比例損傷結構的兩階段損傷識別研究

趙建華，張 陵， 孫 清

(1.西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049;2.西安交通大學 土木工程系，西安 710049)

工程結構在長期的服役過程中，由于受到自然災害或人為因素的作用，將不可避免地會發生材料秉性劣化和局部損傷現象。如果損傷累積到一定程度而未被及時發現，則可能會出現突發性事故，從而造成巨大的經濟和人員生命的損失。因此，對結構損傷識別的研究一直是國際上的研究熱點［1］。Ben等［2］利用超聲蘭姆波方法對碳纖維增強塑料板進行了損傷識別研究，并通過試驗加以驗證。余竹等［3］通過數值與現場實橋試驗驗證了小波包能量曲率差指標對損傷識別的有效性。劉偉等［4］提出了利用曲率模態與曲面擬合值的差異進行損傷定位的方法。近些年來，基于結構模態參數及其衍生量指標的損傷識別方法得到了廣泛的研究，取得了許多有指導工程實踐價值的成果。頻率作為結構的固有屬性之一，由于測試方法簡單且精度高，所以可以通過結構損傷前后固有頻率的變化來識別結構的損傷。Salawu［5］綜合分析了各種利用損傷前后固有頻率變化確定損傷的方法，認為僅靠頻率信息不足以精確確定損傷位置。Vestroni等［6］利用損傷前后的頻率變化量對簡支梁結構的裂紋進行了識別，研究表明只需前幾階低階模態便可準確定位，但損傷定量的效果欠佳。郭國會等［7］和謝峻等［8］推導出結構的頻變比是損傷位置的函數，認為該方法難以精確地定位和定量，因為不同位置和程度的損傷可能會引起相同的頻率變化。通過以上的研究可知，單純利用頻率指標來準確的識別出結構損傷尚有一定的困難。應變能作為模態振型的衍生量，對結構局部損傷的敏感性大大高于模態振型。損傷一般會導致結構局部剛度降低而使柔度增加，所以損傷后的單元模態應變能往往大于損傷前。Stubbs等［9］首先提出伯努利－歐拉梁的應變能計算公式，并利用損傷前后應變能比值對一維梁式結構進行了損傷定位研究。Cornwell等［10］對應變能方法作了進一步推廣，并將其應用到二維板式結構的損傷識別中。Shi等［11］提出單元模態應變能的概念，研究表明利用損傷前后單元模態應變能變化率可以準確確定出結構損傷位置。Kumar等［12］利用損傷前后模態應變能的變化來判斷三明治梁是否發生損傷以及確定出具體的損傷位置。劉暉等［13］利用應變能耗散率和相應的結構損傷前后應變能變化的關系推導出單元的損傷程度變量，數值分析表明該指標定位效果很好但定量誤差偏大。不難看出，大部分基于模態應變能的損傷識別方法主要針對的是結構的損傷定位問題，而要獲得精度較高的損傷定量則還需其他方法作進一步分析。本文以單元模態應變能為基本量，首先提出歸一化條件下的模態應變能損傷定位指標;在損傷定位的基礎上，建立基于比例損傷模型和頻率變化法的剛度矩陣壓縮損傷定量方程，并用最小二乘法求解出損傷單元的損傷程度。數值算例結果驗證了所提方法的有效性和正確性，并表明所提方法對測量噪聲有較強的魯棒性。

1 損傷表征

一般而言，結構或其構件在服役或遭受突發外力作用時，其內部各點的應力分布是不同的。倘若結構發生損傷(如材料表面腐蝕、出現裂紋、累積變形等)，則其損傷區域的力學性質定會有明顯的變化。彈性模量作為衡量材料產生彈性變形難易程度(剛度)的指標，是最能表征材料力學性質的一個參數量，可以很好地反映損傷對結構及其構件受力所產生的影響。因此，對于各項同性的彈性材料，結構的損傷可以表示為如下的形式［14－15］:

