基于新型雙足模型的步行荷載分析及其參數研究

王益鶴，楊 娜

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

隨著設計理念的迅猛發展以及輕質、高強材料的廣泛使用，現代建筑結構跨度不斷增大，剛度不斷降低。人行荷載作用下的結構振動問題越來越引起人們的重視。一方面，結構在人的行走、運動和使用過程中產生的過量振動，使其舒適度及安全性受到影響;另一方面，更為重要的是，分布在結構上的人群作為獨立的動力體系，既會在結構振動下改變其動荷載的大小，引發振動的二次效應，又會對結構的動力特性產生影響，即人與結構間的相互作用。早在1831年，60名士兵行軍過橋導致英國布勞頓橋倒塌的事故［1－2］，就使人們認識到人致振動對結構的影響。2000年，英國倫敦千禧橋在開通當日即產生嚴重振動的事件［3］，受到國際上異乎尋常的關注及系統的研究。

近年來，對于人致振動的研究取得了豐碩的進展，但仍有許多方面需要完善。傳統的將人作為外部動荷載的處理方式，忽略了人是復雜的動力系統這一重要因素，未能考慮人與結構間的相互作用，無法預測具有輕質、低頻等特點的柔性結構的振動。一系列生物力學領域的人體模型開始應用于土木工程中，這些模型將振動環境下的人體簡化為不同自由度的剛度、質量和阻尼體系(SMD)。最簡單的人體模型是單自由度(SDOF)有阻尼體系，如圖 1。一些學者［4－5］用 SDOF模型模擬人與結構相互作用。Mansfield等［6］和 Matsu-moto等［7］通過實驗曲線擬合人體位于振動臺上的驅動點頻率響應函數來獲得人體模型，研究結果表明，SDOF模型無法描述人體振動響應幅頻特性曲線中出現的兩個峰值，擬合結果較差，而雙自由度(2-DOF)人體模型則精確描述了人體動力特性。Matsumoto［7］認為，沒有必要用多于2-DOF的模型獲得人體動力特性。Sachse等［8］也認為，更復雜的模型用于研究人體局部部位運動及振動在人體自身的傳遞過程，不適用于研究人與結構相互作用。Kim 等［9］也采用 ISO 5982［10］的2-DOF人體模型(見圖2)分析人行橋的豎向振動問題。然而，SMD模型忽略了人體運動的生物特性，無法捕捉到人體步態及人體運動對結構振動的影響，也無法反映結構振動促使人體調整步態，進而直接改變動荷載大小的狀況。而針對人體雙足行走這一特點，Geyer等［11］提出用雙足步行模型(見圖3)模擬人體的周期步行，模擬了步行時的雙足同時落地現象。后來一些研究人員［12－14］又對雙足模型進行了不同的修正，但均將人身體簡化為質心，未考慮2-DOF人體模型所精確描述的人體動力特性。

圖1 單自由度人體模型Fig.1 SDOF model

圖2 雙自由度人體模型(ISO 5982)Fig.2 2-DOF model(ISO 5982)

本文綜合考慮2-DOF的SMD模型所表示的人體動力特性及雙足模型雙足步行的特點，基于ISO 5982模型與雙足模型，建立了新型雙足步行模型。利用Lagrange方程確立新型雙足步行模型的運動方程并進行Matlab編程，對步行過程中的力學特性進行描述，并對人體能量及參數變化進行了研究。

圖3 雙足模型Fig.3 Bipedal model

1 新型雙足模型運動方程的建立

新型雙足模型如圖4所示。采用ISO 5982的SMD模型表示行人的身體部位，并將其支撐于兩個無質量的等長彈簧和阻尼構成的體系。人體質量等效為質量m1和m2，身體剛度為k1，阻尼為c1，長度為lb;人腿部彈簧剛度為k1eg，阻尼為cleg，長度為l0。

圖4 新型雙足模型步行原理圖Fig.4 Schematic of the new bipedal model

該模型中，兩個由彈簧和阻尼構成的體系獨立運動，當與地面接觸時產生彈性力和阻尼力，這兩個力與重力和慣性力一起構成平衡力系，影響人體運動。彈簧在擺動過程中不與地面接觸時，則相應地彈性力和阻尼力為零，此時彈簧沒有物理意義，直到再次與地面接觸。

利用Lagrange方程建立運動方程。在雙足支撐階段，人體的動能和勢能分別表示為:

其中:z1和z2分別表示人體m1和m2的垂直位移，u表示人體m1和m2的水平位移，g表示重力加速度，Ll和Lt分別表示支撐腿和隨動腿的彈簧長度。

人體的阻尼力所做虛功的變分δW表示為:

式中:cl和ct分別為支撐腿和隨動腿的阻尼，vl和vt為支撐腿和隨動腿的軸向速度;δ(ΔLl)和δ(ΔLt)是支撐腿和隨動腿彈簧長度的虛變形;{F1，F2，F3}為對應廣義坐標{z1，z2，u}的廣義力。

