小型雙足機器人步態規劃研究

□ 楊 萍 □ 樊 迪

蘭州理工大學 機電工程學院 蘭州 730050

21世紀以來，國內外對機器人技術的發展越來越重視，機器人技術被認為是對未來新興產業發展具有重要意義的高端技術之一［1］。雙足機器人是機器人領域最活躍的研究熱點之一，因其外形和功能形似人類，適合在人類生活和工作的環境中與人類協同工作［2，3］，還可以代替人類在危險環境中作業，拓寬人類的活動空間［4］，有高度的適應性與靈活性。實現穩定步行是雙足機器人研究的首要任務［5］，合理的步態規劃是機器人穩定步行的基礎。因此，步態規劃是雙足機器人研究的關鍵技術之一，對其研究具有重要的理論意義和應用價值。筆者建立雙足機器人的運動學模型，根據步行要求，采用三次樣條插值方法規劃出雙足機器人各關節在整個步行周期內的平滑運動軌跡。

1 雙足機器人運動學建模

建立雙足機器人運動學模型是步態規劃、穩定性分析的基礎。筆者研究的對象是SHR-8S小型雙足機器人，該機器人共有17個自由度，全部為轉動關節，每條腿有5個自由度。其中，髖關節有2個自由度，1個負責前向運動，用于移動兩腿實現邁步，使上半身前傾或后仰，1個負責側向運動，使上半身側傾；膝關節有1個自由度，負責前向運動，用于完成小腿的屈、伸動作；踝關節有2個自由度，1個負責前向運動，1個負責側向運動，用于與髖關節配合并調整腳掌與地面的接觸狀態，完成步行過程。用Denavit-Hartenberg運動學表示法［6］建立機器人下肢坐標系，如圖1所示，關節i的軸線與Zi+1軸重合，Xi+1軸與從Zi+1軸指向Zi+2軸的公共法線重合，Yi+1軸按照右手法則確定，坐標原點取Xi+1和Zi+1的交點。將機器人步行的起點位置設為世界坐標系［7］的原點，規定：X軸為機器人前向運動的方向，Z軸垂直向上，Y軸根據右手法則得到。為方便計算，將踝關節的兩個坐標系、髖關節的兩個坐標系分別建立在同一點；在左右腳分別以踝關節中心在地面的投影為坐標系原點固連一個參考坐標系；將兩髖關節中心設為輔助坐標系的原點，運用輔助坐標系可以獲得下肢各關節與軀干位置的聯系，并且可以把上肢與下肢聯系起來。

▲圖1 機器人下肢坐標系圖

表1 D-H參數表

確定各連桿的關節變量和D-H參數，由于所有關節均為轉動關節，所以關節角θi為關節變量，其它3個連桿參數即連桿扭角αi-1、連桿長度ai-1、連桿偏距di為固定值，雙足機器人下肢的D-H參數見表1。

雙足機器人正運動學是基于齊次變換矩陣的方法，根據機器人各關節的位置，求解擺動腳相對于參考坐標系的位姿。根據齊次變換理論，坐標系｛i｝與它相鄰的坐標系｛i-1｝之間的連桿變換矩陣［8］為：

式中：s表示sin，c表示cos。將機器人下肢的D-H參數（表1）代入式（1），即可得到相應的齊次變換矩陣：

右腳踝關節中心的坐標系1到右腳踝關節中心在地面的投影點處的坐標系0之間的齊次變換矩陣為：

髖關節中心的坐標系13到右髖關節中心的坐標系6之間的齊次變換矩陣為：

綜上所述，軀干任意時刻相對于右腳參考坐標系的位姿為：0T13=0T11T22T33T44T55T66T13；左腳相對右腳參考坐標系的位姿為：0T12=0T11T22T33T44T55T66T77T88T99T1010T1111T12。雙足機器人逆運動學是給定擺動腳相對于基坐標系的位姿，求解各關節對應的運動角度。

2 三次樣條插值函數

早期工程師制圖時，將富有彈性的細長條（樣條）在樣點上固定，其它地方讓它自由彎曲，然后沿樣條邊緣畫出的曲線稱為樣條曲線。樣條插值是一種常用的得到平滑曲線的插值方法，三次樣條插值（Cubic Spline Interpolation）是其中應用較為廣泛的一種。

設機器人某一關節在初始時刻ts的運動角度為θs，設計該關節在tf時刻的運動角度為θf。用待定系數法列出如下三次多項式方程：

對式（5）求一階導數，得出如下方程：

將初始和末端時刻的運動角度 θ （ts）=θs、θ （tf）=θf代入式（5），將初始和末端時刻的關節運動速度 θ˙（ts）=βs，θ˙（tf）=βf， 代入式（6），得到：

聯立求解式（7）方程組，可解出式中 b0、b1、b2、b34個系數的值，只要將三次多項式的自變量即時間值代入式中，就可求得對應時刻的關節運動角度。

3 雙足機器人關節軌跡規劃

雙足機器人一個完整的步行過程可分為3個階段，分別是：起步階段、周期步行階段和止步階段。本文重點研究雙足機器人的周期步行階段，步行過程如圖2所示。圖中右腿為支撐腿，用虛線表示；左腿為擺動腿，用實線表示。一個步行周期包含雙腿支撐周期和單腿支撐周期，圖2中A→B、C→D階段為雙腿支撐周期，指的是從擺動腿腳跟接觸地面到支撐腿腳尖離開地面的時間段，在此期間，雙足機器人完成重心的轉移，雙腿支撐周期一般占整個步行周期的20%左右［9］；圖2中B→C→D階段為單腿支撐周期，指的是擺動腿的腳離開地面到再次著地的時間段。

