間諧波環境下并聯有源電力濾波器系統設計

張 超 馬小平 張義君 任子暉

（1.山東科技大學電氣與自動化工程學院 青島 266590 2.中國礦業大學信電學院 徐州 221008 3.龍口礦業集團 龍口 265700）

0 引言

間諧波是指頻率不等于基波頻率（工頻）整數倍的分量。隨著高壓直流輸電裝置、電弧爐和變頻器等電力電子設備的應用，電網中出現大量的間諧波[1,2]。間諧波具有類似諧波的危害，而且會導致電壓閃變和沖擊性轉矩[3]。由于間諧波的頻率會隨著諧波源設備運行狀況而變化，導致其難以準確檢測和消除。

有源濾波器（Active Power Filter，APF）已經在解決電網諧波污染問題方面得到廣泛應用。在設計APF時，應考慮不同的電網環境和負載設備的要求，APF 應該可以在各種復雜電網環境下投入運行，并且運行時不會對電網產生干擾。目前，國內外關于間諧波的研究主要集中在檢測方面，對間諧波的抑制方法，主要采用無源濾波器，利用APF 消除電網中間諧波含量的研究較少，并且現有應用于APF裝置的諧波檢測及控制方法并不能有效適用于間諧波環境下[4]。所以，在電網中間諧波含量明顯時，研究APF 針對間諧波和諧波的共同檢測及補償方法具有重要意義。

目前諧波、間諧波的檢測主要可以分為兩大類：基于頻域和時域檢測方法。傅里葉變換是頻域檢測的經典算法，但由于間諧波的存在，傅里葉變換較難實現同步采樣，采用非同步采樣時，又存在著頻譜泄漏等缺陷。采用加窗插值[5-7]、小波變換[8]、HHT（Hilbert-Huang transform）變換[9]的辦法可以有效減少頻譜泄漏等帶來的誤差，但存在實時性、邊緣效應、頻率分辨率低等問題。用現代譜估計的方法可以減少采樣時間，提高頻率分辨率，譜估計方法主要有：自回歸（Auto Recursive，AR）譜估計[10]、三線性算法[11]、采用自適應、粒子群優化譜估計算法[12,13]等。

頻域檢測的方法可以獲取諧波電流，但計算量較大，實時性較差。電網中電壓、電流存在畸變時，傳統功率理論已不適用，而現有時域檢測方法主要基于各種非正弦功率理論，對APF 的適用性強，且算法本身構造簡單，應用廣泛。常用的基于功率理論時域檢測方法，主要有兩類：基于瞬時功率定義和基于Fryze 功率定義的方法。基于傳統瞬時無功功率理論（p-q theory）的檢測方法無法在三相電壓不對稱及發生波形畸變時，準確地檢測出電網諧波電流；基于p-q-r 功率理論的檢測方法增加了零功率的定義[14]，可以用于三相不平衡系統檢測中；通用瞬時功率理論及其改進算法解決了在三相電壓不對稱及畸變系統中諧波和無功電流檢測的問題[15,16]。FBD 法由Fryze 提出，經Buchholz 和Dpenbrock 完善，通過等效電導概念來分離電流，討論各電流分量的物理含義，并且相比于傳統瞬時功率定義的方法，不需要坐標變換，算法實現相對簡單[17,18]；CPT（conservative power theory）定義了在三相不平衡及畸變系統中的瞬時功率[19]，與pq 功率理論、FBD功率理論相比，CPT 對不平衡及畸變系統中電流分解的表達更準確[20,21]，但對于電網含間諧波的情況需要進一步的研究。

