兩種不同勢函數(shù)下半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波求解比較①

劉志軍， 夏唐代， 黃 睿， 熊衍飛， 鄭晴晴

( 1.浙江大學(xué)軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310058；2.浙江大學(xué)濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058)

兩種不同勢函數(shù)下半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波求解比較①

劉志軍1，2， 夏唐代1，2， 黃 睿1，2， 熊衍飛1，2， 鄭晴晴1，2

( 1.浙江大學(xué)軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310058；2.浙江大學(xué)濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058)

分別對“考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)”和“考慮一種壓縮波(P1或P2波)但不考慮幅值比例系數(shù)”兩種不同勢函數(shù)下的半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波求解進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，理論分析表明“考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)”下Rayleigh波求解推導(dǎo)更為嚴(yán)密，與飽和多孔介質(zhì)中存在兩種壓縮波的事實(shí)相一致。在研究半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波時應(yīng)采用“考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)”的勢函數(shù)。

勢函數(shù)； Rayleigh波； 壓縮波； 幅值比例系數(shù)； 理論分析； 數(shù)值計(jì)算

0 引言

基于20世紀(jì)50年代Biot建立的流體飽和多孔介質(zhì)波動理論(簡稱“Biot理論”)[1]，國內(nèi)外很多學(xué)者對半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波傳播特性進(jìn)行了研究[2-11]。Rayleigh波的能量集中在介質(zhì)表面且衰減慢，在波場中占主導(dǎo)地位，由于Rayleigh波傳播速度與介質(zhì)物理力學(xué)性質(zhì)密切相關(guān)，可以利用實(shí)測的Rayleigh波頻散曲線反演介質(zhì)的相關(guān)參數(shù)。這些特性使得Rayleigh面波法在地震勘探、地基評價、環(huán)境振動等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

盡管飽和多孔介質(zhì)中存在兩種壓縮波是一個在理論和實(shí)驗(yàn)上均已得到驗(yàn)證的事實(shí)，從已有的相關(guān)文獻(xiàn)中可以看出，半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波主要存在以下兩種不同的求解：(1)勢函數(shù)中考慮兩種壓縮波，且考慮流相和固相兩者的標(biāo)量勢函數(shù)及矢量勢函數(shù)之間的幅值比例系數(shù)[4-11]；(2)勢函數(shù)中僅考慮一種壓縮波，但不考慮前面提及的幅值比例系數(shù)[2-3]。

遺憾的是，迄今沒有學(xué)者對上述兩種不同的求解進(jìn)行過理論比較或?qū)ζ浜侠硇赃M(jìn)行過分析。另外，目前已有的文獻(xiàn)在研究由上述兩種不同勢函數(shù)求解得到的Rayleigh波傳播特性時均是在不同的算例(介質(zhì)參數(shù)不同)下進(jìn)行的，無法對兩者的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行直觀比較，對兩者之間存在的差異程度無法做出判斷。掌握半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波的正確求解對于指導(dǎo)Rayleigh面波法的工程應(yīng)用有重要意義。

基于此，本文以自由透水邊界為例，首先分別對“考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)”和“考慮一種壓縮波但不考慮幅值比例系數(shù)”兩種不同勢函數(shù)下半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波求解進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)，然后從理論分析和數(shù)值計(jì)算的角度對兩者進(jìn)行比較，最后得出結(jié)論。

1 半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波求解

1.1 基本控制方程

根據(jù)Biot理論，u-U位移矢量形式的飽和多孔介質(zhì)波動控制方程為[1]：

N▽2u+grad[(A+N)e+Qε]=

(1-1)

grad[Qe+Rε]=

(1-2)

式中，u、U分別為固相和流相絕對位移矢量；e=·u，ε=·U；b為Biot自定義的一個與達(dá)西滲透系數(shù)有關(guān)的介質(zhì)耗散參數(shù)，b=n2η/κ=n2ρfg/k；g為重力加速度(m/s2)；η為流體黏滯系數(shù)(Pa·s)；κ為固體骨架動力滲透系數(shù)(m2)；k為固體骨架滲透系數(shù)(m/s)；ρ11、ρ22、ρ12分別為固相、流相質(zhì)量系數(shù)和固-液質(zhì)量耦合系數(shù)(kg/m3)，其中，(1-n)ρs=ρ11+ρ12，nρf=ρ12+ρ22；ρs、ρf分別為固體顆粒和流體密度(kg/m3)；A、N、Q和R為Biot彈性系數(shù)，A=λ+(α-n)2M，R=n2M，Q=n(α-n)M，N=μ，λ、μ為彈性固體骨架Lame常數(shù)，其中有：

