基于憶阻器的van der Pol 混沌系統的線性反饋同步控制

羅方玲

(廣西大學電氣工程學院，廣西 南寧 530004)

基于憶阻器的van der Pol 混沌系統的線性反饋同步控制

羅方玲

(廣西大學電氣工程學院，廣西 南寧 530004)

基于憶阻器的van der Pol 混沌系統的混沌特性，采用了線性反饋同步的控制方法，給出了基于憶阻器的van der Pol 混沌系統實現同步的控制參數的取值范圍，并通過數值仿真論證了該方法的可行性。

憶阻器；van der Pol混沌系統；線性反饋控制；混沌同步

1 引言

1990年，美國海軍實驗室的L.M.Pecora和T.L.Carroll首次提出了一種混沌同步的控制方法——變量替換同步法[1]。以及后來的學者們先后提出了一系列行之有效的混沌同步的控制方法。例如，自適應控制同步法[2]，連續變量反饋同步法[3-4]，相互耦合同步法[5]等，這些混沌同步的方法各有其特點和相應的應用范圍，其中的線性反饋同步控制的方法，由于其結構簡單并且在物理上易于實現而得到廣泛的應用。該方法主要是基于李雅普諾夫穩定性理論，構造一個正定的李雅普諾夫函數，經過數學推導過程，得到同步控制參數的取值范圍[6-7]。但是，對于某一些特定的混沌系統而言，要構造其正定的李雅普諾夫函數并非易事。因此，對于混沌同步控制參數取值范圍的研究具有重大的理論現實意義。

本文運用線性反饋同步控制法，根據文獻[8]提出的同步控制參數的取值范圍只要大于van der Pol混沌系統的最大李雅普諾夫指數，即可實現混沌同步。最后通過數值仿真證實了該控制方法的可行性和有效性。

2 線性反饋同步控制原理

考慮如下的混沌系統：

(1)

以系統(1)為主系統，構造一個從系統：

(2)

運用線性反饋同步控制后的受控系統：

(3)

令X=X1-X2，則式(3)可改寫為：

(4)

式中F=(f1，f2，…，fn)T，X1=(x11，x12，…，x1n)T，X2=(x21，x22，…，x2n)T，X=(x1，x2，…，xn)T為N維狀態空間向量，K=diag[k1,k2,…,kn]T為線性反饋控制參數。

要確定線性反饋控制參數的取值范圍，使得式(4)中的第二個狀態方程漸進穩定于零平衡點，才能最終實現混沌同步。

(5)

式中λi(X2)、λi(X1)分別為系統(1)、系統(2)的李雅普諾夫指數。

對于系統(3)有

(6)

對于系統(4)有

D=D(X1)+D(X)

(7)

由(5)～(7)式可得

(8)

兩個混沌系統要達到同步，就要使得誤差系統的最大李雅普諾夫指數小于零，有

(9)

令k-k1=…,kn，設λmax=max(λ1,λ2,…,λn)，可得結論如下：

當選取控制參數k>λmax時，運用線性反饋同步控制方法，可以控制不同初始值的混沌系統達到同步。

3 基于憶阻器的van der Pol 混沌系統的線性反饋同步控制及數值仿真

基于憶阻器的van der Pol低頻振蕩電路如圖1所示[10]。

以憶阻器的磁通φ和電容電壓uc為狀態變量，由基爾霍夫電壓及電流定律得到基于憶阻器的van der Pol低頻振蕩電路的狀態方程如下，并設為主系統：

(10)

圖1 基于憶阻器的van der Pol低頻振蕩電路

其中，W(φ)是憶阻器的電導，這里我們取W(φ)=aφ2+b。

設x1=φ，y2=uc，則式(10)可改寫為：

(11)

當A=9，ω=13，ε=0.1，δ=64，ω0=10時，基于憶阻器的vanderPol混沌系統的時域波形及相圖如圖2所示。

圖2 van der Pol混沌系統的時域波形

對上述系統加入控制項后的數學模型為：

(12)

其中k1，k2為同步控制參數，令e1=x2-x1，e2=y2-y1，則由式(12)減去式(11)得到誤差動力系統為：

(13)

通過數值計算可容易得到基于憶阻器的van der Pol混沌系統的最大李雅普諾夫指數λmax，λmax=0.0012。

令k=k1=k2，根據上述結論，當k>λmax，即k>0.0012時，基于憶阻器的van der Pol混沌系統可實現同步控制。

取驅動系統初始值x1(0)=-0.4，y1(0)=1，響應系統初始值x2(0)=-1，y2(0)=2，取k=10，當e1→0，e2→0時，兩混沌系統能夠達到同步。圖3為響應系統的時域波形及相圖。圖4為系統狀態變量的同步誤差，從圖中可以看到，同步誤差很快速地衰減為零，即響應系統能夠迅速地與驅動系統達到同步。

圖3 van der Pol混沌系統的時域波形及相圖

圖4 系統狀態變量的同步誤差

4 結論

根據控制參數大于混沌系統最大李雅普諾夫指數來確定線性反饋控制參數的方法，通過數值仿真表明，該方法能夠使基于憶阻器的van der Pol混沌系統在不同初始值的情況下實現系統的完全同步。

[1] Pecor L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990,64(8):821-824.

[2] 關新平,范正平,彭海朋,等.擾動情況下基于RBF網絡的混沌系統同步[J].物理學 報,2001(9):1670-1674.

[3] 陳志盛,孫克輝,張泰山.Liu混沌系統的非線性反饋同步控制[J].物理學報,2005(6):2580-2583.

[4] 高鐵杠,陳增強,袁著祉.基于部分變量反饋的混沌系統控制[J].物理學報,2004(10):3274-3279.

[5] 王鐵邦,覃團發,陳光旨.超混沌系統的耦合同步[J].物理學報,2001(10):1851-1855.

[6] 王建根,趙怡.Chen系統和一類統一混沌系統的同步控制[J].電路與系統學報,2004,(6):57-60+18.

[7] 馬軍,唐國寧.一類四維超混沌系統的同步研究[J].電路與系統學報,2003(6):125-128.

[8] 王發強,劉崇新.Liu混沌系統的線性反饋同步控制及電路實驗的研究[J].物理學報,2006(10):5055-5060.

[9] 陳關榮,呂金虎.Lorenz系統族的動力學分析、控制與同步[M].北京:科學出版社,2003:226.

[10] 賀少斌.基于憶阻器的非線性電路特性研究[D].廣西大學，2013.

The Linear Feedback Synchronization Control Based on Van der Pol Chaotic Control of the Memristor

LUOFang-ling

(Electrical Engineering College of Guangxi University,Nanning 530004,China)

Based on the chaotic charactistic of van der Pol chaos system of the memristor,the control method of the linear feedback synchronization has been adopted in the paper.Give the sampling range reaching synchromization control parameters based on van der Pol chaotic system of the memristor.And the feasibility of this method has been proved by numerical simulation.

memristor;van der plo chaotic system;linear feedback control;chaotic synchromization

1004-289X(2015)02-0036-03

TM71

B

2014-03-26

羅方玲(1988-)，女，廣西賓陽縣，碩士研究生，研究方向：電力電子系統分析與控制。