基于小波的回歸-GARCH模型及其在外匯儲備中的應用

肖云湘, 李星野

(上海理工大學管理學院,上海 200093)

基于小波的回歸-GARCH模型及其在外匯儲備中的應用

肖云湘, 李星野

(上海理工大學管理學院,上海 200093)

結合小波變換、多項式回歸和GARCH模型對中國的外匯儲備進行分析及預測.首先利用db4小波對數據進行去噪處理,并對去噪后的數據建立多項式回歸模型.由于去噪后的數據與回歸模型之間存在殘差,且殘差具有自回歸條件異方差效應,故對該殘差建立GARCH模型.然后將回歸模型和GARCH模型進行線性疊加,從而得到基于小波分析的回歸-GARCH模型.最后將預測值與實際值進行擬合,發現擬合效果較好.充分證明了小波變換、多項式回歸和GARCH模型相結合的方法在處理外匯儲備這類具有明顯增長趨勢的非平穩時間序列時,具有明顯的優越性,是一項有用的分析預測工具.

小波;時間序列;多項式回歸;GARCH模型;外匯儲備

信號處理已廣泛應用于經濟和金融等方面,其中,信號預測,即時間序列預測,在(宏觀)經濟、統計、實證金融等領域中非常受歡迎.外匯儲備,又稱為外匯存底,是一個國家當局持有并可以隨時兌換外國貨幣的資產,包括現鈔、黃金、國外有價證券等.持有外匯儲備是調節國際收支、穩定貨幣匯率、實現內外平衡的重要手段.中國的外匯儲備主要由四部分組成:一是巨額貿易順差;二是外國直接投資凈流入的大幅增加;三是外國貸款的持續增多;四是對人民幣升值預期導致的“熱錢”流入.在肯定外匯儲備增長的正面效應時,其過度增長也存在潛在的負面影響.例如,外匯儲備投資歐美國債就可能面臨以下風險[1]:保值增值功能的相對弱化、匯率風險、寬松政策下潛在的通貨膨脹風險.簡單地說,持有過多外匯儲備,可能因外幣匯率貶值而遭受損失,還要考慮機會成本問題.為了能夠更確切地把握我國外匯儲備的增長趨勢,本文對1993年以來的外匯儲備數據進行了建模,以此來預測短期內我國外匯儲備的增長趨勢.

由于許多經濟和金融時間序列都具有時變性,所以小波成為分析時間序列的好方法[2].盡管小波適用于很多領域,但其主要應用熱點是經濟和金融的多元研究,研究方向有密度估計、時間尺度分解、時間序列的相互依存關系識別和預測等.

外匯儲備數據中都或多或少地引入了噪聲,使預測精度受到了影響,對數據進行去噪是解決該問題的方法之一.以往的去噪方法都是基于Fourier變換進行的,基于小波變換的去噪技術與傳統的去噪方法相比,能夠在有效去除信號中噪聲的同時,適當保留信號的高頻部分,這是Fourier變換所不可比擬的.根據我國外匯儲備序列的特點,研究發現該序列適合應用小波分析、多項式回歸和GARCH模型相結合的預測方法.

1 研究現狀

截至2006年底,中國外匯儲備的規模突破萬億美元大關,已經達到了10 663億美元,成為世界第一大外匯儲備國.中國外匯儲備的持續高速增長已經引起了國內外學者的關注,不少學者從外匯儲備額的預測方面出發,分析我國外匯儲備的走勢.

最新對我國外匯儲備作出預測的是宋國青教授[3],他在2005年9月就明確指出:“按照目前勢頭,(我國外匯儲備)不久超過2萬億美元是鐵定的,而其可能見頂于3萬億美元.”但沒有提供具體的預測方法.2006年,盧峰[4]采用冪函數、線性函數、指數函數三種方法,擬合和預測我國的外匯儲備.但這三種方法對2020年外匯儲備的長期預測相差甚大,實際效果不太好.第一種預測方法增長趨勢比較均衡,推測到2020年我國外匯儲備應約為1.1萬億美元,這顯然與事實不符;第二種預測方法采取2002年以來外匯儲備實際增長的線性趨勢,到2020年也將達到3.5萬億美元上下;第三種預測方法是極端假設繼續2002年以來指數增長趨勢,5年就會達到近5萬億美元規模.無論第二、三種預測方法的結果如何,其研究數據均是2002—2005年的外匯儲備額,依據時間太短,而預測的時間又太長,顯然不恰當.2007年,張曙光等[5]進一步提出了四種預測我國外匯儲備的方法,選擇1994—2005年間的外匯儲備額.第一種方法是指數增長法估算,采用指數函數對外匯儲備變動進行回歸方程外推,得到2010年中國外匯儲備達到19 869.8億美元;第二種方法是組成部分加總法測算,根據國際收支平衡表,有恒等式:經常賬戶余額+資本賬戶余額=儲備資產變動+凈誤差與遺漏,該方法分別估算出每一組成部分,預測2010年外匯儲備約為2.5萬億美元;第三種方法是年平均增長率估算,預計2010年外匯儲備將達到2.88萬億美元;第四種方法是將以上三種方法的估計取平均,得到2010年外匯儲備將達到2萬億美元.之后也有不少學者提出對我國外匯儲備額趨勢進行預測的方法,但這些研究方法均沒有考慮到外界(即噪聲)對外匯儲備的影響.

