主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)的預(yù)測方法研究

王二化，吳 波，胡友民，王 軍，楊叔子

(1.常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 常州 213164;2.華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074)

為保證切削過程的穩(wěn)定性，通常用穩(wěn)定性Lobe圖來確定切削過程中穩(wěn)定和不穩(wěn)定的切削區(qū)域，而穩(wěn)定性Lobe圖的繪制需要首先獲取機(jī)床的動(dòng)力學(xué)知識(shí)(刀尖頻響函數(shù))。刀尖頻響函數(shù)可以通過激振實(shí)驗(yàn)方法獲得［1－2］，但對于大量主軸、刀柄和刀具組合來說，需要對每一種組合重復(fù)相同的實(shí)驗(yàn)，在生產(chǎn)實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn)。為了解決這個(gè)問題，美國標(biāo)準(zhǔn)和技術(shù)研究院Schmitz等［3－4］提出了動(dòng)柔度耦合子結(jié)構(gòu)分析方法(RCSA)，接著，一些研究人員［5－7］對其進(jìn)行了一些改進(jìn)。在這些刀尖頻響函數(shù)預(yù)測模型中，一般通過模態(tài)疊加法計(jì)算刀柄和刀具端點(diǎn)頻響函數(shù)，這種方法有兩個(gè)方面的缺陷:① 引入模態(tài)誤差，降低子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù)精度;② 模態(tài)疊加法計(jì)算量較大，影響預(yù)測效率。

本研究是在課題組胡峰、吳波等相關(guān)研究基礎(chǔ)上［8－9］，針對模態(tài)疊加法中出現(xiàn)的問題，本研究以Timoshenko梁理論、傳遞矩陣法和RCSA耦合技術(shù)為基礎(chǔ)，提出了一種新的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測方法。由于避免了大量復(fù)雜的模態(tài)分析，該算法在精度和效率方面都具有較大優(yōu)勢，有助于快速地得到高精度的刀尖頻響函數(shù)，為保證切削過程的穩(wěn)定提供必要的理論依據(jù)和技術(shù)支持。

1 基于Timoshenko梁的傳遞矩陣?yán)碚?/h2>

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中，常用的梁結(jié)構(gòu)包括歐拉－伯努利梁和Timoshenko梁兩種形式。歐拉－伯努利梁適用于高度遠(yuǎn)小于跨度的細(xì)長結(jié)構(gòu)，但對于跨度長度比較小的結(jié)構(gòu)，計(jì)算精度就很難滿足實(shí)際需要。針對主軸、刀柄和刀具結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的Timoshenko梁理論［10］建立各子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)參考文獻(xiàn)［11－12］，作者通過單段Timoshenko梁運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)平衡條件計(jì)算各子結(jié)構(gòu)左右兩端截面之間的傳遞矩陣。

1.1 單段Timoshenko梁的傳遞矩陣

以兩端自由的Timoshenko梁段作為研究對象，計(jì)算其左右兩端的傳遞矩陣，梁段如圖1所示。

圖1 Timoshenko梁模型Fig.1 Timoshenko beam model

Timoshenko梁段的運(yùn)動(dòng)方程如下所示

其中:y(x，t)為梁上任一點(diǎn)的瞬時(shí)位移;A是梁段橫截面積;m為單位長度的梁段質(zhì)量;E是楊氏彈性模量(假設(shè)各向同性);G是剪切模量;k是剪切系數(shù);I是二階截面慣性矩，l為梁段長度，Mi－1，Qi－1分別為梁段左端面的彎矩和剪切力，Mi，Qi分別為梁段右端面的彎矩和剪切力。

兩端自由Timoshenko梁段的動(dòng)平衡方程為

根據(jù)Timoshenko梁段運(yùn)動(dòng)和動(dòng)平衡方程，可以推導(dǎo)出梁段左截面狀態(tài)矢量為

同樣，梁段右端面的狀態(tài)矢量為

其中，矩陣T1和T2如表達(dá)式(3)和(4)所示，可得梁段左端面和右端面之間的關(guān)系如下

因此，可得兩端自由Timoshenko梁段左端面和右端面之間的傳遞矩陣如下所示。

1.2 彈性支撐元件的傳遞矩陣

在主軸建模過程中，除了兩端自由Timoshenko梁左右端面之間的傳遞矩陣外，還需考慮軸承等彈性支撐元件左右端面的傳遞矩陣。本節(jié)以等效剛度ky和等效粘性阻尼系數(shù)cy支撐的無質(zhì)量Timoshenko梁段為研究對象，分析其受力情況，如圖2所示。

圖2 彈性支撐結(jié)構(gòu)及其受力分析圖Fig.2 Structure and the force analysis diagram of elastic supporting

其中:Mi－1和Mi分別為施加在彈性支撐左端面和右端面上的彎矩;Qi－1和Qi分別為彈性支撐左端面和右端面上的剪切力;yi－1為彈性支撐左端面上的直線位移;ω是角頻率。根據(jù)平衡和兼容條件，彈性支撐左右端面的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力之間的關(guān)系如下所示

