樂高差速器中齒輪組內部角速度關系初探
——用高中物理知識解釋簡易差速器

郝志國 沈麗

(張家口市宣化第一中學 河北 張家口 075100)

1 差速器用途[1]

差速器是一種能使旋轉運動自一根軸傳至另一根軸，并使兩軸實現不同的轉速的差動機構．簡單地說，差速器就是在汽車轉彎時，能夠讓汽車的內側車輪與外側車輪以不同轉速轉動的裝置，下面通過圖片可以簡要說明．

汽車直行時，兩側車輪轉速相同，角速度也相同，如圖1(a)所示，即ω內=ω外.

汽車轉彎時，外側車輪要比內側車輪走過的弧長更長，如圖1(b)所示，所以外側車輪要求轉速更快，即ω外>ω內．如果兩側車輪都固定在同一根軸上，這是不可能實現的，這就需要差速器來完成．

圖1 汽車直行和轉彎時，兩輪的轉速和角速度

2 普通差速器的結構(以樂高差速器為例)

這里我們以最簡單最基本的差速器——樂高差速器為例，簡單做一下差速器結構的介紹，至于各種實際車輛中更復雜的差速器我們暫不討論．

差速器由兩個與車軸固定的齒輪，我們稱之為太陽齒輪S1，S2，由一個固定在框架上的行星齒輪P和一個行星框架(差速器外殼)組成，其中3個齒輪都是錐形齒輪．如圖2所示，兩個太陽輪分別與兩個車軸固定連接， 即分別與兩車輪有相同的轉速，行星齒輪固定在差速外殼上，并受太陽齒輪的影響而轉動，因此，差速器外殼與行星齒輪一起公轉，有相同的角速度．

圖2 差速器的結構圖

3 用高中物理知識解釋簡易差速器中齒輪組的角速度關系

首先，我們要用高中物理知識，先解釋最基礎的兩齒輪相互咬合時的角速度關系，然后再解釋行星齒輪組的角速度關系，最后解釋差速器中齒輪組的角速度關系，目的是總結出車輪在直行和轉彎時差速器的運行規律．

3.1 兩固定齒輪咬合時角速度的關系[2]

如圖3，齒輪A，B分別固定在兩軸上軸心分別為O1，O2，A齒輪的半徑為r1，角速度為ω1，線速度為v1，B齒輪的半徑為r2，角速度為ω2，線速度為v2．當A齒輪順時針轉動時，會帶動B齒輪按如圖4方式轉動，兩齒輪相互咬合，故具有相同的線速度

v1=v2

(1)

v1=ω1r1

(2)

v2=ω2r2

(3)

(4)

圖3

3.2 行星齒輪與太陽齒輪咬合時公轉線速度與自轉線速度的關系

我們將差速器結構圖(圖2)轉過90°來看一下．此時行星框架內部的結構就如圖4，上下兩個太陽齒輪之間是一個行星齒輪．要想研究兩個太陽齒輪和行星齒輪之間的角速度，我們先研究一下行星齒輪在水平齒條上轉動的情形．

圖4 差速器結構圖轉90°

水平齒條可看作半徑無限大的齒輪，行星齒輪整體前進(公轉)的同時也在繞輪心轉動(自轉)，我們先研究一下齒輪輪心前進的速度v公和齒輪邊緣轉動時的線速度v自之間的關系．如圖5在齒輪上標記一點Q，當Q轉動一圈時，Q走過的路程就是齒輪邊緣的周長，可以觀察到輪心的初末位置之間的距離也是這個周長，也就是說輪心在相同的時間也移動了相同的距離， 這就說明了

v公=v自

圖5

如果齒條本身也向前運動，向前移動的速度是v1，則齒輪在齒條上向前轉動的同時，也隨齒條一起向前移動，由圖6的幾何關系式可得

v公t=v自t+v1t

即

v公=v自+v1

圖6

然后可以把齒條換成一個有確定半徑的齒輪——太陽齒輪，在太陽輪自己繞軸心O1轉動的同時，行星輪也圍繞太陽輪轉動．如圖7所示，當太陽齒輪邊緣轉動的線速度是v1時，行星齒輪邊緣自轉的線速度v自與行星齒輪輪心公轉的線速度v公也滿足

v公=v自+v1

圖7

再由線速度與角速度和半徑的關系知

ω公r日=ω自r星+ω1r日

下面來分析樂高差速器中一個太陽齒輪與行星齒輪的關系，簡易圖如圖8所示，雖然行星齒輪的轉動平面與太陽齒輪的轉動平面垂直，但是把行星齒輪在太陽輪平面上投影，我們仍然可以發現和圖8中兩齒輪共面時的規律相同， 即滿足