重復控制（repetitive control）可以實現對周期參考信號的跟蹤和周期干擾信號的抑制，與PI 控制、預測控制等相結合，可以實現對PWM 變換器取得較好的電流控制性能。但重復控制系統對非周期信號的控制以及非周期信號的干擾抑制性能較差，因此需要尋求改善重復控制系統非周期控制性能的方法。解決的思路有：高階重復控制器（High- Order Repetitive Controller，HORC）[22]和自適應重復控制器[23]，這些方法在改善控制系統性能的同時，增加了系統復雜程度，使得系統穩定性難以實現。如果將非周期信號看作干擾，采用干擾觀測器與重復控制結合的方法也是解決重復控制非周期控制問題的思路。等價輸入干擾（Equivalent Input Disturbance，EID）方法[24]與通常干擾觀測器不同，并不是基于系統逆理論，是一種主動擾動抑制方法。這種方法結構簡單、易于實現，可以用于重復控制器中，提高重復控制系統的非周期擾動抑制性能。

本文以三電平SAPF 為研究對象，基于CPT 功率理論的定義，研究了間諧波環境下SAPF 指令諧波電流的檢測，采用重復和PI 復合的控制方式對電網電流諧波以及間諧波分量進行補償，通過引入EID 控制器，提高了SAPF 在非周期信號干擾下的控制性能，分析了所設計系統穩定性及靈敏度問題，給出了一種適合于間諧波環境下的SAPF 系統設計方法。仿真和實驗表明，所設計系統可以準確檢測電網諧波、間諧波含量，有效對電網諧波和間諧波進行補償。

1 基于小信號干擾SAPF 數學模型

圖1為二極管中點鉗位式三電平變換器主電路拓撲，三電平變換器每相橋臂的四個開關可以組合出三種開關狀態。

圖1 三電平變換器結構拓撲Fig.1 The topology of three-level converter

根據基爾霍夫定律和圖1所示結構，直接給出SAPF 在dq 旋轉坐標系下狀態空間表達式

式中

三電平SAPF 數學模型為非線性，可以在穩態值附近進行線性化，由擾動值引起穩態值附近的小信號變化可表示為

對SAPF 數學模型線性化并忽略高階信號后，可以得到其小信號數學模型

式中，下標d、q分別對應有功、無功分量。

2 間諧波環境下CPT 方法檢測

2.1 CPT 定義

CPT 理論是近幾年提出的關于非線性時域條件下的功率定義方法。對于一個連續變量x(t)，周期為T，定義原函數和導函數如下

定義其直流分量

令ω=2π/T，定義x同源變量

注意到x、和這三個變量在數量上是相等的，并且衡量單位相同，所以稱這三個變量為同源變量。

根據CPT 理論定義，以三相系統為例，定義有功功率P

無功功率Q

有功電流ia

無功電流ir

畸變電流iv

2.2 基于CPT 的間諧波檢測方法

為了將CPT 功率理論應用于三相SAPF 諧波檢測中，假設三相電源電壓對稱無畸變，初始相位角為0，標幺化處理后得

式中，ea、eb、ec分別為標幺化處理后的三相電源電壓；ω為角頻率。

對于ea來說，根據CPT 理論定義，其同源變量分別為

設三相負載電流為

式中，ia、ib、ic分別為三相負載電流；I為諧波電流分量的幅值；θ為諧波電流分量的初始相位角，下標h為諧波次數，當h=1時，表示基波分量；當h取整數時，表示基波倍頻分量；當h取非整數時，表示間諧波分量。

根據CPT 理論有功功率定義，代入電壓、電流表達式，計算得

若將式（4）交流分量濾除，可得線性有功功率

可以看出，式（5）與電流基波有功分量對應。根據CPT 理論，設三相電源電壓的同源變量為

根據CPT 理論無功功率的定義，同樣可以得到瞬時無功功率Q

將式（6）交流分量濾除，可得線性無功功率

將式（5）和式（7）代入式（2）和式（3），兩式相加即得基波正序分量，除基波正序分量外其余分量即為SAPF 的諧波檢測信號。基于CPT 功率定義的SAPF 諧波檢測系統如圖2所示。

