基于多故障模式及可靠緩存區的雙設備模型系統性能分析

□ 張 孟 □ 范欽映 □ 梁春游 □ 周留洋

蘭州理工大學 機電工程學院 蘭州 730050

針對多故障模式下緩存區容量有限的雙設備模型，提出了一種求解其生產能力的解析方法。多故障模式是指此雙設備模型的上下游機器有多種故障方式，每一種故障方式都有相對應的MTTF（同一臺設備，兩次故障之間的平均工作時間）和MTTR（同一臺設備從發生故障到正常工作的平均維修時間），用這兩個參數來區分不同的故障方式。一臺設備通常有多種故障方式，因為一臺機器擁有許多零部件，每一個部件都有可能發生故障。以汽車自動組裝線為例，每一個工作站都包含有：上料裝置、夾緊裝置、切削加工裝置、進給裝置等，這些裝置的可靠性都是不同的，一旦發生故障，那么對應的維修時間、維修方式都是不同的。正是有了這樣的情況，關于多故障模式下生產線的研究分析就具有實際意義。對于多故障模式下生產線的研究分析，單一故障模式的求解辦法是綜合多種故障方式對生產能力的影響，得到一個平均值，然后代入計算求解。但是，由于許多模型的MTTF和MTTR都是呈指數分布或是幾何分布，單一故障模式的求解結果對生產能力給出一個近似的解析值，而不同故障方式對生產能力的不同影響卻被忽略掉了。當緩存區容量很小時，生產能力的差別會很大，采用單一故障模型求解結果就不再可靠，換言之，單一故障模式的求解方法的適用性差。多故障雙設備模型可以具體分析每一種故障方式對生產能力的影響。盡管分析雙設備模型只是分析兩臺設備和一個緩存區組成的生產單元，但是，這種分析卻是值得深究的。大型的生產線系統（Gershwin S B［1］；Dallery［2］；Tulliotolio，et al［3］） 是通過分解方法（Gershwin S B，et al［4］；Yeralan，et al［5］）或者綜合方法（Dallery ，et al［6］；Gershwin S B［7］）來具體求解的，但是這兩種方法都是以雙設備模塊為計算單元。更多方法參見文獻［8～10］。針對多故障模式下緩存區容量有限的生產線，很多學者提出了自己的建模方法，參見文獻［7，11～13］。 筆者受 Tulliotolio［14］所提模型的啟發，對上下游均有兩種故障方式的模型做出了具體的分析。仿真結果表明，本方法更準確可靠。

▲圖1 雙設備模型

1 模型描述

1.1 雙設備模型

雙設備模型由上游機器Mu、緩存區B、下游機器Md組成，如圖1所示。每一個零件進入上游機器Mu，經過緩存區B和下游機器Md，最后離開此模型。上下游機器擁有相等的加工時間，傳送時間忽略不計。緩存區容量有限，上游緩存區為空的機器所對應的狀態記為饑餓，下游緩存區存滿的機器所對應的狀態記為阻塞，上游機器永不饑餓，下游機器永不阻塞，空閑狀態的機器（處于饑餓或阻塞狀態）不會發生故障。機器工作后，發生某種故障的概率是確定的，同一時間，一臺機器只能發生一種故障狀態。在一次工作循環中，一臺機器在循環開始階段故障，那么，此機器的維修率也是確定的。故障和維修均出現在循環開始，緩存區工件數目的變化發生在循環結束。工件不會被拒收或損壞，一臺機器發生故障后，正在處理的工件自動返回上游緩存區，等待新一輪循環。

1.2 模型狀態

假設此模型的狀態為 （n，α1，α2），n 代表緩存區即時工件數目 （0≤n≤N），α1為上游機器的維修狀態,α2為下游機器的維修狀態。上游機器的正常工作狀態為α1=1，否則 α1=μi（i=1，2，...，s），μi為機器的故障模式。同樣的，下游機器的正常工作狀態為α2=1，否則α2=μj，（j=1，2，...，t），μj為機器的故障模式。 機器處于狀態（n，α1，α2）所對應的穩態概率記作 P（n，α1，α2），由于維修和故障在循環開始時發生，緩存區盈余水平的變化在循環結束時發生。緩存區的盈余水平為：

式中：τ為一次工作循環。

定義l1（τ+1）為上游機器在此工步結束時的加工件數；l2（τ+1）為下游機器在此工步結束時的加工件數。如果 α1（τ+1）=1，且 n（τ）＜N，則 l1（τ+1）=1，否則 l1（τ+1）=0；同樣，如果 α2（τ+1）=1，且 n（τ）＞0，則 l1（τ+1）=1，否則 l1（τ+1）=0。

將正常工作的機器進入某一故障模式i的概率記為pui，那么，在一次工作循環中，機器經過維修可以正常工作的概率記為rui。同樣， pdj、rdj分別代表下游機器的故障率和維修概率。上游機器所有故障模式的概率之和記為；下游機器所有故障模式的概率之和記為

1.3 生產能力的指標

衡量生產能力的指標是此雙設備模型的生產率和緩存區的盈余水平，雙設備模型的生產率記為E1、E2。E2指在某工作循環τ內下游機器Md正常工作的概率，E1指在某工作循環τ內上游機器Mu正常工作的概率，由于生產線具有連續性，所以上下游機器正常工作的概率是相等的，也即E1=E2。根據生產線產量的定義，E1=prob［（τ+1）=1，且 n（τ）＜N］；E2=prob［（τ+1）=1，且 n（τ）＞0］，進一步推導可得:

