杏果輸送過程中穩定性的數值模擬與試驗研究

羅建清，王春耀

(新疆大學 機械工程學院，烏魯木齊 830047)

水果在輸送過程中主要借助與其本身的物理特性，在機械平臺輸送的過程中完成自動定向。1986年，Rehkugler等研究利用機器視覺系統進行蘋果表面檢測，實現蘋果的定向是為了避免判定果梗、果萼作為損傷區域而影響檢測結果［2］;Narayanan 等［3］利用工業相機全程監測蘋果沿特定斜面軌道作純滾動的整個運動過程，結果發現蘋果由隨機運動狀態逐漸實現自定向。目前，國內外側重于定向裝置的研究，對定向機理的探討甚少，本研究引用運動穩定性理論［4］應用于農業機械領域，采用剛體動力學理論［5］和虛擬樣機技術［6］深入研究杏子輸送過程中的定向機理。在試驗過程中發現，由于夾持帶和杏子這種剛柔耦合體［7］在實際工作狀態下周期性運轉，會對杏子的定向造成一種類似于激振力的影響［8］。杏果輸送定向系統的運動過程中，整個運動系統實際上是剛體動力學中的非線性系統。尤其對于動力學分析研究時，若忽視自身存在的干擾力矩對系統的影響，每個部件所受外力的作用及運動狀態，將會產生巨大誤差，是系統進入混沌狀態，對定向成功率將產生很大影響。以往分析非線性系統時，常用方法就是在局部范圍內線性化，但是鑒于線性系統理論的局限性和特殊性，無法完整的對非線性系統的特性和形象更好的說明。因此對非線性非定常系統可采用相平面分析法、描述函數法、李雅普諾夫指數法［9－10］和計算機仿真法。本文通過Matlab計算和數值分析軟件［1］，利用Matlab提供豐富的系統控制分析模塊和繪圖資源，從輸出的時域圖、根軌跡圖、相圖等多方面模擬出非線性系統特有運動狀態，從而分析系統的穩定性問題［11］。

1 歐拉動力學方程

1.1 建立運動方程

根據杏果在輸送裝置中的實際運動狀態，分析杏果的受力情況如圖1所示［16］。假設杏果從初始狀態自由進入輸送帶到最終完成定向輸送過程中，杏果在整個輸送定向裝置內運動。杏果在輸送過程中，由于將輸送帶和夾持帶作為柔性體處理，則水果受合力矩為M，繞固連坐標系 X、Y、Z軸方向的分力矩為 Mx、My、Mz。

圖1 杏果輸送過程中的受力簡圖Fig.1 Institutions Sketch of apricot fruit in the process

以杏果的質心為坐標原點，建立空間直角本體坐標系(O1，2，3)，以杏果的慣量主軸為坐標軸，將外加主矩M向慣量主軸方向上分解，采用歐拉動力學方程［12－13］，作為描述杏果輸送系統整體平面運動的微分方程，可得:

式中:J1、J2、J3分別為剛體繞本體坐標系3個主慣量軸的轉動慣量，ω1、ω2、ω3是剛體旋轉角速度ω在本體坐標系中的三軸分量，ω'1、ω'2、ω'3是剛體旋轉角加速度在本體坐標系中的三軸分量，M1、M2、M3分別為外加力矩M在定義本體坐標系中的三個坐標軸分力矩。由于剛體在整個實際運動過程中所受外力矩很微弱，M1、M2和M3都近似為零，則歐拉動力學方程簡化為以下形式:

1.2 運動穩定性分析

求解該方程組(2)知，有三個特解:

根據杏果運動的實際工況，分析知繞1軸轉動較多，則選取其工況下討論特解，來進行穩定性分析:

令 x1=ω1－ω0，x2=ω2，x3=ω3(ω0為外界加在杏果上繞1軸轉動的擾動角速度)，系統受到的擾動方程為［17］

上述方程組(4)進行一次線性近似得

并由此可得到參數矩陣的特征方程:

化簡整理的:

求解得到:

假設質量取正數，則有以下3種情況存在:

(1)當J2＞J1＞J3或者J3＞J1＞J2情況下，S恒正，式(8)通解的一般形式 x2，3=C1eit+C2e－it＞ 0，隨時間歷時延長擾動也隨之增加，其運動是不穩定的。