圖2 基于CPT 諧波檢測系統Fig.2 Harmonic detection system based on CPT

3 基于EID 重復控制補償

3.1 控制系統設計

根據三電平APF 數學模型，按照等價輸入干擾、重復控制的設計方法，設計APF 電流環補償控制系統如圖3a 所示。

APF 補償信號是除去基波外的諧波信號，主要包含基波倍數頻率次諧波。當電網間諧波含量明顯時，補償信號混入非基波倍頻信號，重復控制器無法對這些非周期信號進行控制。復合重復控制系統由改進重復控制和PI 控制器并聯而成。通過重復控制對周期信號控制，提高APF 補償精度。PI 控制調節重復控制的延遲特性，并對非周期信號控制，改善APF 的動態特性。考慮采樣等因素，PI 控制器加入一拍延遲環節。控制系統框圖如圖3b 所示。

圖3 SAPF 電流補償控制系統Fig.3 The current compensation system of SAPF

隨著APF 中器件老化，器件參數會有波動，再加上死區效應、負荷波動等因素影響，APF 在實際運行中會出現周期和非周期干擾。對于重復控制器來說，可以消除周期干擾影響，但對于非周期干擾，控制效果反而會惡化。本文引入等價輸入干擾控制器對非周期信號干擾進行抑制，提高APF 電流補償控制器的魯棒性，改善APF 補償效果。

根據等價輸入干擾定理，對于如圖3a 所示控制系統，由輸入干擾d(t)引起的輸出為y(t)，那么存在一個從控制輸入引入的等價輸入干擾de(t)，滿足de(t)與干擾信號d(t)產生同樣的輸出。

EID 控制系統主要包括用于等價輸入干擾的干擾估計器和用于狀態反饋的狀態觀測器，圖3c 中控制系統干擾de(t)可以用下式表示

由圖3c 可以得到等價輸入干擾估計器所推測干擾表達式為

從式（8）可以看出，當狀態觀測器觀測狀態與被控對象一致時，等價輸入干擾估計干擾值與實際一致。

3.2 控制系統靈敏度分析

靈敏度是反映控制系統性能的重要指標，對于圖3a 所示控制系統，靈敏度定義為外部擾動d對控制對象輸出y的傳遞函數，也可理解為外部輸入信號r對誤差信號e的傳遞函數。所以，靈敏度反映了控制系統對輸入信號的跟蹤特性，以及對擾動的抑制特性。圖3a 所示控制系統靈敏度函數S為

控制系統的設計，除了考慮數學模型和性能指標外，其設計還要受到一定約束。靈敏度函數是控制系統重要性能指標，但不是可以任意取值的，要受到Bode 積分定理的約束。根據Bode 積分定理，對數靈敏度的積分是一個常數，如果控制系統穩定，則積分為零，即

當S＜1時，對數靈敏度為負；當S＞1時，對數靈敏度為正。所以，根據式（9），積分為零即要求對數靈敏度正負面積相等。雖然控制系統性能要求靈敏度越小越好，但是根據Bode 積分定理，靈敏度在某一頻段被調低后，必然會在其他頻段升高。重復控制就是在周期信號頻段將靈敏度降低，導致非周期頻段靈敏度升高，造成非周期信號控制性能的惡化。

對于重復控制系統，其靈敏度函數Sr為

加入PI 控制后，系統靈敏度函數Sp為

對于圖3c 所示控制系統，其靈敏度函數Se為

式中

比較式（10）～式（12），可以看出，引入PI控制和EID 控制后，通過調節PI 與EID 控制傳遞函數，可以使得系統靈敏度函數減小。

圖4為根據式（10）～式（12），針對SAPF控制系統設計重復控制、重復和PI 復合控制，以及加入EID 控制的三個控制系統靈敏度函數比較。可以看出重復控制在基波即50Hz 倍頻處，靈敏度函數處于低點，而在基波倍頻之間的非周期位置，靈敏度函數處于高點。所以，重復控制對于基波及倍頻信號有很好的跟蹤或抑制作用，而對于非周期信號，以SAPF 來說，主要是指間諧波及非周期干擾，控制性能則會惡化。