其中:E為完整材料的彈性模量，Ed為損傷材料的有效彈性模量;d(x，y)是表征局部損傷狀態的損傷分布函數，當 d(x，y)=0時，表示完整狀態，當d(x，y)=1時，表示在損傷處材料完全破損，當0＜d(x，y)＜1時，表示材料出現一定程度的破損。

2 損傷位置識別

結構損傷一般只引起結構局部剛度發生變化，而質量不變。針對這一特點，文獻［11］定義結構損傷前后，第j個單元關于第i階模態的單元應變能如下:

將式(4)展開，并忽略高階項的影響，可得

下面通過簡單的理論推導來證明模態應變能變化是損傷定位的敏感因子。由攝動理論可以推導出損傷前后第i階模態振型的改變量為［16］

假設結構第p個單元發生損傷，將式(6)代入式(5)，整理后可得

定義結構損傷前后整個結構關于第i階模態總的模態應變能分別如下:

由式(8)和(9)可得第j個單元關于第i階模態的歸一化模態應變能分別為

把式(14)構建指標NMSECRj稱為歸一化條件下的模態應變能變化率損傷定位指標。采用該指標來確定結構的損傷位置，可以有效地減少損傷位置的誤判，大大提高損傷位置識別的效率。

3 損傷程度識別

不考慮阻尼的影響，結構損傷前后的特征方程可表示為

其中:K和Kd分別表示損傷前后結構的剛度矩陣，M和Md分別表示損傷前后結構的質量矩陣;剛度和質量矩陣均為n階方陣;λi和λdi、φ和φdi分別表示損傷前后第i個特征值和相對應的振型。

假設損傷前后結構質量保持不變，損傷只引起結構局部材料彈性模量的折減并導致剛度產生變化量ΔK，同時特征值及其對應振型也產生變化量 Δλi和Δφi，即

把式(17)～(20)代入式(16)并展開整理，可得

由式(15)可知，式(21)第一項為結構無損傷狀態下的特征方程，故其值為零。忽略高階項的影響并對式(21)兩端同時左乘φTi，得

因為剛度和質量矩陣均為對稱方陣，即KT=K，MT=M，所以由對式(15)兩端轉置可知式(22)第一項也為零。如果對振型進行質量歸一化處理，即滿足Mφi=1，此時式(22)可簡化為

需要說明的一點是，矩陣ΔK為稀疏矩陣。因為只有在損傷位置處，結構剛度才發生改變，即ΔK對應的元素值非零;而在其他無損傷區域剛度的變化則為零，其所對應的元素值也為零，所以結構發生局部損傷時，僅僅有很少一部分剛度矩陣元素產生變化值，剛度變化矩陣ΔK絕大部分元素為零，形成一個稀疏矩陣。如果刪除矩陣ΔK中所有全為零的行和列，只保留那些非全零行和列，就可獲得只跟有限元模型中損傷單元相關的壓縮后的剛度變化矩陣ΔK'。與此同時，去除歸一化振型φi中與損傷單元自由度不相關的元素值，得到縮減后的僅與損傷單元自由度相關的振型 φ'i，式(23)可改寫為如下形式［17］

在有限元模型中，可以用比例損傷模型來表示損傷引起的剛度矩陣改變量，即ΔK'可以表示為每個單元的剛度矩陣與損傷系數的乘積之和，具體表示如下

式中;Kj和dj分別表示第j個單元剛度矩陣對壓縮矩陣ΔK'的貢獻量及對應的單元損傷系數;nd表示損傷單元的個數;求和符號表示剛度矩陣的組裝。

把式(25)代入式(24)，可得

其中:S是一個m×nd矩陣，且表示與振型和剛度矩陣相關的靈敏性矩陣;d是一個nd×1維列向量，且 d=［－d1，－d2，…，－dnd］T，表示單元損傷系數向量;Δλ是一個 m×1維列向量，且 Δλ=［Δλ1，Δλ2，…，Δλm］T，表示特征值變化向量;m 為計算的振動模態階數。需要補充說明的一點是，式(26)中矩陣和向量的大小與結構損傷的數目相關，而與結構本身的大小沒有關系。在工程實踐中，即使面對大型復雜結構的損傷識別問題，其損傷識別方程個數也僅有很少的若干個，因為式(26)的方程個數取決于損傷單元個數和測試模態階數。此外，由式(26)可知，計算振型和單元剛度相關靈敏性矩陣不需要損傷后的振型，這樣就可以有效地避免測試振型誤差對損傷程度識別結果的影響，大大提高識別的精度。

