電力系統的多重（維）鞍結分岔點及其特征分析

衣 濤 王承民 謝 寧 張 焰

（上海交通大學電氣工程系 上海 200240）

0 引言

研究非線性方程組解與參數關系的分岔理論已經被廣泛地應用于電力系統靜態電壓穩定分析中[1-5]。電力系統失去結構穩定性的一種典型情況是，隨著參數的變化，電力系統的穩定平衡點和不穩定平衡點相互重合，網絡方程的雅可比矩陣奇異，這時出現鞍結分岔點（Saddle-Node Bifurcation Point,SNBP）。

對電力系統鞍結分岔的研究主要是針對鞍結分岔點計算的，計算鞍結分岔點的算法主要有間接法和直接法。間接方法通過不斷變化參數，以形成P-V曲線來進行的，但在鞍結分岔點附近，由于雅可比矩陣趨于奇異，常規的潮流算法失效，出現病態現象。因此，鞍結分岔點的計算也常常與病態潮流算法[6]相結合。連續潮流法[7-9]通過預測、校正等環節追蹤潮流方程的平衡解流形，改善常規潮流算法的病態現象和收斂性，是近似確定鞍結分岔點的一種比較可靠的間接方法。直接法[10-12]根據臨界點處潮流雅可比矩陣奇異這一性質形成擴展的潮流方程，并用牛頓?拉夫遜法迭代求解，能夠求得較為精確的臨界點。此外，非線性規劃[13-15]方法則將臨界點條件轉化為優化負荷問題，并利用庫恩?圖克最優性條件進行求解。

目前對鞍結分岔點的研究主要是在單參數（或者二維參數[16,17]）變化、節點注入功率方向確定時進行的。但是，當參數在不同的節點注入功率方向上變化時，都可能達到鞍結分岔點，也就是說鞍結分岔點之間是有區別的；從另一個角度來說，參數變化導致雅可比矩陣奇異的零特征值不一定只有一個，零特征值的數量和出現的位置不同，所對應的鞍結分岔點應該是不同的。目前還沒有對鞍結分岔點進行深度識別。

隱函數定理是無限維系統分岔問題研究的重要工具[18,19]，表明平衡解隨參數變化曲線的存在性。平衡解曲線直觀地反映了分岔產生機理，如果能得到準確的平衡解曲線表達式，對分岔點的局部性態以及全局性態研究是至關重要的。但由于非線性問題的復雜性，往往難以獲得平衡解曲線的解析或者顯式表達式，大部分采取了數值計算和模擬的研究路線。重數是分岔點的基本屬性，當分岔發生時，有兩條光滑解曲線通過的分岔點被稱為簡單分岔點，也叫單重分岔點，有多于兩條光滑解曲線通過的分岔點被稱為多重分岔點[20,21]。相比較單重分岔點，多重分岔點有著更加嚴格的生成條件，也蘊含著更加深刻的內涵。

電力系統鞍結分岔問題的研究也面臨同樣困難。傳統的電力系統分析是以節點電壓方程為基礎的，采用的變量主要是節點電壓和節點注入功率，因為其簡單、實用且物理意義直觀等特點而被廣泛采用。但由于節點電壓之間的相互關聯性，很難得到平衡解曲線的顯式表達式，數值計算和模擬還不能全面、深刻地展現鞍結分岔點的特性。因此，存在如上所述的諸多問題，沒有對分岔點的重數以及多重鞍結分岔點展開深入研究，也不能進一步揭示鞍結分岔現象的本質。

正是在這種研究背景下，本文從支路電流?節點電壓狀態變量表示的電力網絡方程出發，通過形成平衡解曲線的顯式表達式，對電力系統鞍結分岔點進行節點特征描述；并在此基礎上，定義鞍結分岔點的重數（維數），并對多重（維）鞍結分岔點進行特征分析，提出多重（維）鞍結分岔點計算的降維求解算法。

1 電力系統平衡解曲線的顯式表達

在直角坐標系下，當忽略對地支路電導時，電力網絡可以描述為支路電流?節點電壓方程混合的形式，對于支路l有

式中，i,j=1,2,…,N為節點集合；l=1,2,…,L表示支路集合；分別為支路l電流的實部和虛部；ei，fi為節點i電壓的實部和虛部；Rij、Xij分別為支路l的電阻和電抗。對于節點i有