圖4 控制系統靈敏度函數比較Fig.4 The sensitivity comparison of control system

從圖4還可以看出，加入PI、EID 控制后，靈敏度函數低頻段整體下拉，顯示控制系統對于基波倍頻信號以及非周期干擾信號的控制性能提升，符合式（9）體現的控制規律。同時，根據前述Bode積分定理以及圖4所示，EID 的引入惡化了系統部分高頻段的控制性能。SAPF 的作用主要在于抑制電網當中低頻特征次諧波含量，雖然EID 控制的引入使得系統對于部分高頻信號控制性能變差，但并不會對SAPF 在實際應用時的性能造成影響。

3.3 控制系統穩定性分析

系統穩定性是控制系統設計時的最基本要求。只有在控制系統穩定的前提下，才能進一步進行系統設計，考慮系統其他性能指標的要求。

對于圖3a 所示控制系統，可以看成重復和PI的復合控制系統與EID 系統兩個子系統串聯而成。整個控制系統的穩定性，可以看成是兩個子系統同時穩定，由于復合重復控制系統與EID 控制系統中的控制參數選取沒有重合項，兩個子系統可以單獨設計。對于圖3b 所示復合重復控制系統，令PI 控制器傳遞函數為GPI(z)，直接給出其特征方程為

復合重復控制系統特征方程包含兩個部分，不難看出1+GPI(z)P(z)為PI 單獨控制時的特征方程，后一部分為加入重復控制后的特征方程。所以，復合重復控制系統的穩定，是在單獨使用PI 控制系統穩定前提下，要求經PI 控制后的系統在重復控制下也是穩定的。

為了分析控制系統穩定性，令圖3a 系統中輸入信號及干擾為零，以干擾估計器中低通濾波器F(z)輸入輸出作為系統輸入輸出，可以將圖3c 所示EID 控制系統等效為圖5所示系統，圖中虛線框部分G(z)為

圖5 EID 等效控制系統Fig.5 The equivalent control system of EID

由圖5可以看出，EID 系統設計分為狀態觀測、低通濾波和狀態反饋三個部分。狀態反饋部分不會影響其他系統穩定性，可根據LMI 或最優控制等方法獨立設計。對于狀態觀測和低通濾波系統，根據小增益定理，在狀態觀測與低通濾波系統分別穩定前提下，整個系統穩定還需滿足系統傳遞函數的H∞范數小于1，即滿足