緩存區的盈余水平為：

故要衡量模型的生產能力，必須計算得到每一個狀態的概率。

2 方程求解方法

此雙設備模型共有 M=（s+1）（t+1）（N+1） 個狀態，所以必須分析擁有M個狀態的馬爾可夫鏈。傳統的思路是，求得M個關于這些狀態概率的方程，建立方程組，求解這些未知數。但是，當N特別大的時候，這樣的求解方法是行不通的。基于以上考慮，筆者提出了一種解析方法，本方法需要求解一個關于k的s+t次方程和一個s+t-1個方程的方程組。因此，本方法的數學計算量大大減少。本方法是對Gershwin,S.B.,1994［7］方法的一個擴展。核心思想是，首先對結果進行猜想，進而驗證。驗證過程為，將猜想的結果代入內部狀態（2≤n≤N-2）方程，得到s+t組解。如果猜想是正確的，這些解的線性組合中肯定有一組會滿足邊界狀態方程，那么這組線性組合就是要找的解。

2.1 內部狀態變遷方程

分析此多故障雙設備模型的馬爾可夫鏈，可以得到以下狀態方程：

受Tulliotolio［14］的啟發，猜想內部狀態的概率形式如下：

當 X、Ui、Dj一共有 1+s+t組，將式（9）代入式（5）～式（8），可以得到：

進一步簡化后，假設：

進一步整理，把 Ui、Dj代入式（11），可以得到：

這是一個關于K的 （s+t）次方程。約定Km（m=1，...，s+t）為方程的第 m 個根,那么,Ui，m、Dj，m、Xm即為對應的解，整理可以得到：

假定所有的根Km都是實數,容易得到其中一個KR=1，代入式（17）有：

以上R組解滿足內部方程，接下來尋找這些解來滿足邊界方程的線性組合。

2.2 邊界狀態

部分狀態是暫時的，部分狀態對應的穩態概率等于零，也就是說這些狀態是暫時的，記為邊界狀態：

2.2.1 低邊界狀態變遷方程

2.2.2 高邊界狀態變遷方程

如果式（9）是合理的，那么一定能找到這些解滿足邊界方程的線性組合，猜想內部狀態的概率符合以下形式：

式（22）、式（25）中：p（1，ui，1）、p（N-1，1，dj）只包含內部狀態的概率，可以參照內部狀態的概率公式計算，利用式（20）、式（21）、式（23）、式（24）、式（26）、式（27），可以把邊界方程寫成是關于常數C1,...Cm的函數：

經過一系列處理，可以得到CR=0，將這些概率代入式（23）、式（26），可以得到：

所有的狀態概率之和必須滿足標準方程：

由式（45）～式（47）可以得到 1+s+t個方程組成的方程組，其中只有s+t+1個方程是與線性無關的。而未知數Cm（CR=0）也正好是1+s+t個，求解這個方程組，即可得到Cm。

3 求解方法

（1） 求解式（16），得到的所有根 Km（m=1，...，R）。

（2） 每個 Km可以產生一組 Xm、Ui,m、Dj,m， 通過式（17），求得 Xm、Ui，m、Dj、m。

（3） 求解由式（45）～式（47）組成的方程組，得到：Cm（m=1，...，R）。

（4） 通過式（28）～式（44），分別得到內部狀態概率和邊界狀態概率。

（5） 通過式（2）～式（4），得到系統的性能評價指標E1、E2、n。

4 數據仿真

多故障模型方法針對性能指標的準確性，與Gershwin,S.B.［7］的單一故障模型分析作一對比。在基于單故障模型的分析方法中，每一臺機器只有一種故障模式，而基于多故障模型的分析方法中，每一臺機器有兩種故障模式。

4.1 仿真參數

故障率和維修率之間的關系：

器故障率，ri代表機器維修率。

上下游機器的運行效率

可以得到上游機器的平均故障率、維修率和下游機器的平均故障率、維修率，也即單一故障模型的求解所需要的參數［7］。

4.2 仿真結果

圖2中，虛線代表基于多故障雙設備模型生產能力的解析結果，星型線代表基于單故障雙設備模型生產能力的解析結果［7］。圖2為平均產量與上游機器故障率ru1的關系圖。圖3為緩存區庫存水平與上游機器故障率ru1的關系圖。其中，rd1=0.09，rd2=0.09，pu1=pu2=0.005，eu=0.9，pd1=pd2=0.005，ed=0.9，N=10，ru=0.09，ru2隨著ru1而變化，也即ru2可以用ru1和ru表示，這樣，就可以得到系統性能隨自變量ru1的變化關系。

▲圖2 平均產量與上游機器故障率ru1的關系圖

▲圖3 緩存區庫存水平與上游機器故障率ru1的關系圖

通過仿真實驗，可以看出，基于多故障雙設備模型生產能力的解析方法得到的平均產量會隨著上游機器維修率的變化而變化，當上游機器兩種故障狀態維修率相等時（ru1=ru2=0.09），系統的平均生產率達到最大，緩存區庫存水平最小；當＜0.09時，平均產量隨著ru1的增大而增大，緩存區庫存水平隨著ru1的增大而減小；當 ru1＞0.09時，平均產量隨著ru1的增大而減小，緩存區庫存水平隨著ru1的增大而增大。而基于單故障雙設備模型生產能力的解析方法得到的平均產量圖和緩存區的庫存水平不會隨著上游機器維修率的變化而變化，只得到了近似解，這說明本解析方法更準確可靠。

5 結論

筆者以多故障雙設備模型為主要研究對象，受Tulliotolio［14］所提模型的啟發，結合對馬爾可夫鏈和內部狀態及邊界狀態的變遷關系的分析，提出了一種對多故障雙設備模型生產能力的解析方法。對上下游均有兩種故障方式的模型做出了具體的分析，并將本解析方法與基于單故障模式解析方法所得結果相比較，結果顯示，在多故障模式下，本解析方法更準確可靠。

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