ω公r日=ω自r星+ω1r星

圖8

若r星=r日(既太陽輪與行星輪采用相同齒輪)，則有

ω公=ω自+ω1

(9)

接下來我們研究齒條在齒輪的上方時，齒條與齒輪的速度關系．由圖9的幾何關系式可得

v2t=v自t+v公t

即

v2=v自+v公

圖9

同理，樂高差速器(齒輪組簡圖如圖11)中的齒輪組另一個太陽齒輪(圖10中上方太陽輪)與行星齒輪的關系應滿足

v2=v自+v公

圖11 差速器與兩車輪連接方式圖

又因為上下兩個太陽輪與中間行星齒輪均采用相同齒輪，所以滿足

ω2=ω自+ω公

(10)

聯立式(9)、(10)可得

2ω公=ω2+ω1

(11)

3.3 樂高差速器與車輪連接的三種工作狀態

差速器與兩個車輪連接的方式如圖11所示．

圖11

3.3.1 小車直行時

當小車直行時，左右兩輪在相同的時間走過相同的距離，所以有左右兩輪的角速度相同，即

ω1=ω2

因2ω公=ω2+ω1，有ω公=ω2=ω1．

也就是說兩個太陽輪的轉動方向相同、在數值上角速度相同，此時行星輪沒有自轉只有公轉．所以太陽輪S1和S2等轉速向前轉一圈，行星輪P也帶動行星框架向前公轉一圈，可以視為兩車輪同軸轉動．

3.3.2 小車一個輪不動，另一個輪繞其轉動

小車一個輪不動，與其相連的一個太陽齒輪S1也會不動，即ω1=0，由于以前推出2ω公=ω2+ω1，可知2ω公=ω2，又由于ω2=ω自+ω公，所以

即太陽齒輪轉一圈時，行星齒輪自轉半圈，并且公轉半圈．也就是說當一側車輪不轉動，另一側車輪轉動的角速度是行星框架角速度的2倍．

3.3.3 當小車任意轉動時

由ω公=ω自+ω1可知內側車輪的角速度小于行星框架的轉動角速度，且等于行星齒輪的公轉角速度與自轉角速度之差；由ω2=ω自+ω公可知，外側車輪的角速度大于行星框架的轉動角速度，且等于行星齒輪的公轉角速度與自轉角速度之和．所以兩個車輪的轉動角速度的不同是靠行星輪的自轉實現的，且與行星輪的自轉角速度無關

2ω公=ω2+ω1

4 小結

本文旨在利用高中物理運動學知識解釋清楚差速器中齒輪組內部角速度關系．我們首先研究齒輪在齒條上轉動時，齒輪邊緣的自轉速度與齒輪輪心向前移動的速度(稱為公轉速度)之間的關系，然后將齒條換成齒輪，亦有同樣的結果．再根據角速度與線速度的關系得出中間固定的太陽齒輪轉動的角速度，與行星齒輪公轉角速度、自轉角速度之間的關系．最后將平面齒輪推廣到錐形齒輪，得到內側齒輪ω公=ω自+ω1，外側齒輪ω2=ω自+ω公，聯立兩式得2ω公=ω2+ω1，并用其解釋了在小車的三種工作狀態中，差速器齒輪組之間的角速度關系．由于學識有限，難免有疏漏和不足之處，懇請批評指正．

參考文獻

1 王望予.汽車設計.北京：機械工業出版社，2000.118～124

2 張大昌.高中物理·必修2.北京：人民教育出版社，2007.13～16