2 理論模型

2.1 小波變換理論

小波變換[6]是通過伸縮和平移等運算對函數或信號進行多尺度的細化分析,利用多分辨率分析得到更多信息[7].

設ψ(t)∈L2(?),其傅立葉變換為^ψ(ω),當^ψ(ω)滿足允許條件(完全重構條件或恒等分辨條件)

式中,a為伸縮因子,a≠0;b為平移因子.對于任意的函數f(t)∈L2(?),其連續小波變換為

Daubechies小波系是法國學者Daubechies從兩尺度方程系數{hk}出發設計出來的離散正交小波的總稱.一般簡寫為db N,N是小波的序號,小波函數和尺度函數的支撐區為2N-1,小波函數的消失矩為N.

從數學上看,小波去噪問題的本質是函數的非線性逼近問題;從信號學角度看,小波去噪屬于信號的濾波問題.

首先對信號進行小波分解,這需要選擇適當的小波函數并確定其分解層次(N),通常噪聲部分包含在高頻中.然后對小波分解的高頻系數進行門限閾值量化處理,根據小波分解的第N層低頻系數和經過量化后的1～N層高頻系數進行小波重構,達到消除噪聲的目的.

關鍵是如何選擇閾值和如何進行門限閾值處理,在某種程度上,它關系到信號去噪的質量.在對小波系數作門限閾值處理操作時,可以使用軟閾值處理方法或硬閾值處理方法.一般來說,硬閾值比軟閾值處理后的信號更粗糙一些[8].

2.2 GARCH模型

Bolloerselev[9]提出的廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型是對Engle提出的自回歸條件異方差(ARCH)模型的拓展,有均值方程和方差方程兩個方程,能更加有效地捕捉金融時間序列條件方差的動態特征,也能較好地描述金融時間序列的尖峰厚尾性[10].

把式(5)中的t替換為t+1,就可以得到領先一步的預測.由此可知,GARCH模型描述的是均方誤差的平均大小隨時間的變動.雖然GARCH模型具有良好的預測能力,但所獲得的結果仍依據時間段的不同而有所不同,歸根結底還取決于時間序列上的波動結構.

可以準確預測的方法至今仍然沒有被發現,每種方法都有自己的優點,而且也從統計學上證明了這些方法獲得的良好結果.本文預測模型將不僅僅是象許多計量經濟模型那樣直接對原始數據進行預測,而是應用于小波去噪后的序列,在序列建模時,可以提高預測精度.

本文所提出的模型如圖1所示,每個模塊的相應描述在第三部分給出.

圖1 預測模型Fig.1 Prediction model

3 實證分析

選取1993年1月至2012年12月間我國外匯儲備的月度數據(數據來源于國家外匯管理局網站),共240個數據,如圖2所示.

圖2 1993年1月至2012年12月的外匯儲備Fig.2 Foreign exchange reserves from Jan.1993 to Dec.2012

3.1 小波去噪

db N小波是有限緊支撐正交小波,具有正交性和較好的降噪性[11].這個小波函數的消失矩N越大,小波函數越光滑,支撐長度越長,但小波變換的計算將會增加延長.因此,選取db4小波來分析問題.由于預測結果是從小波分解序列的去噪結果得到,且分解過程中存在誤差,分解的層數越多,誤差就越大,越不利于預測模型.經過具體計算,本文分解的尺度為3.圖3為用默認閾值去噪方法處理后的外匯儲備.可見,默認閾值去噪在除去大部分噪聲的同時,很好地保留了原始數據的波動趨勢,說明去噪是合適的.

圖3 默認閾值去噪后的外匯儲備Fig.3 Foreign exchange reserves afterdenoising of default threshold

3.2 建立多項式回歸模型

由圖3可以看出,去噪后的序列適合建立自變量為時間,因變量為外匯儲備的二次多項式.

在一般情況下,不能要求近似曲線嚴格地通過所有數據點,亦即不能要求所有擬合曲線函數在所有自變量處的偏差(即殘差)都嚴格地趨于零.為了方便計算、分析與應用,較多根據“偏差平方和最小”(即最小二乘法)的原則,來選取擬合曲線.

用最小二乘法所得的二次方程為

式中,R2為復可決系數,是模型擬合優度的指標, R2越接近于1,模型擬合越好;F,DW為檢驗值,分別用于檢驗方程的顯著性和序列的自相關.從回歸估計的結果可以看出,擬合度較好.去噪序列與回歸序列的對比如圖4所示.

圖4 去噪序列與回歸序列的對比Fig.4 Denoised series vs regression series

3.3 建立GARCH模型

建立GARCH模型的前提是數據平穩.所以,在對去噪序列與多項式的殘差序列Zt(圖5)進行建模前,首先要確定其平穩性.