(2)

式中，α、M為表征土顆粒和流體壓縮性的Biot系數(shù)；Ks、Kb、Kf分別為固體顆粒、固體骨架和流體的體變模量(Pa)。

基于上述波動控制方程，分別對以下兩種不同勢函數(shù)下的半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波進(jìn)行理論求解。

1.2 考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)

根據(jù)矢量場的Helmholtz分解定理，引入標(biāo)量勢φs、φf和矢量勢ψs、ψf，則位移矢量u和U可表示為：

(3)

將式(3)代入式(1)，并對方程兩邊分別取散度和旋度，可得：

(4)

(5)

式中，P=A+2N。

結(jié)合Helmholtz分解定理和Biot理論，由矢量勢和標(biāo)量勢所表示的應(yīng)力為：

(6-1)

(6-2)

(6-3)

假設(shè)式(4)、(5)的平面波解為：

(7)

將式(7)代入式(4)、(5)，

(8-1)

(8-2)

(8-3)

(8-4)

式(8-1)兩邊同乘以R、式(8-2)兩邊同乘以Q后，兩式相減，化簡后可得：

(9)

式中，

(10-1)

(10-2)

將式(9)代入式(8-1)，化簡后可得：

(11)

式中，

(12-1)

(12-2)

聯(lián)立式(10)和式(12)，可得：

(13)

其中，

(14-1)

(14-2)

式中，υP1、υP2分別為飽和多孔介質(zhì)中快縱波(P1)和慢縱波(P2)的波速理論表達(dá)式。需特別指出的是，這里的υP1和υP2并不是波傳播速度(相速度)。波速理論表達(dá)式是復(fù)數(shù)形式，而波傳播速度為實(shí)數(shù)，兩者不能混淆，不然會得出錯誤結(jié)論。

求解微分方程(11)，并考慮到波應(yīng)隨著水平距離(x)和深度(z)的增加而呈指數(shù)衰減，其解為：

(15)

將式(15)代入式(9)，得：

(16)

式中，

(17-1)

(17-2)

由式(8-4)可得：

(18)

式中，B1、B2為流-固標(biāo)量勢函數(shù)幅值比例系數(shù)；B3為流-固矢量勢函數(shù)幅值比例系數(shù)

將上式代入式(8-3)，并考慮到波應(yīng)隨著水平距離(x)和深度(z)的增加而呈指數(shù)衰減，求解可得：

(19)

(20)

式中，υS為飽和多孔介質(zhì)中剪切波的波速理論表達(dá)式。

由式(15)、(16)、(18)和(19)可知，考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)下的勢函數(shù)表達(dá)式為：

(21-1)

(21-2)

(21-3)

(21-4)

將式(21)代入式(6)，可得：

(22-1)

(22-2)

(22-3)

當(dāng)半空間飽和多孔介質(zhì)表面為自由透水邊界，則在其表面(z=0)有：

(23)

將式(22)代入式(23)，可以得到三個關(guān)于A1、A2和A3的方程，要使得存在非零解，則其系數(shù)行列式須等于零，即：

(24)

由上式可以求解出Rayleigh波的波數(shù)k(復(fù)數(shù))，Rayleigh波傳播速度c和衰減系數(shù)δ為：

(25)

1.3 考慮一種壓縮波勢函數(shù)但不考慮幅值比例系數(shù)

也有學(xué)者[2-3]在研究半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波時僅考慮一種壓縮波(P1或P2波)，但沒有考慮流相和固相兩者的標(biāo)量勢函數(shù)及矢量勢函數(shù)之間的幅值比例系數(shù)，在此種情況下，式(21)中所表示的勢函數(shù)形式變?yōu)椋?/p>

