水平振動荷載作用下樁基動力特性

韓紅霞，崔武文，李雨潤

(1.天津大學 土木工程系.天津 300072;2.河北工業大學 土木工程學院，天津 300401;3.天津財經大學，天津 300222)

樁基礎已廣泛應用于現代工業與民用建筑中，人們對其在靜力和動力作用下力學行為的研究也越來越成熟。隨著橋梁、近海采油平臺、開敞式碼頭等大型基礎建設規模不斷擴大，國內外研究人員［1－15］對樁土的水平動力相互作用問題進行了大量的研究。關于樁土水平振動特性的解析方法主要有:平面應變法，Novak等［5－11］。Winkler彈性地基梁法，Gazetas 等［12－14］，由于此法簡單，在20世紀60～70年代曾被廣泛地用于樁基的設計與分析中。但這些方法都假定樁周土與樁完全接觸，認為樁土的接觸面滿足力的平衡和位移連續條件。在地震作用、汽車制動力、撞擊力、波浪荷載、風荷載等水平振動荷載作用下，樁和土之間很容易發生部分脫開的現象。因此，在研究樁基水平動力特性時應考慮樁與土之間局部分離的物理現象(即認為在土體表面樁和土之間不存在負側壓力，應力為零)是非常有意義的。

本文采用波動力學的基本方法，考慮樁在水平振動時可能出現的與土體局部分開的物理現象，根據無限平面內圓孔輻射應力混合邊值問題的計算理論［15］，利用傅里葉展開法(展開最高項達75項)計算出樁土相互作用時的土體阻抗，之后將其應用到Novak的無限薄層理論［6］中計算出單樁的動剛度和動阻尼，研究了單樁的水平振動特性，并將其結果與試驗值進行了比較，得到了一些有益的結論。

1 樁周土動剛度與動阻尼求解

1.1 基本條件

樁受水平簡諧荷載作用發生振動時，總是有半個圓周與周圍土體接觸，在接觸面上產生壓應力和剪切應力;而另一半則彼此脫離，不產生任何應力。假定下列條件成立:

(1)土體為連續、均勻的線彈性材料，其泊松比為ν，剪切模量為G，密度為ρ。

(2)樁為線彈性材料，其彈性模量為Ep，質量密度為 ρp。

(3)樁為等截面均質圓形桿件，其半徑為a，截面慣性矩為Ip。

(4)水平動力荷載為簡諧荷載;水平振動時，樁和土僅發生橫向水平位移，而忽略豎向位移。

(5)忽略樁與周圍土體的摩擦。

(6)樁土接觸面處滿足位移連續性條件。

取深度為z處一個單位的土層厚度為研究對象，相應截取一個單位樁長稱為樁元，如圖1(a)所示。

圖1 樁基示意圖Fig.1 Schematic diagram of pile

初始條件:

任意t時刻，在深度z處樁元上沿x軸方向的水平位移為:

u0為樁沿水平方向上的初始應變。作用在樁土接觸面即半圓周上的徑向和切向應力分別為(如圖1(b)所示):

邊界條件:

在樁孔r=a處的邊界條件為:

1.2 樁周輻射應力求解

根據輻射應力混合邊值問題計算理論［15］和初始條件、邊界條件可以求得在接觸面上任意一點產生的徑向與切向變位的幅值分別為:

公式由兩個Fredholm積分方程組成。

式中:Gi(θ，ξ)，i=1、2、3、4 為對稱核函數［15］，其值可由下式得到。

其中:

H(x)為關于x的第一類漢克爾函數;α=ω/Vp為縱波波數;β=ω/Vs為橫波波數;Vp、Vs分別為土體中的壓縮波波速和剪切波波速;ω為激振頻率;n為傅里葉展開項數;

ur(θ)和uθ(θ)也可分別按余弦和正弦級數展開:

式中:J(x)為關于x的第一類貝塞爾函數;Y(x)為關于x的第二類塞爾函數;hp、kp表達式為:

