基于Carathéodory-Fejér插值定理考慮誤差界的負荷建模方法

唐秀明 袁榮湘 陳 君 彭小奇

（1.武漢大學電氣工程學院 武漢 430072 2.中南大學信息科學與工程學院 長沙 410083 3.湖南科技大學信息與電氣工程學院 湘潭 411201）

0 引言

負荷模型是電力系統安全穩定分析的基礎，在某些情況下改變負荷模型甚至會改變系統穩定分析的定性結論[1]。負荷與系統中其他元件相比，構成成分復雜，包括大量性能各異的用電設備，且運行中存在著隨機投切，這使得負荷建模難度很大，是電力系統領域公認的難題。因此，建立符合實際、考慮負荷隨機特性的動態負荷模型具有十分重要的現實意義。

隨著電力系統運行監測數據的豐富和系統辨識理論的發展，基于實測數據的負荷建模方法得到了專家學者的深入研究[2-5]。這些建模方法按模型的結構可以分為機理型[6,7]和非機理型[8-10]。機理型模型一般由靜態部分和動態感應電動機兩大部分構成，配電網絡可單獨考慮或間接在電動機模型參數中考慮。非機理模型包括常微分方程、傳遞函數、狀態空間等形式的線性動態模型和非線性動態模型。

測量的負荷數據中的噪聲會影響基于實測算法的模型參數的準確性。J.Yang 研究數據噪信比對辨識準確性的影響，當噪信比在0.2%～5%之間增加時，未進行噪聲濾波時算法模型輸出相對誤差明顯增加，進行濾波處理后算法模型輸出誤差值較小且增加幅度很小[11]。Y.G.Kim 使用離散小波算法對實測負荷擾動數據濾波，未說明濾波算法參數的適用性范圍[12]；文獻[13]將負荷數據中的噪聲視為高斯白噪聲，用低通濾波器濾除，但論文沒有詳細討論濾波器的參數。這些考慮實測數據中噪聲影響的文獻，一般假設噪聲為高斯白噪聲，即均值和方差已知的概率分布。實際中負荷動態建模的實測數據數量有限，難以滿足高斯白噪聲的假設，且相應的分布參數也很難確定[14]。Milanese M 等提出將模型的未建模高階部分及噪聲假設為未知但有界的[15]（Unknown-But-Bounded，UBB）。系統中，UBB 噪聲誤差界限通常比統計特性更易獲得，也更符合實際。

為了考慮實測數據中未知但有界的測量誤差及隨機擾動對負荷模型的影響，本文提出了基于Carathéodory-Fejér插值定理[16]（Carathéodory-Fejér Interpolation,CFI）的負荷建模方法。首先，將實測數據誤差和負荷隨機小幅擾動用未知但有界的非構造性誤差在負荷模型輸出端考慮對系統的影響；其次，根據哈代空間理論建立具有一定先驗參數的負荷模型集，把先驗參數和實測數據相容的條件轉化為線性矩陣不等式求解，得到滿足條件的解；最后，利用Nehari定理[17]和CFI定理構造出滿足不等式考慮UBB誤差的高階線性傳遞函數模型。該負荷建模方法對一定誤差界范圍內的系統動態響應都能準確擬合，適用于基于實測數據的負荷建模。為檢驗本文負荷建模方法的有效性，論文從兩方面對考慮誤差界的CFI插值模型進行仿真，一方面用數值計算仿真，結果表明當數據中加入幅度為0.5%～10%的UBB隨機干擾時，CFI插值算法模型輸出的方均根誤差值小于0.03，比最小二乘算法的方均根誤差值小，模型的擬合效果較好，在UBB隨機干擾誤差界估計不準確時，該建模方法仍能得到較好的模型輸出，當負荷構成比例改變時，在一定范圍內，對模型參數的影響不大。另一方面，用大擾動時實測的數據進行負荷建模，考慮實際系統數據中的隨機小干擾，模型仿真結果表明該CFI建模算法能準確擬合實際負荷動態特性。

1 哈代空間上的模型描述

哈代空間是單位圓盤上的解析函數空間，對于線性、時不變、因果及指數穩定的系統，可用哈代空間理論來分析。該理論廣泛應用于系統辨識，控制系統分析等方面[18,19]。

假設線性時不變系統傳遞函數相對穩定裕度下界為ρ?1，系統在指數衰減的正弦信號激勵下穩態增益上界為M，對于因果穩定系統，有ρ＞1，M＞0。令Dρ表示半徑為ρ的圓面，即C為所有復數構成的空間。記Dρ的補集為，即。根據哈代空間理論，相對穩定裕度下界為ρ?1的線性時不變系統的穩定性等價于該系統的離散傳遞函數H(z)在上解析。由于不是閉 合有界的，難以直接使用最大模定理[20]和CFI 定理，因而引入變換z=λ?1，則系統H(z)穩定變換為H(λ)在閉合有界的Dρ上解析。在哈代空間中這類因果穩定的傳遞函數集合定義為