3.4 控制系統參數設計

控制器增益L的設計可以看作是輸出反饋H∞問題。對于低通濾波器F(s)，設定輸入和輸出分別為ω(t)、z(t)。那么，系統狀態空間表達式可以寫成

對于如圖5所示控制系統，G和F系統可以寫成如下形式

需要設計輸出反饋控制器u=Ly來保證式成立，可以得到增益L滿足

綜上所述，控制系統設計步驟如下：

（1）設計系統反饋增益KP和KR。

（2）低通濾波器F(s)需要滿足如下式子成立

式中，ωmax為非周期干擾角頻率的最大值。

（3）設計觀測器增益L，保證G(s)系統穩定。

（4）調整控制器參數至系統滿足控制要求為止。針對圖3所示控制系統，根據最優控制設計方法，對系統反饋增益KR、KP進行設計。構建控制系統小信號數學模型為

取線性二次型（Linear Quadratic,LQ）性能指標

得到

針對式（1）所示系統的對偶系統，有

給出性能指標

通過調整ρ的取值，使得式（13）成立，取ρ=107，得到

4 仿真和實驗驗證

為了驗證所設計SAPF 控制性能，以Matlab 軟件和三電平實驗平臺為依托，建立SAPF 控制系統仿真及實驗模型。實驗系統如圖6所示。

圖6 三電平SAPF 控制系統結構圖Fig.6 Three-level SAPF control system structure

三電平SAPF 檢測電網三相電流、電壓及其同源變量，無需坐標變換，經CPT 檢測出諧波電流指令，送入控制器中，經EID 控制器濾除干擾后，由三電平SVPWM 調制出開關控制信號，控制三電平SAPF 產生補償電流，抵消電網電流中諧波分量。圖6中諧波源為帶電阻負載三相不可控整流器。實驗參數見下表。

表 三電平SAPF 參數Tab. Parameters of the three-level SAPF

4.1 間諧波檢測效果

利用Matlab 對圖6搭建系統進行驗證，首先驗證系統對電網間諧波檢測效果，以基于瞬時無功功率理論的ip-iq檢測方法作為對比，檢測波形基波為50Hz，系統在0.08s時加入頻率分別為80Hz、250Hz諧波分量。仿真結果如圖7所示。

圖7 檢測波形比較Fig.7 Comparison waveforms of current

圖7a 波形分別為檢測波形ia，以及基于CPT理論和ip-iq理論檢測ia的基波分量。可以看出，在加入諧波前，基于CPT 理論檢測基波與ia波形重合，基于ip-iq理論檢測波形則有一定相位差，這主要是由瞬時功率檢測中的坐標變換引起的[25]。將檢測到的基波與ia相減，得到ia中諧波分量，如圖7b 所示。可以看出，由于檢測基波存在相位偏移等原因，造成最終ip-iq檢測諧波含量有放大現象。

4.2 諧波電流補償效果

利用Matlab 對圖6所示系統搭建仿真平臺，補償前電網電流波形如圖8a 所示，加入圖6所示SAPF補償后，電網電流波形如圖8b 所示。分別對加入EID 和未加入EID 控制的兩組系統進行仿真，將補償電流與檢測諧波指令電流相減，得到SAPF 誤差電流信號如圖8c 所示。可以看出加入EID 控制后，補償電流較指令電流誤差較小，說明加入EID 控制后，控制系統對指令跟蹤性能更好。

圖8 SAPF 諧波補償效果比較Fig.8 Comparison of SAPF harmonic compensation

圖9為以三電平實驗平臺為依托，利用Fluke電能質量分析儀對電網電流進行檢測，得到波形與頻譜，實驗參數見表。治理前，電網諧波源特征次諧波為5、7 次，同時含有1.5 次間諧波，電網電流波形、頻譜分別如圖9a、圖9b 所示。以重復和PI復合控制的SAPF 進行補償，間諧波和各次諧波分量有所減少，電網電流波形、頻譜分別如圖9c、圖9d 所示。采用如圖6所示SAPF 控制系統進行補償，得到電網電流波形、頻譜分別如圖9e、圖9f 所示。可以看出，本文所設計系統與單純采用重復和PI 復合控制相比，諧波治理效果更加明顯。

圖9 電網電流治理效果對比Fig.9 Comparison of grid current compensation effects

圖9e 所示為補償前后電網電流波形以及直流側電壓波形，可以看出，SAPF 對電網諧波補償動態性能較好，直流側電壓穩定，證明設計系統可靠。

5 結論

隨著新型電力電子設備在電網中應用，電網間諧波影響將會愈發嚴重。基于瞬時功率理論檢測方法存在相位延時、幅值放大等現象，本文以基于CPT功率理論方法對電網間諧波檢測，實驗證明其有效性。在重復和PI 復合控制基礎上，加入EID 干擾推測，提高SAPF 對間諧波控制及對干擾抑制性能，以Matlab 和三電平實驗平臺對控制系統進行仿真及實驗驗證，結果證明所設計系統在間諧波環境下可以對電網諧波有效治理，為間諧波環境下電網諧波治理提供思路。

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