利率期限結構的三因子高斯動態模型及應用

羅孝玲, 黃玲英, 陳曉紅

(中南大學商學院, 湖南 長沙 410083)

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利率期限結構的三因子高斯動態模型及應用

羅孝玲, 黃玲英, 陳曉紅

(中南大學商學院, 湖南 長沙 410083)

國內文獻主要集中于仿射模型在我國利率期限結構中的應用，對高斯動態期限結構模型(Gaussian Dynamic Term Structure Model, 簡稱GDTSM)的研究幾乎是空白。基于JSZ規范化形式，本文首次構建了三因子高斯動態期限結構模型，并基于極大似然估計法給出了模型參數的估計過程。利用該模型對2008年1月4日至2012年4月28日上海銀行間同業拆放利率(Shanghai Inter Bank Offered Rate, 簡稱SHIBOR)的期限結構展開實證研究，同時對模型估計誤差項進行多層次分解，重點探討了利率期限結構的內在結構特征。研究結果顯示：(1)三因子GDTSM模型能夠很好地擬合和預測SHIBOR市場利率；(2)水平因子和斜率因子是短期利率期限結構的主要影響因素，曲度因子是長期利率期限結構的主要影響因素。作為利率期限結構實證研究的技術基礎，三因子高斯動態期限結構模型為國債及其衍生品定價和風險管理提供一種新的技術支持。

利率期限結構；三因子GDTSM模型；極大似然估計；SHIBOR市場

1 引言

利率期限結構是指在相同的風險水平下，利率與到期期限之間的數量關系，或者說是理論上的零息票債券收益率曲線。一直以來，利率期限結構都受到學術界的廣泛青睞，這因為利率不僅是一個重要的經濟變量，對貨幣政策、匯率等宏觀經濟變量具有顯著的影響；而且利率衍生品市場是國際金融衍生品市場一個最主要的部分，利率變動對利率衍生品的定價具有決定性作用，其他金融產品的定價同樣也會受到很大影響。針對利率動態期限結構模型，學術界和業界已經進行了許多研究，并發展出了一系列模型。例如，仿射模型(Affine DTSM)、二次高斯模型、非仿射隨機波動率模型或加入機制轉換的對應模型等[1]。在眾多模型中，本文所關注的是目前在國內尚未廣泛應用的高斯動態期限結構模型。

國外關于高斯動態期限結構模型的研究主要有：Duffee[2], Ang和Piazzesi[3], Christensen等[4], Chernov和Mueller[5], Jardet等[6]針對GDTSM系列模型的預測效果進行了針對性研究，結果顯示GDTSM模型能夠很好地描述利率期限結構的動態變化趨勢。同時，Duffie和Kan[7], Cochrane和Piazzesi[8]及Adrian和Moench[9]均建議利用收益率組合作為風險因子的代理變量。基于此，Joslin,等[10]利用收益率的投資組合作為可觀測的風險因子提出了一種關于高斯動態期限結構模型的規范化形式(簡稱JSZ)，并針對是否存在測量誤差給出了極大似然估計和卡爾曼濾波估計。隨后，Joslin和Singleton[11]針對高斯宏觀期限結構模型(Gaussian Macro-Finance Term Structure Model，簡稱GMTSM)和因子向量自回歸模型(Factor-VAR，簡稱FVAR)進行的細致研究。研究表明，GMTSM模型近似等價于FVAR模型。Kim和Singleton[12]在對逼近零值的日本國債收益率進行研究時，針對仿射模型、二次高斯模型和影子利率模型(Shadow-Rate Model)進行了比較，結果發現基于極大似然估計的二次高斯模型能夠刻畫絕大部分收益率曲線的動態特征。

然而，目前國內關于利率期限結構模型的文獻大多集中于仿射模型，如許多研究[1，13-18]采用利率仿射模型對我國利率市場和國債定價進行了一系列實證研究，而將高斯動態期限結構模型應用于國內利率研究的文獻尚未存在。