根據人體廣義坐標和落腳點的位置，支撐腿和隨動腿的彈簧長度分別表示為:

其中:di表示步行過程中第i步步長。

支撐腿和隨動腿的軸向速度，可由m2的豎向速度和水平速度合成得出，

式中:θl，θt分別為支撐腿、隨動腿與地面的夾角。

支撐腿和隨動腿的位移變分，也可根據m2的豎向位移z2和水平位移u合成得出，

將式(4)和(5)代入式(1)和(2)，得:

將式(6)、(7)、(8)和(9)代入到式(3)中，得:

對比式(3)和(12)，得廣義力:

新型雙足模型運動的Lagrange方程可以表示為:

把動能、勢能和廣義力的表達式分別代入到Lagrange方程，并用矩陣的形式寫出，便得到整個系統的運動方程:

式中:M、C、K分別表示系統的質量、阻尼和剛度矩陣;U，，分別表示系統的位移、速度和加速度向量;F為荷載向量。具體表達式如下:

其中:

雙足支撐階段時，需同時考慮運動方程中涉及到支撐腿和隨動腿的量;單足支撐階段時，將運動方程中所有與隨動腿相關的量取值為零，即可。實際上，單足支撐階段可以視為雙足支撐階段的特殊情況。

考慮阻尼彈簧腿的雙足模型能夠模擬包括雙足和單足支撐的一個完整步態。然而，受阻尼耗能的影響，運動過程中系統的運動方程將無法保持平衡，在實際模擬時，模型將在若干步態之后失去穩定［11，13，15］。為了得到穩定的步行，本文采用外力做功的方式保持步行過程中的總能量恒定及運動方程平衡。

對于任意時刻t，總能量由動能、彈性勢能和重力勢能構成，可以表示為:

假定外力在水平方向上所做的功等于能量的損失，則水平控制力可以表示為如下形式:

式中:Fctrl(t)為水平控制力，E0為初始輸入的能量，E(t)為時刻t的人體能量，Δu(t)為時刻t質心的水平位移增量。

式(19)中，荷載向量變為:

上述分析過程，可充分描述完整的步行。注意到整個系統的阻尼矩陣和剛度矩陣是時變的，因此，線性體系的動力分析方法不適用于本文分析，需用迭代的方法解決。本文選取New-Raphson非線性方法進行迭代求解。

2 新型雙足模型數值模擬

對于雙足模型，一定速度下的腿剛度kleg和沖擊角θ0，是影響人體運動的關鍵參數。Geyer等［11］首先給出雙足模型的kleg和沖擊角θ0的參數區域圖。Whittington等［12］列出了腿剛度 kleg＜50 kN·m－1，沖擊角 θ0在50 °～80°內的參數區域圖。Kim等［13］將腿剛度kleg取值為14～28 kN·m－1，并認為阻尼比 ξ在3% ～8%范圍內即可描述人體步行。

考慮人體動力特性后，本文選取以下人體特性:其中身體部位參考人體質量ISO 5982模型［10］，mh=75 kg(其中 m1=62 kg，m2=13 kg)，身體剛度 k1=62 kN·m－1，身體阻尼 c1=14.6 kN·s·m－1，身體長度取lb=0.4 m;腿部參數根據已有雙足模型［13－14］，取腿剛度kleg=20 kN·m－1，阻尼比 ξ=8%，腿長取為l0=1 m。步行初始速度為1.1 m·s－1，在步行過程中假定沖擊角θ0=69°為常數。本文對上述推導過程進行Matlab編程，詳細分析整個步行過程。

鑒于ISO 5982模型由人體振動響應幅頻特性得出，將新型雙足模型的人體表觀質量幅頻特性曲線與ISO 5982模型進行對比。如圖5所示，兩曲線接近。即新型雙足模型在描述人體步行的同時，兼顧了人體動力特性。

根據選取參數，可模擬得到行人單步行走時的步行荷載，如圖6和圖7所示的豎向及縱向地面反力時程。由于人體步行時，每一步身體的重心都會高低起伏一次。雙足模型能夠捕捉到重心變化產生的加速度，使豎向地面反力和縱向地面反力均出現兩個峰值。其中豎向地面反力有兩個波峰和一個波谷，其中波峰對應雙足模型中腳落地和離開地面兩個時刻，波谷對應雙足模型單足垂直支撐人體的時刻。豎向地面反力是非對稱的，第一個峰值明顯比第二個峰值要大?？v向地面反力也表現出兩個峰值，但從負值到正值變化。模擬得到的結果與Bachmann等［16］實測的結果一致，可知雙足模型可較好的模擬人體的步行特性。

與其它動荷載不同，人步行過程中兩腿交替行進，帶動整個身體前進運動。圖8和圖9為雙足模型模擬得到的人體持續步行中，左右兩腿產生的豎向及縱向連續地面反力。由于人正常雙足行走時，腳跟先著地，之后腳尖離地，每一步都有一個短暫的雙腳同時接觸地面的過程，即雙腳重疊時間，即圖8和圖9所示的左右腳地面反力的重疊時刻部分。