(2)當 J1＞J2＞J3或者 J3＞J2＞J1時，則 S＜0，求得通解為x2，3=C3cos(it)+C4sin(it)，說明運動中擾動量只在零點附近做微擾動，有λ1值等于零和λ2，3為一對共軛虛根，則該運動是純滾動，并且系統是穩定的。

(3)當 J3＞J1≥J2或者 J3≥J1＞ J2時，求解式(7)得λ1=λ2=λ3=0，全是零根，不能由其一次近似式來表征，此情況屬于臨界情況，運動穩定性問題需要借助高次項判定。在已知駐定的情況下，對于微分方程方程組的穩定性，可以構造不定李雅普諾夫V函數V(x1，x2，x3)=x2x3，計算V沿方程(5)解曲線的全導數，得到

可取定以下區域:

在V＞0情況包含于D區域內，ε足夠小但不為零，使得 p0+x1＞0成立，在該區域 D中，有 V＞0，為正定，因此系統的微擾動為不穩定。當V(x1x2x3)=V(0，0，0)=0，時，系統在原點穩定。

2 穩定性數值仿真及結果

2.1 數值求解法

杏果在輸送定向裝置內滾動時，對運動系統有擾動外力矩，但無控制力矩。將微分方程組的常量賦予初始值。

設杏果近似為橢球體，其橢球方程

通過對新疆賽買提杏果的實際測量可取其平均值:2a=0.038 m，2b=0.042 m，2c=0.044 m，M=0.03 kg

其中:a和b是赤道半徑(沿著x和y軸)，c是極半徑(沿著z軸)。

繞x軸的轉動慣量:

繞y軸的轉動慣量:

繞z軸的轉動慣量:

將上述J1、J2、J3代入方程組2中，化簡得到可控方程:

基于該方程可編寫非線性系統的M文件函數［14］rigid.m。

在matlab窗口輸入命令

取t0=0，t1=12，由實驗可知分為以下的三種存在微擾動的情況:

通過調用函數求解得到系統的根軌跡圖2。

圖2 三階非線性系統根軌跡圖Fig.2 The root locus of third-order nonlinear system

從圖2中很明顯得出:(a)、(c)情況，杏果在忽略阻尼和外力矩微擾動情況下，杏果將繞最大或者最小主慣性軸轉動，并且運動為漸進穩定;(b)情況，杏果繞各方向角速度變化比較大，故繞著中間主軸旋轉是不穩定的;并且三種情況下，ω1的幅值變化范圍最小。

2.2 相平面法［15］

在Matlab軟件中對微分方程10進行求解并數值模擬。根據運動系統的狀態方程，將其轉換成所需的積分方程，利用資源模塊和積分算子畫出SIMULINK的模塊化仿真圖。為保證仿真計算的精確度，相對誤差通常設為10－10，絕對誤差通常設為10－13。利用積分算子建立系統SIMULINK的仿真如圖3所示，利用自編寫程序可進行仿真。

圖3 系統的SIMULINK仿真Fig.3 The SIMULINK system simulation

圖4 MATLAB仿真結果Fig.4 The MATLAB simulation results

取仿真時間分別為 t0=100、500、5000、10000、20000、50000 s，仿真結果如圖 4(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)，圖中從上至下分別為系統的時域圖、三維相圖及Y－Z相平面圖。

根據圖4(a)～(f)可以看出:當隨著仿真步長的增長，非線性系統運動中引起系統的自激震蕩，隨時間歷程增加逐漸減弱，最終趨于穩定，也就是說此系統整體收斂，漸進穩定;當給系統一定的干擾后，由系統的三維相圖和Y－Z相平面圖可知，系統的運動會慢慢趨于一穩定值，即在ω的相空間中，運動收斂于某個吸引域。

3 試驗研究

為了進一步分析數值模擬的準確性，通過正交試驗簡單預估每個因素水平對試驗結果的影響，通過圖表反映出來，利用極差和方差的綜合比較，最后確定影響穩定性的優化參數。

3.1 正交試驗設計

本實驗不考慮因素的相互作用，試驗選取入口通道寬度(D)、杏子短徑尺寸(I)、底部定向輸送帶與側向夾持帶的相對速度差(ΔV)和參考空白列因素(e)依次安排在L9(34)的第一、二、三、四列上，正交試驗因素水平表1所示，按照下列方案表2分別進行正交試驗。