基于上述分析，結合JSZ規范化形式，本文首次構建了三因子GDTSM模型，并采用極大似然估計對模型進行參數估計。進一步，將其應用于我國SHIBOR期限結構的實證研究，同時重點分析了SHIBOR市場的動態結構特征。最后，將模型用于樣本外SHIBOR的預測，以驗證模型的穩健性。

2 三因子GDTSM模型的構建及極大似然估計

2.1 三因子GDTSM模型的構建

一般地，傳統的GDTSM模型中離散風險因子Xt∈N的動態變化可以用下述方程進行描述：

(1)

(2)

rt=ρ0X+ρ1X·Xt

(3)

在正式給出本文的GDTSM模型之前，以上簡單地列出了傳統GDTSM模型的基本思想。基于JSZ規范化形式，下面將重點給出與之對應的三因子模型。

在無套利條件下，可觀測定價因素函數可以由所有金融債券(包括金融衍生品)來確定。重要的是，盡管定價因素可被觀測到，但是Pt的分布的基本參數空間仍舊可以由來反映。此外，狀態向量Pt的分布參數是

Duffie和Kan[7]指出模型中隱含的期限為m的零息債券收益率是Xt的放射函數：

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，初始狀態設定為A0=0和B0=0。

根據相關研究[7-10]，本文選擇采用投資組合收益率作為定價因子。對于任意一個滿秩組合矩陣W(N×J)，記Pt=Wyt為N維投資組合收益率。其中，Wi,j表示第i個投資組合中債券mj的權重；Pt利用主成分分析來確定。利用公式(4)可以得到：

(8)

(9)

(10)

(11)

rt=ρ0P+ρ1P·Pt

(12)

依據范龍振[13]和楊寶臣等[21]的研究， 本文設定N=3，用來衡量利率期限結構的水平因子、斜率因子和曲度因子。其中，組合權重W由主成分分析確定。基于三因子GDTSM模型的參數估計值，可以得到各期限利率的估計值和估計誤差分別為：

(13)

(14)

2.2 極大似然估計

(15)

針對似然函數中這種參數分離進行重點說明：(1)考慮誤差項的收益率的條件分布依賴于(λ但不依賴于；(2)相比之下，定價因子Pt的條件密度函數僅依賴于但不依賴于(λ因此，假定Pt服從條件高斯分布，則公式(10)右側的第二項轉化為：

(16)

(17)

此時，根據模型估計誤差項服從標準正態分布及公式(17)，可以利用極大似然估計對方程(15)右側第一個式子的參數利用極大似然估計得到。鑒于這一估計過程與傳統的極大似然估計過程無差異，在此不再敘述。

3 實證研究

3.1 數據來源

本文采用上海銀行間同業拆放算術平均利率日數據，利用三因子高斯動態期限結構模型對我國銀行間市場收益率曲線進行估計分析。樣本期間為2008年1月4日至2012年4月28日，具體包括銀行間隔夜、1周、2周、1月、3月、6月、9月及1年期等8個利率品種。其中，樣本期間2008年1月4日-2011年4月29日用于模型估計與測試，樣本期間2011年5月1日至2012年4月28日用于樣本外模型的穩健性檢驗。以上數據來源于上海銀行間同業拆放利率官方網站(http://www.shibor.org/shibor/web/ShiborhisQuery.jsp)。

3.2 實證結果與分析

比如，教師在為學生講授《圓錐曲線與方程》的時候，要使用不同的教學方式來激發并拓展學生的思維方式與能力，提高學生進行思索的能力，發展學生的核心素養.這節課程的內容比較難，解題思路卻是大同小異，也就是說用參數來表達核心點坐標，用直線與圓錐曲線方程來展示出解題過程.基于這樣的思路，教師可創設變式練習，轉變提問的方式與角度，使學生在遇到其他題型的時候能更為沉著和冷靜.用這樣的聯系方式拓展學生的思維能力，提高學生的創新能力，發展學生的核心素養.