彈性支撐左右端面狀態(tài)矢量的傳遞矩陣為

2 建立刀尖頻響函數(shù)預(yù)測模型

如上所述，本研究利用多段Timoshenko梁建立主軸、刀柄和刀具模型，并通過傳遞矩陣法計(jì)算各子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù)，最后利用RCSA法耦合各子結(jié)構(gòu)預(yù)測刀尖頻響函數(shù)。

2.1 獲取各子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù)

通過上述Timoshenko梁和彈性支撐元件的傳遞矩陣?yán)碚?，獲取各子結(jié)構(gòu)左右端面總體傳遞矩陣，并通過適當(dāng)變換，計(jì)算各子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù)。

首先定義子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)頻響函數(shù)H，N，L和P如下

其中:y和θ分別為子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)直線位移和角位移;f和m分別為作用在端點(diǎn)0和k上的力和彎矩。

以主軸為研究對象，利用多段Timoshenko梁理論和彈簧阻尼單元建立主軸動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。

圖3 彈簧和阻尼支撐的主軸動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of the spindlesupported by springs and dampers

其中:kyf和cyf分別為主軸前軸承的直線剛度和阻尼;kyr和cyr分別為主軸前軸承的直線剛度和阻尼;0，1，2，…，11代表多段 Timoshenko梁的各個(gè)截面;［T1］，［T3］，…，［T8］，［T10］，［T11］分別表示分布質(zhì)量梁段左右端面狀態(tài)矢量傳遞關(guān)系，［T2］和［T9］表示彈性支撐單元的傳遞矩陣。

通過單段Timoshenko梁和彈性支撐單元傳遞矩陣計(jì)算方法，可得主軸子結(jié)構(gòu)的整體傳遞關(guān)系如下所示

為了計(jì)算主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)，將0點(diǎn)到11點(diǎn)狀態(tài)矢量的傳遞方程修改為

為了獲取刀尖頻響函數(shù)H00和N00，方程(12)可以簡化為

方程(13)的后兩個(gè)表達(dá)式如下所示

刀尖頻響函數(shù)H00和N00可以得到

利用相似的方法，刀尖頻響函數(shù) L00和 P00可以得到

利用同樣的方法，可以得到剩余的12個(gè)刀尖頻響函數(shù)。

主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣可以表示如下

同樣利用多段Timoshenko梁建立刀柄和刀具動(dòng)力學(xué)模型，如圖4所示。

圖4 刀柄和刀具動(dòng)力學(xué)模型Fig.4 Dynamic model of the holder and tool

其中:0，1，2，…，6等分別為各段 Timoshenko梁端面，［T1］，［T2］，［T3］，…，［T6］等分別為各段 Timoshenko梁左右端面之間的傳遞矩陣。

利用和計(jì)算主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)相似的方法，可以得到刀柄和刀具端點(diǎn)頻響函數(shù)，其頻響函數(shù)矩陣分別為

2.2 RCSA子結(jié)構(gòu)耦合理論

得到主軸、刀柄和刀具三個(gè)子結(jié)構(gòu)的端點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣后，利用RCSA方法獲取主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)的刀尖頻響函數(shù)［7］，三部件耦合結(jié)構(gòu)如圖5所示。為了獲得更加精確的刀尖頻響函數(shù)，主軸－刀柄與刀柄－刀具之間結(jié)合面直線與轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和阻尼均需考慮。為了建立一個(gè)更加真實(shí)的模型，主軸中的刀柄部分看成是主軸的一部分，刀柄中的主軸部分看成是刀柄的一部分。

圖5 主軸、刀柄和刀具的彈性耦合結(jié)構(gòu)Fig.5 Elastic coupling structure of the spindle，holder and tool

主軸－刀柄結(jié)合面動(dòng)力學(xué)的復(fù)剛度矩陣可以表示如下

利用RCSA方法，主軸－刀柄耦合系統(tǒng)SH端點(diǎn)頻響函數(shù)如下所示

得到主軸－刀柄耦合系統(tǒng)SH端點(diǎn)頻響函數(shù)后，利用相似的方法，主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)的端點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣可以得到。裝配體刀尖頻響函數(shù)矩陣的第一個(gè)元素如下所示［7］

其中:Kht是刀柄－刀具結(jié)合面的復(fù)剛度矩陣，如下所示

3 案例研究和討論

3.1 刀尖頻響函數(shù)計(jì)算

為了論證本研究提出的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測方法，本章選擇參考文獻(xiàn)［7］使用的案例進(jìn)行刀尖頻響函數(shù)預(yù)測研究，本案例使用的主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 案例研究的各子結(jié)構(gòu)及其裝配體Fig.6 Each substructure and the assembly of case study