式中，Bl為支路l對地的1/2 電納；pi、qi為節點注入的有功和無功功率。分別表示節點注入電流的實部和虛部（不含對地支路電 流）；。由式（2）可得

即得到以支路電流為參數的節點電壓顯式表達式。

由式（3）可見，只有當

電力網絡方程有解存在。其物理意義是，當節點注入電流幅值分布在以圓點為圓心、為 半徑的圓外時，電力網絡方程有解存在。由此得到以電流變量表示的電力網絡方程解存在的條件。

由隱函數的定理可知，式（1）和式（3）所表示的電力網絡方程的解與節點電壓方程（2）是等價的。式（3）中的“±（m）”符號說明，電力網絡方程在每個節點上存在兩個解曲線的分支，一個是高壓解，一個是低壓解。

發電機節點通常是PV 節點，式（2）中的節點無功方程被下式所取代。

式中，Vi為節點i電壓的幅值。得到節點電壓的解析表達式為

PV 節點解存在的條件為

式（7）物理意義是，當節點注入電流幅值分布在以0 為圓心、pi/Vi為半徑的圓外時，電力網絡方程有解存在。

2 鞍結分岔的節點特征方程與重（維）數

當式（4）和式（7）的等號成立時，兩條解曲線重合相交，即產生鞍結分岔現象。假設電力網絡PQ 節點的數量為NL，PV 節點的數量為NG，平衡節點數量為NS，有NL+NG=N?NS。則鞍結分岔點產生的條件為

或

或

在此稱式（8）和式（9）為鞍結分岔的節點特征方程。由此可見，在任意一個節點上式（8）或式（9）成立時，都將產生鞍結分岔現象，即鞍結分岔點的產生對應電力網絡方程解存在的臨界條件。

在鞍結分岔點上，雅可比矩陣是奇異的，即存在零特征值。如果鞍結分岔的特征方程式（8）或式（9）只是在一個節點上成立，只有一對解曲線重合相交，此時所對應的鞍結分岔點為單重（一維）鞍結分岔點；當鞍結分岔的特征方程在多個節點上成立時，所對應的鞍結分岔點為多重（維）鞍結分岔點。即鞍結分岔點的重（維）數等于式（8）或者式（9）成立的節點個數。

3 多重（維）鞍結分岔點的特征分析

在鞍結分岔點上，雅可比矩陣存在零特征值，零特征值的個數與鞍結分岔點的重數有何關系？下面以PQ 節點為例進行分析。分別對式（1）和式（2）線性化，得

式中，ΔU為支路電壓偏差向量；ΔS為節點注入功率偏差向量；ΔI為支路電流偏差向量；ΔV為節點電壓偏差向量。J11是階數為2L× 2L的分塊對角矩陣，其對角元素為J12是2N× 2L的支路?節點關聯矩陣的轉置；J21是2L× 2N的節點?支路關聯矩陣；J22是2N× 2N的對角陣，其對角元素為令ΔU=0，可得雅可比矩陣為

上述雅可比矩陣的結構和元素與傳統的節點電壓方程的雅可比矩陣是完全相同的，在此將其分為J22和兩部分，分別對應節點電壓方程和支路電流方程。對于部分，其對角線元素如下

式中，Gii、Bii表示節點導納矩陣的自導納（去除對地支路電納）部分。非對角線元素為

式中，E為單位對角矩陣；λ為特征值。因為矩陣的結構特點，將雅可比矩陣特征多項式 除i行外的所有行元素加到i行上，并且對行列式 進行分解消元，得

式中，Aii為消元后的行列式去掉第i行和第i列后的代數余子式。因為Aii≠ 0，所以λ=0。對于PV節點，也可以得到同樣的結論。這說明當鞍結分岔節點特征方程式（8）或式（9）在一個節點上成立時，所對應的單重（一維）鞍結分岔點存在一對零特征值。利用同樣的方法可以證明，對于n重（維）鞍結分岔點，雅可比矩陣有n對零特征值存在。

4 多重（維）鞍結分岔點的降維求解算法

因為鞍結分岔點所對應的雅可比矩陣奇異，使得基于牛頓法的潮流計算無法收斂。從上面的分析中可以看出，雅可比矩陣出現零特征值的根本原因是節點特征方程式（8）或者式（9）成立。為了計算多重（維）鞍結分岔點，可以以節點特征方程式代替相應的節點電壓方程，即采取降維的節點電壓方程進行求解。根據上述計算得到pi，則pi表示鞍結分岔點成立的參數條件，也是節點i的功率穩定邊界。