為了得到式(26)的唯一解，測試模態階數應該與損傷單元個數相等，即m=nd。但在實際的振動測試中，人為因素或測試設備造成的測試誤差不可避免，因此為了更加準確的識別結果，通常選取的測試模態階數大于損傷單元個數(m＞nd)，這就使得式(26)成為一個超定方程。求解式(26)中損傷系數向量d，可以通過最小化誤差平方的最小二乘優化算法［18］來進行計算，首先構造誤差函數如下)

且須滿足條件

其中:dk為向量d的第k個變量。把式(27)代入式(28)并經過矩陣變換，可得

4 數值分析

以圖1所示平面桁架結構為例驗證上述所提方法的有效性。該結構有限元模型包含31個典型的桿單元，14個節點和25個自由度，其基本參數為:彈性模量E=210GPa，材料密度ρ=7850 kg/m3，橫截面積A=0.0025 m2，桿件長度l=0.5 m。結構的損傷用單元彈性模量的折減來模擬。每個節點只考慮豎向的平動自由度，模態測試數據用結構的有限元模型模擬獲取，且假定模態振型滿足質量歸一化條件。文中通過提取結構損傷前后的前6階模態數據來進行損傷識別計算。假設有三種損傷工況:工況1，單元7和16發生損傷，剛度分別降低5%和10%;工況2，單元4和15發生損傷，剛度分別降低20%和30%;工況3，單元6、12和13發生損傷，剛度分別降低25%、30%和20%。在實際的工程結構振動測試中，頻率的測試精度較高，而模態振型則受周圍環境噪聲的影響較大。為了分析測量噪聲對損傷識別效果的影響，對振型分別加入2%和5%的測量噪聲。噪聲表達式如下［19］:

式中:φi和 φi分別表示加噪聲前后第i階模態振型;ε為噪聲水平大小程度;rand(－1，1)為在區間［－1，1］內均值為0，方差為1的正態分布隨機數。

圖1 平面桁架結構模型Fig.1 Planar truss structure model

4.1 損傷定位結果

圖2～4分別給出了三種工況利用歸一化條件下的模態應變能變化率損傷定位指標確定的結構損傷位置直方圖。從圖中可以很容易的看出，發生損傷位置處的損傷定位指標NMSECR明顯大于其他非損傷單元，不同的噪聲水平對損傷定位指標NMSECR值的大小有一定的影響，但對最終的損傷定位效果及其準確性的影響卻很小。從圖2可以看出，單元7和16對應的NMSECR指標遠遠大于其他未發生損傷的單元，說明單元7和16對應的位置處即為結構的損傷位置，這與工況1的損傷位置假定完全一致，即所提損傷定位方法正確有效。由于單元16位置處結構的損傷程度比單元7位置處大，所以對應的NMSECR指標也較大。需要說明的一點，NMSECR指標只表示損傷前后某一單元應變能的變化大小，其值大小只能定性的表示出損傷的嚴重程度，但并不能準確定量。此外，噪聲對NMSECR指標值的大小會有一定程度上的影響，但影響很有限，并不會出現非損傷單元的損傷定位誤判。當噪聲水平為2%時，NMSECR指標值與無噪聲時相比最大相對誤差為1.9%;當噪聲水平為5%時，NMSECR指標值與無噪聲時相比最大相對誤差為4.3%。從圖3可以清楚地看出單元4和15發生了損傷，因為他們的損傷定位指標值明顯大于其他非損傷單元。當噪聲水平為2%時，NMSECR指標值與無噪聲時相比最大相對誤差為1.88%;當噪聲水平為5%時，NMSECR指標值與無噪聲時相比最大相對誤差為4.65%。同樣，從圖4也可以容易地判斷出單元6、12和13發生損傷。參照圖1知，單元6、12和13分別為結構的豎桿、弦桿和腹桿，說明該方法對結構任何位置的損傷定位亦有效。當噪聲水平為2%時，NMSECR指標值與無噪聲時相比最大相對誤差為1.87%;當噪聲水平為5%時，NMSECR指標值與無噪聲時相比最大相對誤差為4.59%。通過對上述三種工況的損傷定位效果和不同噪聲水平下NMSECR指標值的誤差分析可知，所提NMSECR指標在噪聲水平不大于5% 時可以準確地識別出桁架結構的損傷位置，而且對噪聲具有良好的魯棒性。

