(2+1)維Lax-Kadomtsev-Patviashvili方程的Painlevé分析和精確解

王竟博， 胡恒春

(上海理工大學理學院，上海 200093)

(2+1)維Lax-Kadomtsev-Patviashvili方程的Painlevé分析和精確解

王竟博， 胡恒春

(上海理工大學理學院，上海 200093)

由Weiss，Tabor和Carnevale(WTC)提出的Painlevé分析法是目前最有效且應用廣泛的直接判別非線性偏微分方程的方法之一.借助符號計算軟件Maple，首先將判斷非線性系統可積性的WTC方法應用于(2+1)維Lax-Kadomtsev-Patviashvili(Lax-KP)方程中，通過領頭項分析得到兩種情況.然后分別尋找共振點，并驗證共振條件是否成立，判別了(2+1)維Lax-KP方程具有Painlevé不可積性.應用Painlevé標準截斷展開和非標準截斷展開兩種方法，構造了Lax-KP方程不同形式的精確解，通過適當選取常數值發現這些精確解都是扭結形狀的孤波解.

Lax-KP方程；Painlevé可積性；精確解；WTC方法

由于孤立子在物理學及其它許多學科得到了廣泛應用，引起了許多物理學家對尋找具有孤立子解的完全可積模型研究的極大興趣.其中，最有影響的可積模型有Kd V方程、MKd V方程、Burgers方程、Sine-Gordon方程、非線性薛定諤方程等.關于非線性系統的可積性以及求解問題，已經建立和發展了許多有效的方法，如反散射變換方法、達布變換法、雙線性及多線性方法、經典和非經典李群法等.其中，1983年由Weiss，Tabor和Carnevale發展的Painlevé分析法已被公認為是最成功、且應用最廣泛的方法之一，通常被稱為WTC方法[1].把WTC方法應用于非線性偏微分方程中，不僅可以得到可積模型的Painlevé性質、Lax對、Backlund變換、雙線性形式等性質，還可以得到許多可積模型的精確解[2-5].1984年，Kruskal等對WTC方法進行了簡化，將奇異流形上的函數假設為其中一個變量的線性關系，大大簡化了計算的復雜性.但傳統的WTC方法也有局限性，對于沒有Painlevé性質的方程，一般不能得到更為豐富的孤子解.后來，Conte[6]，Pickering[7]以及Lou[8]先后通過不同途徑推廣了WTC方法，得到了更多、更簡潔的非線性偏微分方程的新精確解.

1 Lax-KP方程簡介

Lax[9]通過推廣Kd V方程的雙線性形式，獲得了著名的五階Lax非線性方程.Kadomtsev和Petviashvili通過延長Lax方程，得到新的完全可積的Lax-Kadomtsev-Petviashvili(Lax-KP)方程[10]

Wazwaz[11]利用tanh-coth方法求出了式(2)的單孤子解和三角函數解，用Hirota雙線性方法和Hereman的簡化形式求出了該式的多孤立子解.于金倩等[12]用李群方法得到了式(2)的對稱、群不變解以及若干相似約化方程.判別其它的高維或低維非線性系統的Painlevé可積性及其新精確解，很多作者已經取得了一定的研究成果[13-14].還有一些學者借助于其它求解非線性系統的方法，如指數函數展開法、達布變換法等，研究了耦合非線性系統的復子解和周期解[15-17].本文將借助判斷非線性系統可積性的WTC方法來研究(2+1)維Lax-KP方程是否具有Painlevé可積性，并進一步利用標準截斷展開和非標準截斷展開兩種方法構造Lax-KP方程的新精確解.

2 Lax-KP方程Painlevé不可積性

首先，令任意的奇異流形φ(x，y，t)=0，勢函數u=u(x，y，t)的洛朗展開式為

然后，令u～u0φα，則由領頭項分析可得到如下兩種情況:

要檢驗式(2)是否具有Painlevé性質，按照Painlevé可積性的步驟，需找出式(2)所有的共振項，并驗證所有共振項是否滿足相容性條件.下面給出這兩種情況的具體分析過程.