(26-1)

(26-2)

(26-3)

(26-4)

式中，當(dāng)考慮的壓縮波是P1波時，E0=E3；當(dāng)考慮的壓縮波是P2波時，E0=E4。

將式(26)代入式(6)，可得出應(yīng)力表達(dá)式：

(27-1)

(27-2)

(27-3)

同樣的，當(dāng)半空間表面為透水邊界時，將式(27)代入邊界條件式(23)，可以得到三個關(guān)于A1、A2和A3的方程，要使得存在非零解，則其系數(shù)行列式須等于零，即：

(28)

求解上述方程，可得到Rayleigh波的波數(shù)k，由式(25)便可得出此種情況下Rayleigh波傳播速度c和衰減系數(shù)δ。

2 比較

2.1 理論分析

多孔介質(zhì)波傳播分析的一般步驟是：① 波動控制方程→② Helmholtz分解并代入后分別取散度、旋度運(yùn)算→③ 假設(shè)平面波解并求解得到勢函數(shù)表達(dá)式→④ 代入由步驟②中或運(yùn)用邊界條件得到特征方程→⑤ 求解特征方程得到波速或波數(shù)→⑥ 波傳播速度及衰減系數(shù)。

本文在“考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)”中，遵循上述步驟對半空間飽和多孔介質(zhì)自由透水表面Rayleigh波求解進(jìn)行了嚴(yán)密的理論推導(dǎo)(限于篇幅，本文對推導(dǎo)過程中的具體細(xì)節(jié)有所省略，詳細(xì)推導(dǎo)過程可向作者索要)，勢函數(shù)中z方向上的指數(shù)項(xiàng)(如iωE3z)與體波波速理論表達(dá)式(如vP1)之間的關(guān)系以及幅值比例系數(shù)(B1、B2、B3)均是推導(dǎo)得到，而非人為定義。我們知道飽和多孔介質(zhì)中存在三種體波，即兩種壓縮波和一種剪切波，而由求解得到的式(21)所表示的標(biāo)量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)則正好反映了這一點(diǎn)。

在“考慮一種壓縮波但不考慮幅值比例系數(shù)”中，式(26)所表示的勢函數(shù)中僅考慮了一種壓縮波(P1或P2波)，這樣的勢函數(shù)并非問題的通解。另外，由于沒有考慮幅值比例系數(shù)，存在四個振幅參數(shù)A1、A2、A3和A4。一般情況下，需有四個與A1、A2、A3和A4有關(guān)的非線性相關(guān)方程才能進(jìn)行求解，而透水邊界條件中只有三個方程，之所以能求解得到特征方程式(28)，原因在于將勢函數(shù)式(26)代入邊界條件式(23)后得到的三個方程均與A4無關(guān)，但這種情況在數(shù)理邏輯上并不嚴(yán)密，算是一種巧合。

因此，從理論求解推導(dǎo)角度上分析，相比“考慮一種壓縮波但不考慮幅值比例系數(shù)”，“考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)”的勢函數(shù)下Rayleigh波求解更為嚴(yán)密、合理。

2.2 數(shù)值算例

以某一具體的飽和多孔介質(zhì)為例，通過數(shù)值計(jì)算對在自由透水邊界下由上述兩種不同的勢函數(shù)求解得到的結(jié)果進(jìn)行更為直觀的比較，飽和多孔介質(zhì)相關(guān)基本參數(shù)取值如表1所列。

圖1為“考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)”(簡稱“考慮兩種壓縮波”)、“僅考慮P1波但不考慮幅值比例系數(shù)”(簡稱“僅考慮P1波”)和“僅考慮P2波但不考慮幅值比例系數(shù)”(簡稱“僅考慮P2波”)三種不同勢函數(shù)求解下半空間飽和多孔介質(zhì)中Rayleigh波傳播速度和衰減系數(shù)隨頻率的變化曲線。

表1 飽和多孔介質(zhì)基本參數(shù)

圖1 不同勢函數(shù)下Rayleigh波傳播速度和衰減系數(shù)Fig.1 Propagation velocity and attenuation coefficient of Rayleigh wave under different potential functions