圖2 工況1的損傷定位結果Fig.2 Damage localization for case 1

圖3 工況2的損傷定位結果Fig.3 Damage localization for case 2

圖4 工況3的損傷定位結果Fig.4 Damage localization for case 3

4.2 損傷定量結果

由損傷定位結果可知，工況1中單元7和16為損傷單元;工況2中單元4和15為損傷單元;工況3中單元6、12和13為損傷單元。在確定了損傷位置的基礎上，利用式(29)對不同噪聲水平下的損傷程度進行計算。文獻［20］提出利用結構特征值變化率 δi=－Δλi/λi作為判斷結構第i階模態對損傷診斷的靈敏性指標。表1給出了三種工況在損傷前后特征值的變化率。從表1可以看出，第1階特征值變化率最大，說明第1階頻率對損傷最為敏感，而且損傷越多且越嚴重，變化也越大。對于工況1，第1、2和5階模態變化率較大，因此選取這3階模態進行損傷程度的計算;同理，對于工況2 和3，分別選取第1、3、5 階和第1、2、4、5和6階模態進行損傷程度的計算。表2給出了利用本文和文獻［21］中方法得到的損傷定量結果比較，并對其進行了誤差分析。從表2知，本文方法在無噪聲、噪聲水平2%和噪聲水平5%時，三種工況下損傷程度識別結果與真實損傷程度之間的相對誤差最大值分別為3.4%、5.2%和5.72%，文獻［21］中方法的相對誤差最大值分別為4.4%、7.47%和 7.15%，說明在噪聲水平不超過5%時噪聲對結構損傷程度識別的影響較小，能夠滿足一般的工程要求。進一步分析，在無噪聲、噪聲水平2%和噪聲水平5%時，三種工況下分別用這兩種方法得到的損傷程度平均相對誤差分別為2.54%、3.32%、4.8%和3.3%、4.56%、5.88%，顯然本文方法的識別精度更高。此外，利用文中所提損傷定量方法確定單元損傷程度，最大好處是定量方程數目只與為數不多的損傷位置個數相關，避免了其他類似方法求解大型方程的繁冗。

表1 特征值變化率(Δλ/λ)/%Tab.1 Change ratios of eigenvalue(Δλ/λ)/%

表2 本文損傷定量結果和文獻［21］中方法比較 /%Tab.2 Comparisons of damage extent prediction between the proposed method and Ref.［21］/%

5 結論

本文提出了一種先利用歸一化條件下的模態應變能變化進行結構損傷定位，然后再利用改進的頻變法進行損傷定量的兩階段損傷識別方法。該方法首先對損傷前后的單元模態應變能進行歸一化處理，構建基于歸一化條件下的模態應變能變化損傷定位指標對結構進行準確的損傷定位識別;其次，在確定損傷位置的基礎上，建立了只跟損傷單元相關的基于比例損傷模型的損傷定量方程，并用最小二乘技術進行損傷程度的求解。數值算例結果表明，該方法只需要前幾階模態數據便可準確識別出結構的損傷位置和程度，而且對測量噪聲(噪聲水平不大于5%)具有較強的魯棒性。由于損傷定量方程中靈敏性矩陣和損傷程度未知量向量的大小只與結構損傷位置的數目相關，而與結構本身的大小沒有關系，這就大大減少了損傷定量方程的個數和計算復雜度，使得所提方法為有效地解決大型復雜結構的損傷識別問題提供了理論基礎。

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