn)行不同故障類(lèi)型的識(shí)別。對(duì)特征增強(qiáng)后的信號(hào)y*再次進(jìn)行db4小波包3層分解，重構(gòu)各子頻帶小波包系數(shù)，得到8個(gè)子頻帶重構(gòu)分量，計(jì)算子頻帶信號(hào)能量，得到能量特征向量 E=［E1，E2，…，E8］，求取 8 個(gè)信號(hào)的能量熵作為特征向量［14］，能量熵的計(jì)算如式(15)所示。

為研究多尺度正交PCA-LPP算法的性能，參照文中算法流程，比較文中算法、多尺度PCA方法、多尺度LPP方法及k近鄰多尺度正交PCA-LPP算法處理后信號(hào)以及原始故障信號(hào)提取的8維能量熵特征向量的故障辨識(shí)情況。每種故障70個(gè)樣本中，30個(gè)用于訓(xùn)練支持向量機(jī)分類(lèi)器，其余40個(gè)樣本用于測(cè)試分類(lèi)器的故障辨識(shí)效果。分類(lèi)辨識(shí)運(yùn)算環(huán)境為3 GHz i5 CPU，4 G RAM，win7以及matlab R2009b。五種情況下提取的特征參量的故障識(shí)別率如表1所示。

表1 故障類(lèi)型辨識(shí)率/%Tab.1 Fault identification rate/%

表1中故障整體識(shí)別率為各故障單項(xiàng)識(shí)別率的均值，表示四種故障類(lèi)型正確識(shí)別的總數(shù)占160個(gè)測(cè)試樣本的比例。其中k近鄰多尺度正交PCA-LPP算法中設(shè)置鄰域值k的范圍為10～60，間隔為1，迭代尋找故障整體識(shí)別率最高的鄰域值，最終得到k=42。從表1中可以看到多尺度正交PCA-LPP特征增強(qiáng)后的故障特征，其整體辨識(shí)率最高，可達(dá)93.75%，原始故障信號(hào)直接提取特征的整體辨識(shí)率最低，僅為43.75%。多尺度PCA與多尺度LPP方法處理后信號(hào)的提取特征的故障整體辨識(shí)率分別為78.13%和84.38%，k近鄰多尺度正交PCA-LPP方法處理后信號(hào)的故障特征辨識(shí)率為89.38%。多尺度PCA與多尺度LPP方法與文中方法故障識(shí)別率的比較表明，文中方法由于能夠兼顧PCA與LPP的全局和局部特性，因此處理后信號(hào)中的故障特征增強(qiáng)更加全面，所以識(shí)別率更高。k近鄰方法與文中方法的比較結(jié)果表明，自適應(yīng)鄰域構(gòu)造SG方法的引入能夠根據(jù)樣本的特點(diǎn)自適應(yīng)選擇近鄰數(shù)，比之k近鄰方法更好的保持了樣本的局部流形信息，因而故障識(shí)別率進(jìn)一步提高，并克服了k近鄰方法迭代選擇近鄰數(shù)的問(wèn)題。

4 結(jié)論

文中提出一種兼顧PCA與LPP特點(diǎn)的正交PCALPP非線性流形學(xué)習(xí)算法，并給出相應(yīng)的理論計(jì)算模型，結(jié)合小波包分解，實(shí)現(xiàn)單維信號(hào)的故障特征重構(gòu)投影，從而增強(qiáng)故障特征信息，從信號(hào)故障譜線增強(qiáng)和故障類(lèi)型辨識(shí)率提升兩方面進(jìn)行了比較研究，主要有以下結(jié)論:

(1)多尺度正交PCA-LPP結(jié)合了PCA的全局分布方差增大和LPP的局部非線性特征保持能力，處理后的故障信號(hào)包絡(luò)譜中故障譜線明顯增強(qiáng)。

(2)對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行多尺度正交PCA-LPP特征增強(qiáng)處理后，提取小波包能量熵特征進(jìn)行故障類(lèi)別辨識(shí)的結(jié)果表明，增強(qiáng)后提取的故障特征向量分類(lèi)更清晰，對(duì)應(yīng)的故障類(lèi)型識(shí)別率明顯提高。

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