一階常微分方程具有乘積形式積分因子的存在條件及應用

李耀紅,王 琳

1.宿州學院數學與統計學院，安徽宿州，234000；2.許昌幼兒師范學校，河南許昌，461700

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一階常微分方程具有乘積形式積分因子的存在條件及應用

李耀紅1,王 琳2

1.宿州學院數學與統計學院，安徽宿州，234000；2.許昌幼兒師范學校，河南許昌，461700

討論了一階常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的求解問題,給出了方程具有一類形如f(a1xα1+b1xs1yt1+c1yβ1)g(a2xα2+b2xs2yt2+c2yβ2)乘積形式積分因子的充要條件，并結合實例討論它的應用。該結果推廣了相關文獻的結論。

一階常微分方程；乘積形式積分因子；全微分方程

1 問題的提出

全微分方程是一階常微分方程中一類重要的方程。通常只要利用某些特定條件，判定某個一階微分方程為全微分方程，其通解就能直接由公式給出。因此尋找一階常微分方程：

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

(1)

的積分因子μ(x,y)，使得一階常微分方程：

μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0

成為全微分方程，是一種求解方程(1)簡單實用的方法。

對一些具有簡單特殊形式積分因子存在性條件，文[1-4]進行了討論；文[5-8]則對一些復合型積分因子的存在性定理和計算公式進行了探討；文[9-11]討論幾類具有乘積形式的積分因子問題求解。結合上述文獻的研究結果，本文討論方程(1)具有一類形如

f(a1xα1+b1xs1yt1+c1yβ1)g(a2xα2

+b2xs2yt2+c2yβ2)

(2)

乘積形式積分因子存在的充要條件,它更具一般性，并結合實例說明上述形式因子的求解。

2 主要定理

引理[1]：連續可微函數μ(x,y)≠0為方程(1)的積分因子的充要條件是：(μM)y=(μN)x。

定理1 方程(1)具有形如(2)的乘積形式積分因子的充要條件是：

(My-Nx)/{f′(z1)g(z2)[N(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)-M(b1t1xs1yt1-1+c1β1yβ1-1)]+f(z1)g′(z2)×[N(a2α2xα2-1+b2s2xs2-1yt2))-M(b2t2xs2yt2-1+c2β2yβ2-1)]}=1/f(z1)g(z2)

(3)

其中ai,bi,ci,αi,βi,si,ti是任意常數，且zi=aixαi+bixsiyti+ciyβi，i=1,2。

證明：由引理1知，式(2)是方程(1)的乘積形式積分因子的充要條件是：

(fgM)y=(fgN)x

即有：

fygM+fgyM+fgMy

=fxgN+fgxN+fgNx

故有：

f′(z1)(b1t1xs1yt1-1+c1β1yβ1-1)g(z2)M+f(z1)g′(z2)(b2t2xs2yt2-1+c2β2yβ2-1)M+f(z1)g(z2)My=f′(z1)(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)g(z2)N+f(z1)g′(z2)(a2α2xα2-1+b2s2xs2-1yt2)N+f(z1)g(z2)Nx

整理后立即得(3)式，于是定理1得證。

注1：在定理1中,若令g(z2)=1，即得文[2]中定理1；若令a1=c1=b2=0，即得文[9]中的定理1；若令a1=c1=1,b1=0,可得文[10]定理1。若令b1=b2=0，即得文[11]中的定理1。故本定理推廣了多個相關文獻結果。

推論1 若存在函數F(z1)使得等式：

(My-Nx)/[N(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)

-M(b1t1xs1yt1-1+c1β1yβ1-1)]=F(z1)

下面給出方程(1)具有形如(2)的乘積形式積分因子的求解方法。

定理2 若方程：

g(z2)M(x,y)dx+g(z2)N(x,y)dy=0

(4)

滿足

{g(z2)(My-Nx)+g′(z2)[M(b2t2xs2yt2-1+c2β2yβ2-1)-N(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)]}/g(z2)

×[N(a1α1xα1-1+b1s1xs1-1yt1)-M(b1t1xs1yt1-1+c1β1yβ1-1)]=F(z1)

(5)

則方程(4)具有積分因子：

于是方程(1)具有積分因子：

證明 將推論1中M(x,y)和N(x,y)分別用g(z2)M(x,y)和g(z2)N(x,y)代入計算直接可得結果(5)。

注2：將(5)式重新整理可得：

觀察可知,通過選取恰當的函數F(z1)可確定出函數f(z1),進而求出原方程的積分因子。

從注2中可以得到求乘積形式積分因子(2)的具體求法,即簡化為如下兩個步驟完成：

i)從滿足(5)式推導出函數g(z2)要滿足的關系式, 取合適的F(z1), 確定g(z2)；

ii)求方程(4)具有形如f(z1)的積分因子，確定方程(1)的積分因子f(z1)g(z2)。

2 應用舉例

[1]王高雄,周之銘,朱思銘，等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006:39-46

[2]陳明玉.一階常微分方程形如μ(axα+bxsyt+cyβ)積分因子的充要條件[J].大學數學,2005,21(1)：130-133

[3]張瑋瑋.關于一類特殊一階常微分方程積分因子的探討[J].安慶師范學院學報,2014,20(2):10-11

[4]王景艷.幾類特殊積分因子存在的充要條件及其應用[J].保山學院學報,2014,33(2):53-55

[5]李耀紅,張海燕.幾類微分方程的積分因子存在定理[J].巢湖學院學報,2006,8(3):8-9

[6]李耀紅,陳浩.對微分方程復合型積分因子問題的推廣[J].黃山學院學報,2006,8(3):11-12

[7]張海燕,戴揚,陳潔.新復合型積分因子的存在定理及應用[J].皖西學院學報,2007,23(2):7-9

[8]陳星海,李璜,韓祥臨.三類復合型積分因子的充分必要條件及其應用[J].湖州師范學院學報,2010，32(2):44-49

[9]彭艷芳,黃春妙.一階常微分方程具有乘積形式形如f(xαyβ)g(axs+byt)積分因子的求解[J].孝感學院學報，2008,28(6):33-34

[10]徐彬.一階常微分方程具有一種乘積形式積分因子的求解[J].黃岡師范學院學報，2009,29(3):13-15

[11]韓祥臨，陳星海.一類積分因子的存在條件及應用[J].高等數學研究,2012,15(3):11-12

(責任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.09.025

2015-06-20

安徽省省級專業綜合改革試點項目“數學與應用數學專業綜合改革試點”(2012zy46)；宿州學院校級校企合作實踐教育基地項目“綜合理科實踐教育基地”(szxysjjd201205)。

李耀紅(1978-),湖北武漢人，碩士，副教授，主要研究方向：常微分方程。

0175.1

A

1673-2006(2015)09-0093-02