二維滲流模型中最大團簇面積與導通比例關系的數值研究

王許丞 高軍暉

摘 要：該文用數值方法研究二維滲流模型中不同導通比例下最大團簇的變化規律。我們先介紹了滲流模型的兩種形式——鍵模型和位模型；然后通過數值模擬的方法產生邊長為L個單位、導通比例為P的二維正方形位滲流，最后統計出最大團簇的面積與P的關系。研究發現，無論L取何值，最大團簇的面積都會隨著P值的增加而增加，并且隨著L值的增大，曲線變得越陡。同時，P值在0.6附近，最大團簇面積顯著增加。我們在最后的討論部分，討論了臨界概率及其三種計算方法。

關鍵詞：滲流模型位 滲流導通比例 最大團簇數值 模擬

中圖分類號：O346 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）12（c）-0156-02

1 滲流與滲流模型

在多空介質中存在大量隨機分布的細小通道（毛細管），流體能否穿透介質就歸結為這些細小的通道是否聯通的問題，是一種隨機性問題。

滲流模型，也稱為逾滲模型，是Simon Broadbent 和 John Hammersley在1957年提出的一種模擬流體能否穿透一塊多空介質（如火山巖）的數學模型[1]。而滲流狀態，是指系統中出現了一個大的團簇，能夠將這些格點的上下兩個邊界或左右兩個邊界滲透或打通。滲流模型是臨界現象的概率模型。由于其研究方法和結果易推廣到其他的隨機媒介以及本身含有大量容易描述但難處理的公開問題而備受數學家和物理學家的青睞。

滲流模型在很多應用科學和工程技術領域有廣泛作用。如土壤力學、地下水水文學、石油工程、地熱工程、給水工程、環境工程、化工和微機械等等。

2 滲流模型的構建

滲流模型的空間結構是規整的網格結構，該文討論的是二維正方形網格上的滲流模型。

滲流模型有兩種，分別是鍵滲流模型和位滲流模型[2]。

鍵滲流模型關注的是網格的邊，稱為鍵。網格上的每根鍵獨立地以概率P開通，以概率1-P閉鎖。用黑線表示網格的邊是開通的鍵，而空白的邊是閉鎖的鍵。圖1是P=0.25的一個例子，圖2是P=0.75的一個例子。顯然，P的值越大，鍵的密度就越大。

相互連通的黑線鍵構成一個簇。其中有一個連通介質左右邊界的最大簇（稱為巨簇），形成了介質的穿透（即滲流）。這種模型也被稱為鍵滲流。

滲流模型的另一種方式是位滲流，它關注網格的格點（稱為位）是否被占據，而不是邊的開通與否。假設每個格點獨立地以概率P被占據，以概率1-P未被占據[3]。

如果那些被占據的格點彼此相鄰，則它們就形成一個簇。相鄰的判斷準則與元胞自動機一致，這里采用馮-諾依曼（Von.Neumann）型，即一個元胞的上、下、左、右相鄰四個元胞為該元胞的鄰居[4]。

圖3中，一共有5個團簇，從上往下、從左往右，5個團簇的面積分別是2、7、1、4、1個單位。最大團簇的面積為7。

下面，將分析P值對位滲流最大團簇大小的影響。

3 模擬方法與結果

用數值方法進行模擬，可以得到L值以及P值變化時模型的整體情況。

對P取0.1～0.9之間的整十分位數，對于每個P值都進行了20次模擬，然后計算出與每個P值對應的最大團簇的平均面積，最后將其與總面積相比得到相對值。

模擬了L值分別為10、20、50、100以及200時，最大團簇的面積隨P值而變化的情況。統計得到的結果見表1。表1中，L值分別為10、20、50、100、200。

4 結果分析

接下來，對所有得到的數據描點作圖，就可以得到L取某值時，最大團簇面積與總面積比值的變化規律，見圖4。

圖4中，橫坐標是P值，縱坐標是最大團簇的平均面積與總面積相比得到相對值。從圖4中可以發現，無論L取何值，最大團簇的面積都會隨著P值的增加而增加，并且隨著L值的增大，曲線變得越陡。圖5描述了不同P值情況下，最大團簇面積的變化值。

從圖5中可以發現，除了L=10，變化值最大出現在P值為0.7的位置，其余四種尺度下，變化值最大均出現在P值為0.6的位置。并且隨著L值的增大，最大的變化值也增大。

5 討論

事實上，在二維正方形方格上的位相變臨界概率Pc出現在0.6附近，為0.59274621。

當存在一個連通左右邊界的簇時，我們就說出現了滲流。很顯然，概率P將會是一個決定染色格子和鍵數量的關鍵參數。如果初始染色格子或鍵密度較大，則容易形成較大的團簇，反之，如果密度較小，就很難形成大的團簇。

在一個無限大的格點世界中（L無窮大），存在一個臨界的概率Pc，當P小于Pc的時候，系統不能形成滲流，而當P大于Pc的時候，系統可以形成滲流。那么這個Pc就是臨界概率。

計算臨界概率的方法有多種。第一種方法是通過一種叫重整化的方法近似計算出臨界概率[5]。第二種方法是通過寫出在L無窮大情況下，任意一個格點隸屬于一個無窮大的滲流團簇的概率表達式，來求得臨界概率的Pc大小。第三種方法，即該文采用的數值方法，通過研究二維滲流模型中不同導通比例下最大團簇的變化規律，可以認為，最大團簇面積變化值最大處對應的P值，就是臨界概率Pc。

參考文獻

[1] Broadbent，Simon；Hammersley，John，“Percolation processes I.Crystals and mazes”[Z].Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1957，53：629-641，

[2] 肖柳青，周石鵬.隨機模擬方法與應用[M].北京大學出版社，2014.

Xiao L Q and Zhou S P， Stochastic simulation method and its application[Z].Peking University Press，2014，246-249.

[3] Kim Christensen and Nicholas R. Moloney，Complexity and Criticality[Z].Published October by Imperial College，2005：3-4.

[4] Burks A W（editor）.Essay on Cellular Automata.Urbana， IL： University of Illinois Press，1970.Yoshio YugeH，Renormalization-group approach for critical percolation behavior in two dimesions[J].Phys Rev（B），1978，18：1514-1517.