表1 正交試驗設計因素水平表Tab.1 Orthogonal design factor level table

表2 正交試驗方案表Tab.2 Orthogonal test program table

3.2 試驗結果及分析

整個試驗系統所需數據由動態測量系統接線輸入和計算機數據采集輸出保存，分別對應正交表中的試驗組合方案，將杏果尺寸大小分類排放，根據不同因素的每個水平條件，調節杏果切分機的相應參數，并且對定向輸送帶采用不同幾何形態進行對比試驗，借助高速攝像機對水果定向運動穩定狀態進行實時存儲并且動態觀測，如圖5所示。

圖5 杏果定向穩定過程圖Fig.5 Apricot fruit directional stabilization process diagram

表3 正交試驗結果Tab.3 Orthogonal test results

表4 試驗參數對穩定性的影響Tab.4 The impact on the stability of test parameters

圖6 因素水平與試驗指標影響趨勢圖Fig.6 Factors affecting the level and trend test index

3.2.1 極差分析

由極差分析結果表可得出，對于杏果定向穩定性成功率的研究，極差最大項是入口通道寬度D，其次相對速度差，最小的是杏子尺寸大小，則各因素的主次關系可表示為D＞ΔV＞I，從而可以得出一組優組合是D2I1ΔV2，即當入口通道寬度為30mm、相對速度差為55 m/min、杏子短徑大小在32～34mm之間。該組合在正交試驗表有對應項，并為最優組合，在該情況下的定向完成或者趨于完成區域是在定向輸送裝置的第三區域。

根據效應曲線圖6，也可以很直觀的分析出，圖中左邊有關通道入口寬度的趨勢線中，在該范圍內的曲線斜率變化最大，對定向成功率的結果影響最明顯，其次是相對速度差的曲線斜率變化僅次于入口寬度的曲線斜率，杏子尺寸大小曲線變化最小，對試驗指標的影響也最小。對于目前給定的數值水平情況下試驗，結果表明，隨著定向裝置的入口寬度的增加，杏果的定向成功率出現先上升后下降的情況，當杏子尺寸的增加時定向率總體下降，相對速度差的變化趨勢是先升后降，對于在選用齒皮帶的情況下，這些規律對實際加工過程中有一定的指導作用。

3.2.2 方差分析

對于極差分析結果不能有效的估計在整個試驗過程中和相應的試驗結果中所存在的誤差大小。因此，通過方差分析的手段對這個問題進行解決。通過取α取0.1時，進行F檢驗，判斷因素的顯著性水平。

通過對齒皮帶工況下的方差分析表5可知:定向裝置的入口通道的寬度對最終定向穩定性的影響程度是顯著的，而杏果尺寸大小和相對速度差對定向成功率的影響是有一定影響。由此在可控參數的范圍內對杏果切分前輸送定向過程進行參數調整時，定向裝置的入口通道的寬度對最終定向穩定性影響最大。誤差分析過程中，在設計正交表中，由于文中將空白列作為作為誤差來估計計算，但其誤差來源有可能來自于因子的交互作用，則每個因子的相互交互作用對試驗指標也有會一定的影響。

表5 方差分析表Tab.5 Analysis of variance table

4 結論

應用運動穩定性理論對杏果在輸送過程中定向機理進行研究是可行的，通過對杏果在定向過程中運動規律的分析，建立符合工程實際條件的歐拉動力學方程，進而描述杏果的整個運動狀態。為驗證理論的正確性，首先通過數學理論推導，分析系統在定向過程中的穩定性，然后結合Matlab數學分析軟件編寫程序，對微分方程進行數學求解仿真，得到了相應的特定狀態下的軌跡圖和系統相圖，驗證了杏果在定向過程運動的穩定性。最后通過正交試驗證明了數值模擬的正確性，并且找到了影響定向穩定性的因素水平，說明采用Matlab編程的手段實現運動系統穩定性的仿真時可行的，為后續杏果切分機械加工的設備改進創新和優化提供了分析依據。

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