考慮圖1所示線性時不變因果穩定系統模型，X為輸入數據，；Y為輸出數據，；N是數據長度；系統單位脈沖響應序列為，相應的傳遞函數為；系統的高階未建 模部分、測量誤差、負荷的隨機小擾動等不確定的 UBB 隨機干擾用輸出端的有界干擾表示，是幅值小于ε的干擾集合，其中ε＞0；則考慮干擾的系統非偽模型集為p(y)

圖1 考慮UBB 干擾的系統模型Fig.1 System model considering UBB disturbance

2 CFI 定理及在H∞,M(Dρ)函數空間的應用

2.1 CFI 定理

CFI 定理解決了給定范數約束條件下，在指定點函數取值為給定值的判斷條件和函數的參數化方 法[21]。給定N維向量，定義矩陣函數定義的矩陣Λp

半正定時，存在矩陣函數F(λ)滿足：①范數約束：F(λ)在是復平面上的單位圓面；②插值表達式F(λ)U(λ)=Y(λ)且F(λ)可由已知數據構造。

式（3）中，Tz(U,N,1)和Tz(Y,N,1)分別為由U=(u0u1…uN?1)和Y=(y0y1…yN?1)構成的下三角Toeplitz 陣

α=1時可簡記為的轉置，滿足范數約束條件和插值條件的函數F(λ)為

式中，Θ(λ)是在單位圓面D上解析且的 函數。矩陣函數F(λ)由已知矩陣Aπ、Aξ、B+、B?、C+、C?、S和Λp構造，矩陣之間需滿足的條件[22]

2.2 H∞,M(Dρ)函數空間CFI 定理的應用

由2.1 節內容知矩陣函數F(λ) ∈H∞,1(D1)，本文研究的對象電力負荷的傳遞函數屬于H∞,M(Dρ)函數空間，需得到當插值函數R(λ) ∈H∞,M(Dρ)時 CFI定理在H∞,M(Dρ)上需滿足的約束條件和插值函數。

引入變換λ→ρλ，利用CFI 定理可以證明[23]，當測量數據U、Y滿足Ωp≥ 0時，存在傳遞函數R(λ) ∈H∞,M(Dρ)與測量數據相容。Ωp定義為

式中，W為對角陣，。插值函數

3 基于CFI 定理的負荷建模

3.1 UBB 噪聲與模型的相容性

據CFI 定理，當負荷測量數據和模型UBB 誤差界Δ滿足式（7）的約束條件時，才存在插值函數R(λ)與已知相容。對矩陣X，當M2I?XXT≥0時，有，則式（7）的不等式約束條件轉化為

由Schur 補定理[24]，式（10）等價于線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）

式（11）經過變換，可表達為關于決策向量Δ=(δ1,δ2,… ,δN)的LMI

式中

L是N N×維矩陣，決策向量Δ還需同時滿足誤差界 的不等式約束。此LMI 是關于特征 值最值的問題，即在一個線性矩陣不等式約束下，求矩陣的最大特征值的最小化問題。該問題的一般形式為

設解為Δ?，若對應的λ?＜0，則當擾動幅度在誤差界內時，可以構造插值傳遞函數滿足測量輸入輸出數據關系。將Δ?構成的toeplitz 矩陣Tz(Δ?,N,ρ)>代入Ωp中的Tz(Δ,N,ρ)，得到所求的系統傳遞函數hid

式中

3.2 算法具體步驟

基于CFI 定理的算法具體步驟如下：

（2）若0λ?≥ ，則先驗信息與測量數據不相容，增大誤差界值ε，轉入步驟（1）（當0λ?=時為臨界情況，滿足條件的傳遞函數唯一，也認為需增大誤差界值）；若0λ?＜ ，先驗信息與測量數據相容，轉入步驟（3）。

（3）根據?Δ，構造矩陣H和NC及函數，得到被辨識系統的名義模型

4 仿真分析

4.1 不同幅度UBB 干擾下CFI 建模方法的輸出

為了更全面方便地驗證考慮未知但有界干擾的CFI建模方法，此處采用系統參數辨識研究常用的辦法，即用精確模型（Accurate Model，AM）計算值代替實時采樣值，通過對AM計算值加入不同幅度的隨機干擾來研究CFI算法在UBB干擾下的魯棒性。