根據式(8)可得到方程組如式(9):

當p=0時:

當 p=1、2、3…時:

其中:

利用傅里葉展開法求解代數方程組(9)(展開最高項達75項)，即可求得到cm和dm的值，并對其進行無量綱化，即假設:

最后，將式(10)代入式(6)得輻射應力幅值為:

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1.3 樁周土的動剛度與動阻尼:

將樁周應力式(11)沿x軸的水平分量求和為:

從而得出樁周土的復剛度為:

因此，樁周土的動剛度和動阻尼分別為:

根據這一方法可求出的樁周土的動剛度和動阻尼參數Su1、Su2，其值隨無量綱頻率 a0=aω/Vs的變化曲線如圖2。

圖2 水平振動時的樁周土動剛度和阻尼參數Fig.2 The stiffness and damping parameters of pile under horizontal vibration loads

2 樁的剛度和樁頂振幅反應

樁在水平振動荷載作用下，在任意深度z處的微分方程［6］為:

式中:mp為單位長度上樁的質量;EpIp為樁的抗彎剛度。

根據此方程可以求解出在水平簡諧荷載作用下單樁的動剛度和動阻尼［6］:

水平簡諧荷載作用下的樁頂水平動剛度和動阻尼:

水平簡諧荷載作用下樁頂在豎直平面的扭轉動剛度和動阻尼:

水平簡諧荷載作用下樁頂水平和扭轉偶聯的動剛度和動阻尼:

式中:f7，1、f9，1、f11，1為樁的無量綱剛度參數;f7，2、f9，2、f11，2為樁的無量綱阻尼參數;F7(λ)、F9(λ)、F11(λ)為與頻率有關的功能函數，其具體形式見Novak文獻［6］;λ為水平簡諧荷載作用下的頻率參數，具體形式見Novak文獻［6］。

根據計算出來的單樁剛度及Novak文獻所介紹的直接法［9］或模態法［6］可以計算出無量綱的水平振動幅值隨頻率的變化曲線，從而對樁在水平振動荷載作用下的動力特性進行分析。

3 試驗比較

為了驗證本文的計算結果，并便于比較本文與Novak理論［6］的不同。進一步采用Novak的現場試驗數據［10］將兩種方法的樁剛度和水平振動特性進行了比較。

Novak的現場試驗為小尺寸模型試驗，試驗土體為細粉砂土，其泊松比 ν=0.25，土體的密度 ρ=1792 kg/m3;試驗樁為鋼管樁，其半徑a=3.05mm，樁長l=2.4 m ，截面慣性矩為 Ip=2.085 ×10－7m－4。樁頂水平動簡諧荷載通過機械離心振蕩器施加，離心轉體質量me=0.0689 kg，離心轉體偏心距 e=0.1 m。(其余參數及有關試驗的進一步情況請參考文獻［10］)。

3.1 剛度比較

在水平簡諧荷載作用下，根據試驗資料可算得單樁的動剛度參數 f7，1、f9，1、f11，1和動阻尼參數 f7，2、f9，2、f11，2隨無量綱頻率 a0的變化關系見圖3(a)、(b)、(c)所示，圖中虛線為按Novak理論算得的結果［6］，實線為本文考慮樁土分離時的計算結果。可以看出:

(1)在水平振動荷載作用下，水平動剛度、水平－扭轉偶聯動剛度、扭轉動剛度明顯逐漸增大，水平動阻尼、水平－扭轉偶聯動阻尼、扭轉動阻尼同樣也逐漸增大。這說明在水平振動荷載作用下，樁的水平位移較大，是主要變形，而扭轉變形則相對較小。

圖3 水平振動荷載作用下樁的剛度比較Fig.3 Comparison of the pile stiffness and damping under horizontal vibration loads