SHR-8S雙足機器人的前向步行過程為：雙腿支撐→右腿支撐→左腿擺動→雙腿支撐→左腿支撐→...只要將圖2中A→E階段的步態確定，則左腿為支撐腿，右腿為擺動腿的步態可由A→E階段的步態延時一個步行周期即可得到，雙足機器人的步態完全確定。

筆者在前向平面內分別對擺動腿的腳掌、踝關節、髖關節的運動軌跡進行規劃，并根據幾何關系算出膝關節的運動軌跡，其它關節的運動角度可通過求解逆運動學方程得到。

▲圖2 雙足機器人周期步行階段步行過程圖

3.1 腳掌傾角規劃

在圖2所示的周期步行階段，設步行周期為Tc，其中雙腿支撐周期為Td，單腿支撐周期為Ts，第k步的時間為從kTc到（k+1）Tc，k為正整數，腳掌與地面傾角的變化如圖3所示。在腳底始終平行于地面的情況下，腳底突然與地面接觸時沖擊力過大，非常容易導致步行失敗，所以設擺動腳腳掌離地時與地面的夾角為qb，擺動腳腳掌著地時與地面的夾角為qf。

▲圖3 腳掌與地面傾角變化圖

前向平面上腳掌傾角的約束條件為：

選取腳掌與地面的傾角q（t）為三次樣條插值函數，選取第一類邊界條件，即：

即認為在kTc和（k+1）Tc+Td時刻，腳掌的速度為零。利用三次樣條插值函數規劃出的腳掌傾角角度如圖4所示。

▲圖4 腳掌傾角角度圖

3.2 踝關節規劃

設擺動腳踝關節在kTc+Td+Ts/2時刻達到最高點，位置坐標為（Lm，Hm）。 設 Ds為步長，Lh為踝關節到腳底的距離，Lf為踝關節在腳底的投影點到腳尖的距離，Lb為踝關節在腳底的投影點到腳跟的距離。前向方向上踝關節的約束條件為：

選取第一類邊界條件，即：

利用三次樣條插值函數規劃出的踝關節在X、Z方向的運動軌跡如圖5所示。

▲圖5 踝關節運動軌跡圖

3.3 髖關節規劃

髖關節的軌跡規劃在整個步態規劃中有關鍵的作用，影響整個機器人步行過程的穩定性。設髖關節在雙腿支撐期的中間時刻達到最低點Hmin，在單腿支撐期的中間時刻達到最高點Hmax。則Z方向上髖關節的約束條件為：

設擺動腳離地時支撐腳踝關節到髖關節在X方向上的距離為xf，擺動腳著地時支撐腳踝關節到髖關節在X方向上的距離為xb。則X方向上髖關節的約束條件為：

髖關節應滿足以下邊界條件：

利用三次樣條插值函數，根據式（14）、（15）的約束條件和式（16）、（17）的邊界條件，對Z方向上的髖關節軌跡進行規劃。

3.4 膝關節規劃

已知踝關節、髖關節的運動軌跡，可以由幾何關系推導出膝關節的運動軌跡。如圖6 所 示 ，Ph、Pk、Pa分 別 表 示 髖 關節、膝關節和踝關節，膝關節的坐標為Xk、Zk，髖關節的坐標為Xh、Zh， 大腿L1= PhPk， 小腿L2=PkPa。

求得膝關節的坐標為：

4 結束語

▲圖6 腿部各關節幾何關系圖

本文采用Denavit-Hartenberg運動學表示法建立了SHR-8S小型雙足機器人下肢的運動學模型，簡要介紹了三次樣條插值函數，在前向平面內利用三次樣條插值函數分別對擺動腿腳掌、踝關節和髖關節進行軌跡規劃，并由幾何關系推導出了膝關節的坐標。Matlab的仿真結果表明，利用三次樣條插值方法規劃的步態，能保證規劃軌跡的平滑，是合理可行的。

［1］ 徐揚生.智能機器人引領高新技術發展 ［N］.科學時報，2010-08-12.

［2］ Hirai K，Hirose M，Haikawa Y，et al.The Development of Honda Humanoid Robot ［C］.Proceedings of the IEEE InternationalConference on Robotics and Automation，Leuven，Belgium，1998.

［3］ Hirai K.Current and Future Perspective of Honda Humanoid Robot ［C］.Proceedings of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems， Grenoble，France，1997.

［4］ 陳懇，付成龍.仿人機器人理論與技術［M］.北京:清華大學出版社，2010.

［5］ 劉志遠.雙足機器人動態行走研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業大學，1991.

［6］ John J Craig.Introducion to Robotics:Mechanics and Control， Third Edition［M］.Beijing:China Machine Press， 2006.

［7］ 梶田秀司，管貽生，譯.仿人機器人［M］.北京:清華大學出版社，2007.

［8］ 蔡自興.機器人學（第二版）［M］.北京:清華大學出版社，2009.

［9］ Huang Q， Kajita S.A High Stability Smooth Walking Pattern for a Biped Robot ［C］.Proceedings of the IEEE InternationalConference on Roboticsand Automation，Detroit，1999.

［10］吳澤琦.仿人足球機器人步態規劃研究［D］.杭州：浙江工業大學，2013.