首先，根據原始數據的協方差矩陣，利用MTALAB R2010a對SHIBOR市場的利率期限結構進行主成分分析。結果顯示，各期限利率的變動趨勢可以由前3個主成分解釋，同時解釋程度高達92.77%。該結果反映可以利用三個變量對SHIBOR利率進行描述，即三因子GDTSM模型是合理的。鑒于此，表1中僅列出了前3個主成分關于各期限利率的系數。

表1 前3個主成分系數

由表1可以看出，第一主成分關于各期限利率的系數均為正且大小基本相等，因此第一主成分可理解為期限結構的總體變動趨勢，即水平因子；第二主成分關于較短期限利率的系數為正，而關于較長期限利率的系數均為負，且絕對值大致相等，因此第二主成分可理解為較短利率與較長利率之間的利差

表2 三因子GDTSM模型參數估計結果

注：llk,llk,llkS分別為分布、分布及誤差項的似然函數均值。

因素，即期限結構的斜率因子；而第三主成分關于各期拆解利率的系數呈現一個非對稱倒“U”型，顯示該因素對短期和長期利率是同向(為負)的，但短期利率的系數絕對值大于長期利率，而對中期利率是正向的，這個主成分解釋了利率曲線的曲率變化，可認為是曲度變化因素，即曲度因子。值得指出的是，楊寶臣、蘇云鵬[21]利用HJM模型對SHIBOR利率進行實證研究時指出，第三主成分關于各拆解利率的系數呈現“U”形，與本文的結論不同。原因可能在于，本文選取的樣本期內，SHIBOR利率受到了2008年金融危機的影響。此外，由各因子解釋利率期限結構的能力可知，一個狀態變量的最大解釋能力為72%，兩個狀態變量增加至89%，三個因子的解釋能力達到92%以上。結合各因子的實際意義及解釋能力，可知利用三因子對利率期限結構進行刻畫是合理的。

基于本文選取的SHIBOR利率數據，利用極大似然估計法對三因子GDTSM模型進行參數估計，主要參數結果見表2。

根據似然函數值可以看出，模型參數估計值在統計意義上具有顯著性，因此利用三因子GDTSM模型對我國利率期限結構進行研究是合理可行的。進一步，基于上述模型參數估計值，根據公式(13)即可求出三因子GDTSM模型下各期限SHIBOR利率的估計值。實際SHIBOR利率的期限結構和估計得到的期限結構分別如圖1、2所示。

圖1 實際利率期限結構

圖2 三因子GDTSM模型估計的利率期限結構

為了刻畫水平因子、斜率因子和曲度因子對利率期限結構的影響，本文還針對單因子和兩因子GDTSM模型進行了參數估計，并得到相應的SHIBOR利率估計值(限于篇幅有限，在此并未列出估計結果，如有需要，可以向作者索取)。對比實際利率期限結構和單因子、兩因子及三因子GDTSM模型估計的利率期限結構，不難看出，相較于單因子和雙因子模型，三因子模型更能體現我國SHIBOR利率的動態變動趨勢。進一步，驗證了本文選用三因子GDTSM模型對我國利率期限結構進行研究的合理性和實用性。

為了從數值層面了解三因子GDTSM模型的估計效果，對各個利率種類的估計誤差進行描述性統計分析，結果見表3和圖3。

表3 各期限SHIBOR利率估計誤差描述性統計

由表3可知，各期限SHIBOR利率的估計誤差和標準差均很小，這表明本文所設定的三因子GDTSM模型可以很好的刻畫SHIBOR利率期限結構的動態變化。從相對誤差均值來看，對于短期利率的估計誤差較大，中長期利率誤差很小。原因在于，在樣本期內，有段時間短期利率很高，但是在長期中表現出了均值回復的特征，這很好的捕捉了實際利率的動態特征。究其原因，股票市場重大融資行為形成的資金需求壓力對SHIBOR利率市場，尤其是短期利率造成了顯著影響。

圖3 三因子GDTSM模型擬合誤差

圖4 水平因子對應的估計誤差

圖5 斜率因子對應的估計誤差

圖6 曲度因子對應的估計誤差

進一步，為了考察水平因子、斜率因子和曲度因子對SHIBOR利率市場的影響差異，設定如下模型：

Δy1=y1-y0;Δy2=y2-y0;Δy3=y3-y0

(17)