圖5 人體表觀質量幅頻特性Fig.5 Normalised apparent masses response functions

圖6 單步豎向地面反力Fig.6 Vertical ground reaction force with one foot

圖7 單步縱向地面反力Fig.7 Longitudinal ground reaction force with one foot

圖8 步行中產生的豎向地面反力Fig.8 Vertical ground reaction force in walking

圖9 步行中產生的縱向地面反力Fig.9 Longitudinal ground reaction force in walking

圖10和圖11給出了人體上下兩部分m1和m2的豎向位移和加速度。可知，m1和m2的位移幅度接近，只是m1的位移滯后于m2。m1和m2的加速度接近，但由加速度局部放大圖可知，m1的加速度值要大于m2。即人體上下兩部分m1和m2的運動狀態有所不同。新型雙足模型可反映人體不同部位的相對振動情況。

從圖8和圖9中可以看出，持續步行的步行荷載時程是平穩的。然而，如果沒有水平控制力作為反饋機制，人體水平速度將越來越小，經過若干步之后步態將失去穩定。如圖12所示，其中虛線為未施加控制機制的速度，很明顯，控制機制對于保持步態的穩定是必須的。圖13所示即為步行中施加在人體上的水平控制力時程，由圖可得，水平控制力貫穿于整個步行過程中，且每一步的水平控制力相似。

通過圖13所示的水平控制力做功補償能量損失，使得步行過程中的總能量保持平衡，進而保持人體平穩步行。圖14所示為人體步行過程中的能量時程。從整個過程來看，在施加了反饋機制后，人體的能量在重力勢能、彈性勢能和動能之間進行轉化，而總能量保持為常數不變。

圖11 m1和m2的加速度Fig.11 The acceleration of m1 and m2

圖12 步行中的水平速度Fig.12 Horizontal velocity in walking

圖13 步行中的水平控制力Fig.13 Control force in walking

圖14 步行中的人體能量Fig.14 Energy in walking process

圖15 一個步態內的能量變化量Fig.15 Change in Energy across a gait cycle

圖15所示為一個完整步態內的能量變化量時程。在雙足支撐階段的初始時刻，即本文模擬所選取的初始點，各能量變化量為零。隨后進入單足支撐階段，人體身體部位開始向上運動，重力勢能增加，此時腿部彈簧伸展且人體前進速度減小，彈性勢能及動能減小。當支撐腿垂直地面時，此時人體身體部位達到最高，重力勢能達到整個過程的最大值，彈性勢能及動能減為最小。隨著人體身體部位降低，重力勢能開始減小，彈性勢能及動能增大。最終到達下一個雙足支撐階段開始時刻，各能量變化量重新變化到零。由此可見，步態結束時刻系統各能量狀態與步態開始時刻相同，步態保持穩定，新步態開始。整個過程中，能量變化量整體未變，總能量的變化量始終為零。能量保持恒定。

3 參數影響分析

腿剛度、沖擊角和步行速度三個重要參數影響著人體的連續穩定步行。本文研究了三個重要參數對步行特性的影響。

圖16所示為腿剛度對地面反力的影響，步行速度為1.1 m·s－1，沖擊角保持 69 °不變。從圖中可以看出，隨著腿剛度增加，豎向及縱向地面反力均增大。而腿剛度的變化對步行周期的影響較小。進而在步行速度恒定下，步長變化所受的影響也較小。

圖17所示為沖擊角對地面反力的影響，步行速度為1.1 m·s－1，腿剛度保持 20 kN·m－1不變。從圖中可以看出，隨著沖擊角增加，豎向及縱向地面反力均減小，步行周期減小。進而在步行速度恒定下，步長也減小。

圖16 腿剛度對地面反力的影響Fig.16 Effect of leg stiffness on ground reaction force

圖17 沖擊角對地面反力的影響Fig.17 Effect of attack angle on ground reaction force

圖18所示為步行速度對地面反力的影響，腿剛度為20 kN·m－1，沖擊角保持69°不變。從圖中可以看出，隨著步行速度增加，豎向及縱向地面反力均增大，步行周期減小。

圖18 步行速度對地面反力的影響Fig.18 Effect of walking speed on ground reaction force

4 結論

通過建立新型雙足模型模擬人體的步行運動，描述了步行中產生的地面反力及能量變化過程，分析了腿剛度、沖擊角和步行速度等參數對步行特性的影響。主要結論如下:

(1)新型雙足模型能夠考慮人體自身動力特性及雙足步行特點，能夠模擬包括雙足和單足支撐階段的完整連續的步行過程。

(2)連續平穩步行的新型雙足模型總能量恒定，其能量隨著步行過程在重力勢能、彈性勢能和動能之間進行轉化。

(3)豎向及縱向地面反力受腿剛度、沖擊角和步行速度影響較大;而步行周期受腿剛度影響較小，受沖擊角和步行速度影響較大。

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