基于最小二乘橢圓擬合的井徑測(cè)量面偏角修正方法

□ 劉春光 □ 劉樹林 □ 袁 率

上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 上海 200072

在石油鉆井作業(yè)過程中，井徑測(cè)試是必不可少的一項(xiàng)工作。在傳統(tǒng)的井徑測(cè)算過程中，往往將井徑儀的測(cè)量平面與實(shí)際井眼的徑向截面看作同一平面［1］（如圖1所示）。然而在測(cè)井過程中，由于井徑儀的位置與姿態(tài)始終發(fā)生著變化，所以其測(cè)量面與實(shí)際井眼的徑向截面往往是不重合的（如圖2所示），尤其是在水平井造斜段，兩者之間的偏角更為明顯。面偏角的存在，不僅使井徑計(jì)算變得困難，而且給井下工具的安裝、使用等帶來不便［2,3］。因此，有必要研究井徑測(cè)量中面偏角的修正方法，以及此狀態(tài)下井徑的擬合算法。

傳統(tǒng)井徑計(jì)算常采用最小二乘曲線擬合方法［4～6］，通過整合每個(gè)測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量值，將井眼擬合成一個(gè)圓或橢圓，從而直接得出井徑值。這種方法忽略了面偏角對(duì)井徑計(jì)算的影響，因此在大斜度井段，其井徑計(jì)算值與實(shí)際值存在著較大偏差。

針對(duì)上述情況，筆者提出了一種基于最小二乘橢圓擬合的井徑測(cè)量面偏角修正方法：將實(shí)際井眼的徑向截面近似看作一個(gè)圓形，通過最小二乘擬合的方法將井徑測(cè)量面擬合為一個(gè)橢圓。由于實(shí)際井眼的徑向截面與井徑測(cè)量面的交線為橢圓的短軸，所以能夠計(jì)算出兩面之間的偏角，并實(shí)現(xiàn)對(duì)井徑值的校正。本文以六通道式超聲波井徑儀為例，闡述了該方法在井徑測(cè)算中的應(yīng)用過程。

▲圖1 井徑測(cè)量示意圖

▲圖2 井徑測(cè)量面偏角示意圖

1 徑向截面圓的擬合算法

對(duì)于六通道式超聲波井徑儀，其工作過程中每個(gè)時(shí)間點(diǎn)可產(chǎn)生6組距離數(shù)據(jù)，分別對(duì)應(yīng)6個(gè)超聲波傳感器。考慮到6個(gè)測(cè)量傳感器沿圓周均勻排列，因此使用極坐標(biāo)的形式進(jìn)行計(jì)算更為方便。

當(dāng)井徑儀測(cè)量面與井眼徑向截面不重合時(shí)，可采用最小二乘法將井眼徑向截面擬合為一個(gè)圓形［7,8］（如圖3所示），其極坐標(biāo)換算：

設(shè)擬合圓心直角坐標(biāo) O1（x0，y0），極坐標(biāo)（ρ0，θ0），擬合圓半徑為 R，樣本點(diǎn) Bi（ρi，θi）（i=1，...，6），且 θi=（i-1）。

圓的方程：

▲圖3 擬合井眼徑向截面為圓

極坐標(biāo)形式：

由最小二乘法，計(jì)算樣本點(diǎn) Bi（ρi，θi）到擬合圓心O1（ρ0，θ0）的距離與擬合圓半徑 R 的平方差：

設(shè)目標(biāo)函數(shù)為：

則要求：

令：

解得擬合值：

2 面偏角狀態(tài)下的井徑擬合算法

▲圖4 擬合井徑儀測(cè)量面為橢圓

當(dāng)井徑儀測(cè)量面與井眼徑向截面間存在偏角時(shí)，可采用最小二乘法將井徑儀測(cè)量面擬合為一個(gè)橢圓［9,10］（如圖 4 所示）。

已知常數(shù)項(xiàng)歸一后的平面任意位置橢圓一般方程為：

根據(jù)樣本點(diǎn) Bi（ρi，θi）（i=1，...，6），可得函數(shù)：

由最小二乘法原理，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：

F（A，B，C，D，E）=Σ（Aρi2cos2θi

解線性方程組，得橢圓方程的系數(shù)A、B、C、D、E。

設(shè)擬合橢圓的幾何中心為 O2（ρ0，θ0），則解得：

橢圓的長(zhǎng)軸傾角：

橢圓的長(zhǎng)半軸：

橢圓的短半軸：

以基準(zhǔn)面1代表井徑儀測(cè)量面，基準(zhǔn)面2代表井眼徑向截面，則兩面之間的幾何關(guān)系如圖5所示。由于橢圓短半軸長(zhǎng)度等于圓的半徑長(zhǎng)度，所以井徑D=2b；由幾何關(guān)系可知面偏角：

▲圖5 面偏角幾何示意圖

▲圖6 井徑測(cè)量仿真圖形

表1 井徑測(cè)量仿真結(jié)果

3 MATLAB仿真結(jié)果分析

借助MATLAB軟件，可以對(duì)井徑測(cè)試過程進(jìn)行仿真，并檢驗(yàn)上述修正算法的有效性。井下測(cè)量的仿真圖形如圖6所示，可分為以下兩個(gè)部分。

（1）給定三維井壁信息：以空間三維曲線（用點(diǎn)劃線表示）為井徑中心線；外層的彎曲線框模擬井壁，其內(nèi)徑沿空間三維曲線的伸展方向發(fā)生變化。

（2）模擬井徑測(cè)量狀態(tài)：以虛線段模擬當(dāng)前井徑儀的姿態(tài)；橢圓形陰影面垂直于虛線段，為當(dāng)前井徑儀的測(cè)量平面；井徑儀上6個(gè)傳感器的長(zhǎng)度測(cè)量值由6條短線表示。

在得知6個(gè)長(zhǎng)度測(cè)量值（即6條短線的長(zhǎng)度）后，應(yīng)用上文所述偏角修正方法，由MATLAB計(jì)算出當(dāng)前位置的井徑大小與偏角值。

通過改變初始條件，得到了5組仿真結(jié)果見表1。結(jié)果表明，采用井徑測(cè)量偏角修正方法后，得到的井徑值與井徑中心位置比直接使用圓擬合的方法所得到的數(shù)值更為準(zhǔn)確。而且，在計(jì)算過程中得出了井徑測(cè)量時(shí)的偏角信息，這也是傳統(tǒng)方法所不具備的。

4 結(jié)論

分析了面偏角的產(chǎn)生原因及其影響；結(jié)合井徑儀的特點(diǎn)，提出了基于極坐標(biāo)的圓與橢圓擬合算法；根據(jù)面偏角的幾何關(guān)系，提出了面偏角的計(jì)算方法以及井徑測(cè)量值的修正方法。最后，通過MATLAB仿真結(jié)果，證明了該種修正方法可以提供任意位置處面偏角的較為精確的擬合值，并能有效提高井徑測(cè)算的準(zhǔn)確度。

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