選擇鋼作為主軸，刀柄和刀具的材料，密度ρ=7800 kg/m3，楊氏模量 E=200GPa，泊松比 v=0.3。軸承、結(jié)合面動(dòng)態(tài)參數(shù)及主軸、刀柄和刀具結(jié)構(gòu)尺寸如表1～3所示。

表1 軸承及各結(jié)合面平均動(dòng)態(tài)參數(shù)Tab.1 Average dynamic parameters of the bearing and interfaces

表2 軸承距主軸右端面的距離Tab.2 Distancesofthebearings fromtherightendofthespindle

表3 子結(jié)構(gòu)尺寸:(1)主軸，(2)刀柄，(3)刀具Tab.3 Substructuredimensions:(1)spindle;(2)holder;(3)tool

其中，各子結(jié)構(gòu)梁段都是從圖形右邊開始編號(hào)，刀具懸臂長度為85mm。

根據(jù)本案例提供的各子結(jié)構(gòu)尺寸、軸承、結(jié)合面動(dòng)態(tài)參數(shù)，利用本研究提出的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測方法，計(jì)算主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，在刀尖頻響函數(shù)計(jì)算過程中，需要進(jìn)行大量的矩陣運(yùn)算，因此，選擇擅長矩陣運(yùn)算的大型工程軟件MATLAB實(shí)現(xiàn)本研究提出的算法［13］。

通過RCSA耦合方法，利用彈簧阻尼單元將主軸、刀柄和刀具三個(gè)子結(jié)構(gòu)耦合起來，可以得到刀尖頻響函數(shù)如圖7所示。

由圖7可以看出，在感興趣的頻帶(0～4000Hz)范圍內(nèi)有七階模態(tài)，前兩階剛體模態(tài)固有頻率分別為71.6Hz和196.1Hz，它們主要取決于主軸的尺寸，支撐方式和支撐位置。其它模態(tài)都是彈性模態(tài)，它們主要受主軸－刀柄和刀柄－刀具結(jié)合面參數(shù)控制。

3.2 有限元仿真驗(yàn)證

圖7 主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù):幅值和相位圖Fig.7 ToolpointFRFofthespindle－h(huán)older－tool system:magnitudeandphasediagrams

為了驗(yàn)證本文提出的計(jì)算方法，利用有限元軟件ANSYS12.0建模給定的主軸、刀柄和刀具組合，通過有限元分析方法獲取主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)的刀尖頻響函數(shù)［14－15］。在這個(gè)有限元模型中，Timoshenko梁單元Beam188用來建模給定組合的每個(gè)子結(jié)構(gòu)，Beam188梁單元具有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，并且每個(gè)結(jié)點(diǎn)能處理六個(gè)自由度。軸承、主軸－刀柄和刀柄－刀具結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特征利用ANSYS12.0的彈簧阻尼單元進(jìn)行模擬。給定的主軸－刀柄－刀具組合的有限元、文獻(xiàn)［7］和本文分析結(jié)果，及誤差百分比如表4所示。

表4 案例研究中裝配體的固有頻率Tab.4 Naturalfrequencyofthe assemblyinthiscasestudy

由表4可以看出，本研究提出的刀尖頻響預(yù)測方法與有限元結(jié)果一致性較好，前七階模態(tài)最大誤差不超過3%，除第二階模態(tài)固有頻率精度稍差外，其它幾階模態(tài)固有頻率精度都明顯優(yōu)于參考文獻(xiàn)［7］提出的計(jì)算方法。

利用指定的計(jì)算機(jī)(Pentium?Dual－CoreCPU2.93 GHz，2.0 GB RAM)，通過有限元模型計(jì)算給定組合刀尖頻響函數(shù)(頻段:0～4000 Hz，頻率增量:0.5 Hz)需要30 min。然而，在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上，通過本文提出的理論模型計(jì)算給定組合刀尖頻響函數(shù)僅需30 s，而利用文獻(xiàn)［7］提出的預(yù)測模型大約需要45 s，可以看出，本文提出的分析方法大大減少了計(jì)算時(shí)間，這主要因?yàn)楸苊饬擞邢拊Ｐ秃臀墨I(xiàn)［7］中大量的模態(tài)分析，此外，由MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)的傳遞矩陣法能直接求解裝配體的頻響函數(shù)，省去了在有限元分析方法中大量的建模和網(wǎng)格劃分時(shí)間。

4 結(jié)論

本研究結(jié)合Timoshenko梁理論、傳遞矩陣法和子結(jié)構(gòu)耦合方法，提出了一種主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)預(yù)測模型。比較有限元、文獻(xiàn)［7］和本文提出的理論模型計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，和文獻(xiàn)［7］建立的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測模型相比，本文提出的理論模型在精度和效率方面都具有明顯優(yōu)勢。本研究提出的刀尖頻響函數(shù)預(yù)測方法有助于快速地得到高精度的立式銑床刀尖頻響函數(shù)［16］，為保證切削過程的穩(wěn)定提供必要的理論依據(jù)和技術(shù)支持。

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