(2)當無量綱頻率a0＜0.4時，動阻尼隨a0的變化很大，動剛度隨a0的變化較大;當a0＞0.6時，動剛度和動阻尼隨a0的變化相對變小，此時可近似將動剛度和動阻尼視為獨立于a0的一個常量，以便減小計算量。

(3)按本文方法計算的三種動剛度略小于按Novak方法計算的動剛度，按本文方法計算的三種動阻尼小于按Novak方法計算的動阻尼，這表明考慮樁土分離后，單樁動剛度和動阻尼都有所減小。分析其原因，主要是因為考慮樁土分離后，在土層頂面只有半個圓周與樁密切接觸。

(4)當無量綱頻率 a0＜0.6時，按本文方法和Novak方法計算出的動阻尼差值明顯大于動剛度之間的差值。這說明，考慮樁土分離后動阻尼的變化大于動剛度的變化，此規律決定了共振曲線的峰值和頻率的變化。

3.2 水平振動比較

根據novak文獻中的直接法［9］，可以得到樁的水平振動幅值，其值采用無量綱的形式，是一個相對值:

式中:me為離心轉體質量，e為離心轉體偏心距。

Novak文獻［10］中采用了兩種剪切波速，其一為在樁尖旁側處按穩態振動法測得的剪切波速Vw=175 m/s;另外一個為由樁的靜態試驗測得視剪切模量為定值的剪切波速Vst=44.8 m/s。用兩種波速計算出的振幅相對值隨頻率的變化曲線如圖4。圖5為Novak［10］原文中的共振曲線。可以看出:

(1)由圖4(a)可知:當Vw=175 m/s時，按本文方法計算的水平振動曲線峰值為26，較按Novak方法計算出的峰值為45要低;按本文方法計算的共振頻率為13.6 Hz小于按 Novak方法計算出的共振頻率為14.4 Hz。

(2)由圖4(b)可知:當Vst=44.8 m/s時，按本文方法計算的水平振動曲線峰值為26，較按Novak方法計算出的峰值為19.4要高;按本文方法計算的共振頻率為7.4 Hz小于按Novak方法計算出的共振頻率為7.5 Hz。

(3)由圖5可知:根據Novak文獻［10］中的試驗結果得到的水平振動曲線峰值為39，共振頻率為7.0 Hz。

通過分析可以知道:

(1)無論采用哪種接剪切波速，按本文方法計算出的共振點峰值較穩定，其值與試驗值較為接近。

圖4 按本文和Novak方法計算出的水平共振曲線比較Fig.4 Comparison of horizontal resonance curve between the method of this paper and Novak

圖5 Novak原文中的水平共振曲線比較Fig.5 Comparison of theoretical and experimental response by Novak

(2)當采用剪切波速Vst時，按兩種方法計算出的共振頻率均與試驗值較接近。其主要原因是:實際的剪切模量是隨著深度而增加的一個量，而我們計算的是樁頂的反應，雖然Vw是在振動情況下測得的剪切波速，但其代表的剪切模量為樁尖處的剪切模量，因此采用Vw不如Vst更接近于試驗值。

(3)當采用剪切波速Vst時，按本文方法計算出的共振頻率更接近試驗值。

4 結論

單樁在水平動力荷載作用下發生振動時，在樁頂常發生與土體局部脫開的物理現象。本文針對這一現象應用波動力學的基本方法，根據無限平面內圓孔輻射應力混合邊值問題的計算理論，利用傅里葉展開法計算出樁土相互作用時的土體阻抗。將計算結果應用到Novak的無限薄層理論中計算出單樁的復剛度和水平振動特性，計算時采用了兩種剪切波速，并將結果與試驗值進行了比較。

研究表明:按本文理論計算出的樁基水平振動特性更接近于試驗值，尤其是當采用按靜態實驗法測得剪切模量Vst時，本文的結果無論是峰值還是峰值點頻率都同試驗值非常接近。因此，在實際工程中對樁的水平振動特性而言考慮樁與土的局部分離現象比不考慮樁土分離更為合理。

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