圖5 殘差序列Fig.5 Residual series

使用ADF檢驗方法對殘差序列Zt的平穩性進行檢驗.換而言之,當計算得到的t統計量的值小于臨界值時,拒絕原假設(即否定存在單位根).表1結果顯示,t統計量的值大于在1%,5%和10%顯著性水平下的臨界值,該殘差序列存在單位根,是非平穩時間序列,其中P為t對應的概率值.

表1 殘差序列的ADF檢驗Tab.1 ADF test of residual series

如要構造GARCH模型,就得對該非平穩序列進行平穩化處理,然后才能對其進行預測.該殘差序列沒有指數趨勢,通過差分就可以消除其線性趨勢.即對Zt做差分

經過試驗,對該序列進行兩次差分后,其ADF檢驗的結果如表2所示.在1%,5%和10%顯著性水平下,單位根檢驗的臨界值分別為-3.459 494, -2.874 258,-2.573 625,均大于-8.137 927,拒絕原假設,即認為是平穩序列.

表2 殘差序列二次差分的ADF檢驗Tab.2 ADF test of 2nddifference residual series

用ARCH-LM方法檢驗Zt的殘差序列發現其存在高階ARCH效應,運用GARCH模型,能較好地消除殘差序列中的條件異方差.經過多次試驗,根據AIC最小的原則,對Zt建立的GARCH模型為

3.4 線性疊加

將用多項式模型得到的序列和用GARCH模型得到的序列進行線性疊加,就可以得到我國外匯儲備的95%置信度的預測區間,如圖6所示.

圖6 實際值與預測值Fig.6 Actual values vs predicted values

圖7為2012年1—12月的實際值與預測值.可以發現,模擬效果較好,即本文提出的算法對結果有積極的影響.

圖7 2012年1—12月的實際值與預測值Fig.7 Actual values vs predicted values from Jan.to Dec.in 2012

4 結 論

給出了結合小波變換、多項式回歸和GARCH模型來處理我國外匯儲備序列的方法.該方法在處理外匯儲備這類有明顯增長趨勢的非平穩時間序列時,具有明顯的優越性,是一項有用的分析預測工具.根據該方法預測可知,如果政府沒有采取一系列的措施,我國的外匯儲備2013年中期超越3.5萬億美元,繼續保持全球第一,這么龐大的外匯儲備遠遠超過正常所需.長期的國際收支不平衡與資本順差累積可能會引起許多金融問題,使我國在一定程度上喪失貨幣政策操作的主動權,長期處于減輕人民幣升值與抑制通貨膨脹的兩難境地,這需要政府積極地采取有效的措施,鼓勵合理的資本流出.

[1] 江凱.外匯儲備投資歐美國債的動因、風險及建議[J].金融與經濟,2012,32(7):29-31.

[2] Kim S,In F H.The relationship between financial variables and real economic activity:evidence from spectral and wavelet analyses[J].Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics,2003,7(4):4.

[3] http:∥wenzhu.blog.hexun.com/91071422_d.html.宋國青.全球通大河論壇講演[N].2005-9-24.

[4] 盧峰.我國國際收支結構變動及其人民幣匯率影響——人民幣實際匯率長期走勢研究之四[R].北京:北京大學中國經濟研究中心,2006.

[5] 張曙光,張斌.外匯儲備持續積累的經濟后果[J].經濟研究,2007(4):18-29.

[6] Glosten L R,Jagannathan R,Runkle D E.On the relation between expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks[J].The Journal of Finance,1993,48(5):1779-1801.

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[9] 高鐵梅.計量經濟分析方法與建模[M].北京:清華大學出版社,2009.

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(編輯:董 偉)

Wavelet-Based Regression-GARCH Model and Its Application in Foreign Exchange Reserves

XIAOYunxiang, LIXingye
(Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The wavelet transform and the polynomial regression were combined with the GARCH model to analyze and forecast China’s foreign exchange reserve.The data were de-noised by the db4 wavelet to establish polynomial regression model.Seeing that between the residuals of the denoised data and the regression model there exist the auto regressive conditional heteroskedasticity (ARCH)effects,the GARCH model was created.Linear superposing the regression model and GARCH model,a regression-GARCH based on wavelet analysis was proposed.Comparing the predicted value and the actual value,it is found that the result in the paper is quite well.In other words,the method presented has obvious advantages and it’s a useful predictive analysis tool in dealing with the non-stationary time series which has obvious growth trend just like foreign exchange reserves.

wavelet;time series;polynomial regression;GARCH model;foreign exchange reserve

F 830

A

1007-6735(2015)01-0018-05

10.13255/j.cnki.jusst.2015.01.004

2013-10-14

國家自然科學基金資助項目(71071098);上海市一流學科建設資助項目(XTKX2012)

肖云湘(1990-),女,碩士研究生.研究方向:復雜經濟系統分析.E-mail:maiuth@163.com

李星野(1958-),男,教授.研究方向:信號分析與識別、復雜經濟系統分析等.E-mail:lixingye@tsinghua.org.cn