步驟1采用找對稱方程的方法求解共振項，令

把式(4)代入式(2)后，得到有關函數uj的遞推關系式

式中，gj是僅僅依賴于uk(k=0，1，2，…，j-1)和φ導數的復雜函數.由式(5)可以看出，所求的共振項為j=-3，-1，1，6，8，10.在j=-1的共振點對應于展開函數的任意性；j=-3不符合共振項的定義，故舍去.

步驟2檢驗j=1，6，8，10時，是否滿足相容性條件.

為方便起見，采用Kruskal的簡化方法，取

式中，φ=φ(y，t)是自變量為y和t的函數.

由于共振項最大正整數是10，所以有限截斷展開式為

將式(6)和式(7)代入式(2)，依次比較φ的各冪次系數，可得到一系列等式可見，u10不是任意函數，所以此時Lax-KP方程不具有Painlevé可積性質.

b.當α=-1，u0=2φx時.

步驟1采用找對稱方程的方法求解共振項，同樣令

把式(6)代入式(2)中，得到有關函數uj的遞推關系式

式中，fj是僅僅依賴于uk(k=0，1，2，…，j-1)和φ導數的復雜函數.由式(8)可以看出，共振項為j= -1，1，2，5，6，8.在j=-1的共振點對應于展開函數的任意性.

步驟2檢驗j=1，2，5，6，8時，是否滿足相容性條件.

可見，u8不是任意函數，所以Lax-KP方程也不具有Painlevé可積性質.綜合上述兩種情況可知，Lax-KP方程并不具有Painlevé可積性質.

3 Lax-KP方程的精確解

盡管Lax-KP方程不具有Painlevé可積性質，仍可以利用Painlevé截斷展開方法來構造其精確解.下面利用Conte展開法來構造Lax-KP方程的精確解.Conte展開法具有如下形式

式中，ξ是與x，y和t的任意函數，且滿足

顯然，當N=2時，式(9)和式(10)為Pickering提出的不變形式展開.在此基礎上，不失一般性，取N= 2，令

式中，λ是任意常數；φ是任意奇異流形.當λ=0時，式(9)中的函數被χ所替換后得到的新展開式恰好是常說的Conte展開式.由式(11)可知S，C和K是M?bius變換下的不變量.經計算可驗證相容性條件gtx=gxt，gty=gyt，gxy=gyx成立.

當式(9)中的函數被g所替換后，所對應的標準截斷展開式

把標準截斷展開式代入Lax-KP方程并消去所有各階g的系數，可以得到一系列復雜的由函數u0，u1，u2，S，C和K組成的表達式.此時，要想得到Lax-KP方程的精確解是很困難的.但為了得到相對簡單的孤子解，就可以把它們選擇成常數(可用相對應的小寫字母表示)，將會得到一組非平凡解

式中，c1為積分常數.

當式(19)中的函數被g所替換后，所對應的非標準展開式

同樣，把非標準截斷展開式代入Lax-KP方程并消去所有各階g的系數，也可以得到一系列復雜的由函數u0，u1，u2，S，C和K定義的表達式.與標準截斷方法類似，可求出另一組非平凡解

適當地選取不同常數值，可發現通過標準截斷和非標準截斷這兩種方法得到的Lax-KP方程的精確解都是扭結形狀的孤立波解.

4 結 論

利用判別非線性系統可積性的WTC方法檢驗了(2+1)維Lax-KP方程的Painlevé不可積性，并通過Painlevé標準截斷展開和非標準截斷展開兩種方法構造了Lax-KP方程的新精確解.對于(2+ 1)維Lax-KP方程的其它可積性質和新形式的精確解，如達布變換、CK直接法約化方法、分離變量解等，將是今后工作的研究重點.

[1] Weiss J，Tabor M，Carnevale G.The Painlevéproperty for partial differential equations[J].Journal of Mathematical Physics，1983，24(3):522-527.