AM由40%的靜態ZIP負荷（其中恒阻抗負荷比例為30%，恒電流負荷為30%，恒功率負荷為40%）加60%的考慮機電暫態的一階感應電動機負荷構成，感應電動機參數采用國內常用的典型參數[25]。系統電壓故障擾動用ae?btcos(ct+d)+1函數模擬產 生，通過改變常數a、b、c、d的值可以模擬不同程度的故障擾動后電壓下跌并恢復的過程。由AM模型可以得到故障期間的電壓值及有功、無功響應。

為了探討CFI算法對數據中的UBB干擾的魯棒性，分別對AM數據加入干擾幅度為1%、5%、8%和10%的隨機干擾，用加入有界干擾的數據模擬實測負荷數據。定義方均根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）[25]

式中，N為采樣數；yAMi為AM模型的第i個采樣點數據；yCFIi為CFI算法模型第i個輸出數據。其中CFI建模過程中使用的是加入有界隨機干擾的數據。當RMSE接近0說明算法模型的輸出與真實模型輸出擬合程度高，反之RMSE越大說明擬合程度越低。

圖2為UBB 干擾幅度為5%時CFI 建模算法有功及無功輸出。從圖2可以看出，數據中有干擾時，本文的模型輸出響應曲線較光滑，不隨誤差界范圍內上下擾動的數據波動，且對超出誤差界范圍的大幅變化的故障動態過程擬合程度高。

圖2 UBB 干擾幅度為5%時CFI 算法和AM 算法輸出Fig.2 Output of CFI and AM with 5% UBB noise

表1 為不同幅度UBB 干擾下，CFI 建模算法根據干擾數據所建模型輸出與AM 無干擾真實模型輸出的方均根誤差值統計情況，同一干擾幅度進行20次仿真計算方均根誤差值，表中為20 次方均根誤差的平均值。由表中統計可知，當數據中有隨機干擾時，本建模方法模型輸出的方均根誤差值較小，擬合度較高；干擾幅度增加，方均根誤差均值增加，但當隨機干擾幅度達到10%時，方均根誤差均值仍能維持在3%以內，說明該CFI 建模方法的模型擬合準確度較高。

表1 不同幅度UBB 干擾下模型輸出的方均根誤差均值Tab.1 Mean of RMSE under different UBB noise

4.2 CFI 算法對噪聲界的魯棒性

負荷實測數據包含了測量設備準確度造成的誤差和負荷的隨機投切引起的波動，由于這些干擾精確的誤差界值是未知的，即 CFI 算法中設定的UBB 誤差界ε值可能大于或小于實際的干擾誤差幅度。本文就CFI 算法中誤差界值ε大小與實際干擾誤差幅度的不同大小關系進行了仿真分析。

表2 中，用AM 輸出疊加幅度為5%的隨機干擾模擬實際負荷的非構造性誤差，分別對CFI 算法中誤差界參數ε取不同值仿真計算。從表2 可知，當CFI 算法所取誤差界ε值與實際干擾幅度相差不大時，本文建模算法的模型輸出方均根誤差值小，模型擬合度高；圖3是表2 中的不同誤差界設定值下仿真的輸出曲線，可以直觀地看出輸出曲線差異較小。由此可知，即使對于測量數據中誤差界的估計值不準確，本建模方法的模型也能較好擬合負荷的動態輸出。

圖3 不同誤差界ε時CFI 算法和AM 算法輸出Fig.3 Output of CFI and AM with difference error boundaryε

表2 不同ε值時CFI 算法模型輸出方均根誤差Tab.2 RMSE of CFI with different error boundaryε

4.3 隨機干擾對CFI 與LMS 輸出的影響比較

最小二乘法（Least Square Method，LSM）是應用廣泛的辨識方法。對輸入-輸出系統，令u(kT)及y(kT)分別為系統的輸入及輸出采樣值，簡記為u(k)和y(k)，T為采樣周期，則該系統可用差分方程描述為

式中，aj、bj為待辨識的常系數；m、n為系統階次。辨識準則為系統輸出與測量值的方差最小。最小二乘法的差分方程模型與傳遞函數模型在本質上是相同的，其對應的傳遞函數形式為

式中，aj、bj與差分方程中相同。因此選擇LSM法與本文的方法比較，LSM的具體辨識方法見文獻[26]。辨識使用相同的AM數據，加入不同幅度的UBB干擾，計算LMS及CFI兩種不同方法的方均根誤差，研究干擾對算法輸出擬合的影響。