求解步驟：

（1）給定節點電壓V和支路電流I的初值。

（2）對于鞍結分岔節點i，式（2）節點電壓方程中除去節點i，形成降一維的方程組。

（3）支路電流式（1）中的節點i的電壓由式（10）或式（11）代替。

（4）聯立式（1）、式（2）、式（8）和式（9）按照式（13）形成雅可比矩陣，采用牛頓法進行迭代求解。

（5）根據計算結果求出pi，判斷節點穩定裕度。

雖然采用的計算模型是擴展的電力網絡方程，但計算過程仍然是形成雅可比矩陣后用牛頓法迭代求解，所以多維鞍結分岔點求解的難度較之以往并沒有增加。由于采用的是擴展的電力網絡方程，在計算過程中增加了計算量和存儲量，導致計算效率有所降低，但因為計算方法是降維求解算法，降低了雅可比矩陣的維數，所以此方法在一定程度上又提高了計算效率，尤其是在多維鞍結分岔點的求取過程中。

5 算例

以IEEE 14 節點為例進行計算，將節點1 與節點14 編號對調，節點14 為平衡節點，功率因數取0.9，假設節點5 為一維鞍結分岔點，表1 為采用本文所述方法計算得到的電壓、相角和功率結果。

表1 一維鞍結分岔點計算結果Tab.1 Calculation results of one-dimension saddle-node bifurcation point

表2 表示一維、二維和多維鞍結分岔分別計算后的對比結果，其中一維鞍結分岔點為節點5，二維為節點5、10，多維（5 維）為節點1、4、5、10、11。

表2 一維、二維與多維鞍結分岔點計算結果比較Tab.2 Results comparision between one-dimension,two-dimension and multi-dimension of saddle-node bifurcation point

從表2 可知，一維鞍結分岔點的電壓幅值低于二維鞍結分岔點電壓幅值，而二維又低于多維，這是因為當某一個節點達到一維鞍結分岔點時其他節點處在一個正常負荷水平，系統可以維持在一個更低的電壓水平而不崩潰。當發生多維鞍結分岔時系統多個節點都處于較高的負荷水平，系統電壓在達到一維鞍結分岔之前就已經達到極限了。在多維鞍結分岔節點中，節點1 電壓下降幅度最大，這和節點1 在系統中距離電源比較遠的情況是一致的。

各節點發生一維鞍結分岔時的功率穩定裕度要遠大于發生多維鞍結分岔的情況，也就表明多維鞍結分岔點是比一維鞍結分岔更臨近的穩定邊界。這主要是因為發生一維鞍結分岔時只是某一個節點的負荷有比較大的增長，其他節點負荷是不變的，而發生多維鞍結分岔時有多個節點的負荷都在增加，所以每一個節點的負荷穩定裕度自然就變小了。

對比電壓下降與負荷穩定裕度的關系可知，電壓的下降程度與負荷穩定裕度并不是成正比變化的，節點1 的電壓下降幅度最大，但它的負荷穩定裕度并不是最小的，這是因為負荷穩定裕度主要決定因素是節點當前負荷水平和分岔點的功率差值，當前負荷水平越高差值就越小，穩定裕度就越小，這也從另一個角度解釋了重負荷節點穩定問題更突出的原因。

從上述分析可以看出，多維鞍結分岔點的計算是從更大范圍來觀測節點的穩定裕度，對于系統的穩定性調整幫助更大。如果進行系統的穩定調整，應該首先調整像4、10 這樣的節點。

6 結論

本文通過對節點電壓高低壓解曲線的分析，提出了鞍結分岔點的特征方程。進而定義了一維和多維鞍結分岔點。通過仿真計算得到如下結論：

（1）本文提出的方法可以應用到鞍結分岔點的計算中，用于分析靜態電壓穩定性。

（2）一維和多維鞍結分岔點相比較而言，多維鞍結分岔點計算結果所反映的系統穩定信息更加豐富，所體現的系統穩定情況更接近實際。

（3）多維鞍結分岔計算結果能夠得到系統更臨近的穩定邊界，在更大范圍上觀測系統穩定情況，為系統穩定調整提供依據。

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