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[3] Lin J，Li H M.Painleve integrability and abundant localized structures of(2+1)-dimensional higher order Broer-Kaup system[J].Zeitschrift für Naturforschung A，2002，57(12):929-936.

[4] Lou S Y，Wu Q X.Painlevéintegrability of two sets of nonlinear evolution equations with nonlinear dispersions[J].Physics Letters A，1999，262(4/5): 344-349.

[5] Lou S Y，Chen C L，Tang X Y.(2+1)-dimensional (M+N)component AKNS system:Painlevé integrability，infinitely many symmetries，similarity reductions and exact solutions[J].Journal of Mathematical Physics，2002，43(8):4078-4109.

[6] Conte R.Invariant Painlevéanalysis of partial differential equations[J].Physics Letters A，1989，140 (7/8):383-390.

[7] Pickering A.A new truncation in Painlevéanalysis [J].Journal of Physics A:Mathematical and General，1993，26(17):4395-4405.

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[10] Kadomtsev B B，Petviashvili V I.On the stability of solitary waves in weakly dispersive media[J].Soviet Physics Doklady，1970，15(6):539-541.

[11] Wazwaz A M.Multiple-soliton solutions for the Lax-Kadomtsev-Petviashvili(Lax-KP)equation[J]. Applied Mathematics and Computation，2008，201(1/ 2):168-174.

[12] 于金倩，王婷婷.(2+1)維Lax-Kadomtsev-Petviashvili (Lax-KP)方程的對稱和精確解[J].聊城大學學報(自然科學版)，2009，22(3):14-18.

[13] Xu G Q.Painlevéintegrability of a generalized fifthorder KdV equation with variable coefficients:exact solutions and their interactions[J].Chinese Physics B，2013，22(5):050203.

[14] Zhi H Y，Chang H.Invariance of Painlevéproperty for 665-673.some reduced(1+1)-dimensional equations[J]. Chinese Physics B，2013，22(11):110203.

[15] 胡恒春，王麗金，劉磊.KdV-Burgers-Kuramoto方程另一類指數函數求法及新的精確解[J].上海理工大學學報，2013，35(2):131-134.

[16] 張玲，桑本文，胡恒春.耦合mKdV系統的非奇異正子解、負子解及復子解[J].上海理工大學學報，2012，34 (1):76-80.

[17] 斐勝兵，張衛國，李想.色散項數為負的MKdVBrugers方程的有界行波解[J].上海理工大學學報，2014，36(3):205-216.

(編輯:董 偉)

PainlevéAnalysis and Exact Solutions of the(2+1)-Dimensional Lax-Kadomtsev-Patviashvili Equation

WANG Jingbo， HU Hengchun
(College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China)

The Painlevéanalysis method developed by Weiss，Tabor and Carnevale is one of the most effective and extensively used methods to test the integrability of the nonlinear partial differential equation.With the help of symbolic computation system Maple，the(2+1)-dimensional Lax-Kadomtsev-Patviashvili(Lax-KP)equation was proved to be Painlevénon-integrable by using the Weiss，Tabor and Carnelvale(WTC)method.The leading order analysis helps one to find two cases and verify that the recursion relations are established directly.New exact solutions of the (2+1)-dimensional Lax-KP equation were obtained by the standard and nonstandard truncation expansions respectively，and all the solutions are both kink solitary solutions when selecting proper constants.

Lax-KP equation；Painlevéanalysis；exact solutions；WTC method

O 13

A

1007-6735(2015)02-0126-04

10.13255/j.cnki.ju sst.2015.02.005

2013-11-11

國家自然科學基金資助項目(11071164，11201302)；上海市自然科學基金資助項目(10ZR1420800)；上海市重點學科建設資助項目(XTKX2012)

王竟博(1990-)，女，碩士研究生.研究方向:孤立子與可積系統.E-mail:wangjingbo26@163.com

胡恒春(1976-)，女，副教授.研究方向:孤立子與可積系統.E-mail:hhengchun@163.com

??編號:1007-6735(2015)02-0130-06 DOI:10.13255/j.cnki.ju sst.2015.02.006