由表3中的數據可知，CFI模型輸出的方均根誤差與LSM算法相比小，即模型的輸出擬合較好。隨著隨機干擾幅度的增加，最小二乘法的方均根誤差值增大。這是因為只有當數據中的干擾為白色噪聲時，LSM辨識方法的無偏性、有效性和一致性等優良性質才能得到保證，而有限的負荷數據中隨機干擾難以滿足高斯白噪聲的統計規律。所以使用含有隨機噪聲的實測數據進行辨識時，LSM算法的輸出誤差受噪聲影響明顯。本文的CFI方法對干擾的假設僅為有界的，當擾動幅度在誤差界內時被視為噪聲。從表3的數據可知，本文算法對噪聲的干擾有較強的魯棒性。這說明在有限的數據下辨識時，本文對噪聲的有界假設更符合實際也能夠減少隨機干擾對建模的影響。

表3 不同幅度UBB 干擾CFI 和LSM 方法的 方均根誤差Tab.3 RMSE comparison of CFI and LSM

4.4 負荷構成變化對模型的影響

電力負荷中各類用電設備的比例、容量大小等受時間、天氣、運行方式等多種因素的影響。這些因素對負荷模型的影響主要體現在靜態ZIP 負荷各部分構成比例的變化和動態感應電動機負荷所占比例的變化[27,28]。

為研究本文建模方法在考慮負荷時變性時的性能，本文考慮了不同靜態ZIP負荷構成比例kz、ki、kp下CFI所建模型的差異及動態感應電動機負荷比例k_m改變時模型的變化。定義模型參數變化幅度，其中ia、ib分別是負荷構成變化前傳遞函數模型分母和分子的系數，具體見式（17），ia′、ib′分別是負荷構成變化后傳遞函數模型分母和分子的系數，maxαΔ、maxβΔ 表示系數變化的最大值。

修改精確模型中相應的參數，可得到負荷構成改變后的數據，以變化后的負荷數據進行建模，模型參數變化的情況見表4，參數的變化是與靜態ZIP負荷占40%（其中恒阻抗負荷比例kz=30%，恒電流負荷比例ki=30%，恒功率負荷比例kp=40%），動態感應電動機負荷占60%時的模型參數比較。保持靜態ZIP負荷比例不變，改變靜態動態負荷比例值k_m，當比例值變化為10%時，模型參數變化的最大值為0.019 9；靜態負荷構成改變時，假設靜動態負荷比例k_m不變，保持一種靜態負荷比例不變，其他兩種負荷比例改變，從表中可以看出，當靜態負荷構成比例改變為10%時，模型參數變化值最大為0.007 8。從參數的改變幅度可以看出，靜態負荷成分變化對模型參數的影響較小，動態感應電動機負荷比例對模型的參數影響較大，但當負荷時變性等因素造成的負荷構成成分變化在5%內時，可以看出負荷變化對模型參數的影響可以忽略，這是因為本文的建模算法已經考慮負荷的隨機干擾。當負荷比例變化達10%時，模型參數有變化，但本文CFI 建模方法得到的模型仍然能夠較準確地描述負荷的動態響應。

表4 負荷構成變化對模型參數的影響Tab.4 Effect on model parameters withdifferent load composition

4.5 電力系統實測數據的負荷建模

為進一步檢驗本文提出的CFI 辨識算法的實用性能，取某電網220kV 變電站大擾動實測的數據，經標幺化處理后用本文的方法進行負荷建模。考慮同步相量測量裝置的測量準確度為0.5%[29,30]，正常運行時負荷的隨機投切在短期內造成的有功及無功的波動幅度約為5%。CFI 方法對實測數據進行建模時的誤差界取ε=5%。

模型有功及無功輸出如圖4和圖5所示，可以看到本建模方法能較好地擬合實際負荷的動態響應。

圖4 實測及CFI 算法有功輸出Fig.4 CFI and measured active power output

圖5 實測及CFI 算法無功輸出Fig.5 CFI and measured reactive power output

5 結論

針對電力負荷實測數據中存在隨機小擾動及噪聲的問題，考慮到實測數據量有限的情況，假設擾動及噪聲是未知分布但有界的噪聲。本文提出了考慮噪聲誤差界的CFI 插值算法。將模型和測量數據相容性問題用LMI 求解，得到在最不利情況下的解并據此構造負荷的高階傳遞函數模型，當噪聲幅度在誤差界范圍內，該模型能描述負荷的動態響應。仿真結果表明，實測負荷數據存在有界隨機擾動時，CFI 算法對誤差界估計值ε的準確性要求不高，算法的估計值在實際誤差界值上下浮動時，該算法模型輸出仍能較好擬合輸出；和LSM 方法相比，CFI算法的輸出方均根誤差明顯優于LSM 法，與噪聲分布函數無關；當負荷構成比例在一定范圍內發生改變，原建模模型仍能較準確地描述負荷的動態響應；采用變電站實測的數據進行建模的結果表明本算法具有實用性。

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