其中，y1,y2,y3和Δy1,Δy2,Δy3分別為單因子、兩因子和三因子GDTSM模型估計的各期限利率構成的向量和估計誤差；y0為真實的SHIBOR利率。

基于方差分解思想對三因子GDTSM模型的誤差項Δy3進行分解，則：

Δy3=Δy1+(Δy2-Δy1)+(Δy3-Δy2)

(18)

其中，第一項Δy1可以看作水平因子對利率期限結構的影響；第二項Δy2-Δy1可以看作斜率因子對利率期限結構的影響；第三項Δy3-Δy2可以看作曲度因子對利率期限結構的影響。圖4、5、6展示了三因子對于SHIBOR利率期限結構的估計誤差分布圖。

圖4表明，水平因子對短期利率的影響持續存在且較大，對長期利率的影響則在一定期間表現顯著，而對中期利率的影響較小。圖5和圖6表明，斜率因子和曲度因子對短期利率的影響同樣持續存在且較大，且前者對中長期利率的影響很小，后者對中長期利率的影響較大。綜上，水平因子和斜率因子是短期利率期限結構的主要影響因素，曲度因子則是中長期利率期限結構的主要影響因素。

此外，利用模型估計參數和公式(13)對樣本外2011年5月1日-2012年4月28日SHIBOR利率進行預測，并對模型估計誤差進行描述性統計分析，結果如表4所示。

表4 樣本外各期限SHIBOR利率估計誤差描述性統計

由表4可知，基于三階段GDTSM模型對樣本外SHIBOR利率期限結構進行估計時，相對誤差大都低于0.05%，遠低于仿射利率期限結構模型的10%[1]，模型預測精度達到很高的水平，驗證了模型的穩健性。

4 結語

將所有市場利率的主成分作為定價因子，本文構建了能夠刻畫利率水平因子、斜率因子和曲度因子的三因子GDTSM模型，充分利用所有期限市場利率信息和極大似然估計得到模型的參數，并基于方差分解模型探討了SHIBOR利率期限結構的內在結構特征。最后，將模型外推到樣本外進行預測以驗證模型的實用性。研究結果表明：三因子GDTSM模型能夠很好的對利率期限結構進行擬合，水平因子和斜率因子是短期利率期限結構的主要影響因素，曲度因子則是中長期利率期限結構的主要影響因素。樣本外利率的相對預測誤差僅約為0.5%，進一步驗證了模型的穩健性和高精度，可以考慮將其應用于國債定價及其衍生品定價和風險管理。

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Three-factor Gaussian Dynamic Model for Term Structure of Interest Rate: An Application to the SHIBOR Market

LUO Xiao-ling, HUANG Ling-ying, CHEN Xiao-hong

(School of Business, Central South University, Changsha 410083, China)

Domestic literature mainly focus on the application of affine model to term structure of interest rate, and few attentions are paid to Gaussian Dynamic Term Structure Model (GDTSM). Based on the JSZ normalization, a new three-factor GDTSM is proposed, and maximum likelihood estimator is used to estimate the parameters. Using the three-factor GDTSM, the term structure of Shanghai Inter Bank Offered Rate (SHIBOR) market from January 4, 2008 to April 28, 2012 is analyzed, and then its internal structure features is discussed by decomposing the corresponding error terms. The results show that: (1) the three-factor GDTSM fit and forecast the SHIBOR market very well; (2) the level and slope factors affect the short-term interest rates, and the curvature factor explains the long-term interest rate. As the basic technology for empirical researches on rate term structure, the three-factor GDTSM could be applied in national debt and derivatives pricing and risk management.

term structure of interest rate; three-factor GDTSM; maximum likelihood estimator; SHIBOR market

1003-207(2015)05-0007-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.05.002

2014-01-03；

2014-07-23

國家自然科學青年基金資助項目(71203241); 國家自然科學基金資助項目(71371190)

羅孝玲(1963-), 女(漢族), 湖南衡陽人, 中南大學商學院教授,博士, 博士生導師, 研究方向: 金融工程、房地產金融與市場.

F830.9

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