中考數(shù)學(xué)填空題解答技巧

劉頓

填空題和選擇題一樣都屬小題，要求每題盡可能在短時(shí)間內(nèi)作答，因而可加大中考試卷卷面的知識(shí)容量，同時(shí)也可以考查同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)量問題的計(jì)算解決能力和推理論證能力.一般來(lái)講，每道題都應(yīng)力爭(zhēng)在3分鐘內(nèi)完成.填空題只要求填寫結(jié)果，每道題填對(duì)了得滿分，填錯(cuò)了得零分.

解答填空題的基本要求是：正確、迅速、合理、簡(jiǎn)捷.解題的基本策略是：巧做.解題的要領(lǐng)：快——運(yùn)算要快，力戒小題大做；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解題要活，不要生搬硬套；細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意.

由此，在填空題上失分一般比選擇題和解答題嚴(yán)重，結(jié)合這種現(xiàn)象，我們很有必要探討填空題的解答策略和方法.

直接法是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果.它是解填空題的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空題，要善于通過現(xiàn)象看本質(zhì)，熟練應(yīng)用解方程和解不等式的方法，自覺地、有意識(shí)地采取靈活、簡(jiǎn)捷的解法.

例1 （2014年浙江省湖州卷）計(jì)算：50°-15°30′=______.

分析 根據(jù)度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根據(jù)同單位的相減，可得答案.

解 50°-15°30′=49°60′-15°30′=34°30′，故答案為：34°30′.

說明 此類題是進(jìn)行度、分、秒的加法計(jì)算，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，注意以60為進(jìn)制即可.

定義法是運(yùn)用數(shù)學(xué)中的相關(guān)定義、概念、定理、公理等內(nèi)容，作出正確解答的一種方法.

例2 （2014年湖南省長(zhǎng)沙卷）拋物線y=3（x-2）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是___________.

分析 由于已知拋物線的解析式是頂點(diǎn)式，所以可以直接寫出結(jié)論.

解 依題意，得拋物線y=3（x-2）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5）.

當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值，而已知條件中含有某些不確定的量時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值，或特殊角、圖形特殊位置、特殊點(diǎn)等進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論，這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、運(yùn)算的過程.

例3 （2014年貴州省貴陽(yáng)卷）若m+n=0，則2m+2n+1=______.

分析 由于m+n=0，于是可以設(shè)m=1，n=-1，代入計(jì)算即可.

解 ∵ m+n=0，∴設(shè)m=1，n=-1，當(dāng)m=1，n=-1時(shí)，2m+2n+1=2×1+2×（-1）+1=1.即結(jié)果為1.

說明 本題的條件為m+n=0，即m與n是一對(duì)相反數(shù)，所以在取特殊值代入計(jì)算時(shí)，只要滿足所取的兩個(gè)數(shù)是一對(duì)相反數(shù)即可.

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)學(xué)中大量數(shù)與形的問題后面都隱含著形的信息，圖形的特征上也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系.我們要將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，通過形的形象、直觀揭示出來(lái)，以達(dá)到“形幫數(shù)”的目的；同時(shí)我們又要運(yùn)用數(shù)的規(guī)律、數(shù)值的計(jì)算，來(lái)尋找處理形的方法，來(lái)達(dá)到“數(shù)促形”的目的.對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡(jiǎn)捷地解決問題，得出正確的結(jié)果.

例4 （2014年湖北省鄂州卷）如圖，直線y=kx+b過A（-1，2）、B（-2，0）兩點(diǎn)，則0≤kx+b≤-2x的解集為______.

分析 觀察圖象，利用一次函數(shù)的性質(zhì)直接確定不等式的解集.

解 根據(jù)題意可知，直線y=-2x過點(diǎn)（-1， 2），結(jié)合函數(shù)的圖象可知，0≤kx+b≤-2x所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍是-2≤x≤-1，即0≤kx+b≤-2x的解集為-2≤x≤-1.

說明 一方面，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定不等式解集的關(guān)鍵是要能正確理解圖象的意義，準(zhǔn)確地從函數(shù)圖象中捕捉求解的信息；另一方面，有關(guān)不等式與函數(shù)結(jié)合的試題大致有兩種情形：一是通過函數(shù)圖象，利用不等式比較大小；二是利用不等式與函數(shù)結(jié)合確定最優(yōu)方案和最值問題.另外，本題也可以先通過待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而通過圖象求解.

轉(zhuǎn)化法是通過“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化陌生為熟悉”，將問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果.

例5 （2014年江蘇省無(wú)錫卷）如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是______.

分析 為了方便求解，可將求PE+PF的最小值轉(zhuǎn)化為基本圖形與常見問題來(lái)處理，即在直線CD的同一側(cè)，有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，試在直線CD上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小.

解 連結(jié)BF、AE，則BF=1、AE=2.將求“PE+PF的最小值”轉(zhuǎn)化為求“PE+2+PF+1的最小值”，即轉(zhuǎn)化為在如圖1中求“PA+PB的最小值”，此時(shí)出現(xiàn)了基本圖形與常見問題：在直線CD的同一側(cè)，有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，試在直線CD上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小.如圖2，過點(diǎn)A作關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B，交直線CD與點(diǎn)P，則P與D重合，CD⊥AA′，PA=PA′，此時(shí)PA+PB的最小值為線段A′B的值.在菱形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=60°，∴∠BAA′=90°，∠A′=30°，因此A′B=2AB=6.即如圖1中PA+PB的最小值為6，從而PE+PF的最小值為6-3=3.

說明 現(xiàn)階段我們求線段和的最小值的常見題型：（1）兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)；（2）兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)（涉及一次軸對(duì)稱）；（3）一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部（涉及二次軸對(duì)稱）；（4）兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部（涉及二次軸對(duì)稱）.解答以上最值問題的基本原理：①兩點(diǎn)之間線段最短；②垂線段最短.

近年來(lái)的中考試卷中頻頻出現(xiàn)一些規(guī)律探究型的填空題，此類題一般都具有一定的難度，要求同學(xué)們善于分析題意，并通過歸納、猜想、驗(yàn)證，從而得到結(jié)果.

例6 （2014年江蘇省鹽城卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖象上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1，S2，S3，…，Sn，則Sn的值為___（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）.

分析 根據(jù)直線解析式判斷出直線與x軸的夾角為45°，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出正方形的邊長(zhǎng)并得到變化規(guī)律表示出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)陰影部分的面積等于一個(gè)等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個(gè)直角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律解答即可.

說明 本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影Sn所在的正方形和正方形的邊長(zhǎng).

（編輯 孫世奇）