從圖1(a)可以看出，由三種不同勢函數(shù)求解得到的Rayleigh波傳播速度在數(shù)值和變化趨勢上存在明顯差異。隨著頻率的增加，Rayleigh波傳播速度“在考慮兩種壓縮波”時先減小后增大； “僅考慮P1波”時先是幾乎保持不變后快速增大；“僅考慮P2波”時則逐漸增大。從圖1(b)可以看出，由三種不同勢函數(shù)求解得到的Rayleigh波衰減系數(shù)在變化趨勢上完全一致，均是隨著頻率增大先緩慢增大后快速增大，其中，“考慮兩種壓縮波”和“僅考慮P2波”兩種情況下Rayleigh波衰減系數(shù)在數(shù)值上也幾乎相同。

從圖1還可以發(fā)現(xiàn)，“僅考慮P1波”的Rayleigh波傳播速度最大，而衰減系數(shù)最小；“僅考慮P2波”的Rayleigh波傳播速度最小，衰減系數(shù)大；“考慮兩種壓縮波”的數(shù)值計(jì)算結(jié)果介于上述兩者之中。這是因?yàn)镽ayleigh波是由非均勻的平面P波和非均勻的平面SV波在一定條件下疊加產(chǎn)生的一種面波，而對于飽和多孔介質(zhì)中的體波，P1波傳播最快，衰減最慢，而P2波傳播慢，衰減最快。

3 結(jié) 論

本文對兩種不同勢函數(shù)下Rayleigh波求解進(jìn)行了理論分析，并通過數(shù)值計(jì)算對各自的結(jié)果進(jìn)行了比較，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明由以上兩種不同勢函數(shù)求解得到Rayleigh波傳播速度和衰減系數(shù)存在明顯差異。與“考慮一種壓縮波(P1或P2波)但不考慮幅值比例系數(shù)”相比，“考慮兩種壓縮波和幅值比例系數(shù)”的勢函數(shù)下Rayleigh波的理論求解更為嚴(yán)密、合理，也與飽和多孔介質(zhì)中存在兩種體波的事實(shí)相一致。

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Comparative Study on Different Solutions to Rayleigh Waves in Half-space Saturated Porous Media under Two Different Potential Functions

LIU Zhi-jun1，2， XIA Tang-dai1，2，HUANG Rui1，2， XIONG Yan-fei1，2， ZHENG Qing-qing1，2

(1.MOEKeyLaboratoryofSoftSoilsandGeoenvironmentalEngineering，ZhejiangUniversity，Hangzhou，Zhejiang310058，China；2.ResearchCenterofCostalandUrbanGeotechnicalEngineering，ZhejiangUniversity，Hangzhou，Zhejiang310058,China)

Theoretical solutions of the Rayleigh wave in half-space saturated porous media were derived under two different potential functions corresponding to a case with two kinds of compressional waves and amplitude ratio coefficient and a case with a compressional wave (P1or P2wave) without considering the amplitude ratio coefficient，respectively.The theoretical analysis shows that the derivation of the solution of the Rayleigh waves for the case with two kinds of compressional waves and amplitude ratio coefficient is more rigorous，which is consistent with the fact that there exist two kinds of compressional waves in saturated porous media.Through numerical calculation，we compared the propagation velocities and attenuations of the Rayleigh wave in three different cases，namely，the case with two kinds of compressional waves and amplitude ratio coefficient，the case with P1wave without the amplitude ratio coefficient，and the case with P2wave without the amplitude ratio coefficient.The numerical calculation shows that there exists distinctive differences among the results obtained in the three cases above.We recommend that the potential functions that consider the two kinds of compressional waves and the amplitude ratio coefficient be applied when studying Rayleigh waves in half-space saturated porous media.

potential function； Rayleigh wave； compressional wave； amplitude ratio coefficient； theoretical analysis； numerical calculation

2014-08-20

國家自然科學(xué)基金高鐵聯(lián)合基金(U1234204)；國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(51378463)

劉志軍(1988-)，男，江西吉安人，博士研究生，從事土動力學(xué)研究.E-mail：zj_lew@126.com

TU435

A

1000-0844(2015)02-0559-06

10.3969/j.issn.1000-0844.2015.02.0559