淺談高數(shù)中的極限思想

摘要：極限是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，本文主要介紹了極限概念和教學(xué)中如何把握極限思想的傳遞，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1671-864X（2015）03-0101-01

極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，高等數(shù)學(xué)就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限思想在我國古代就出現(xiàn)了，例如春秋戰(zhàn)國時(shí)期，這個(gè)時(shí)期思想特別活躍，墨子提出過不少有深刻思想的命題，其中就有“莫不容尺，無窮也。”就是說，用尺永遠(yuǎn)量不盡的量叫做“無窮”。莊子也提出了：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

古希臘也是學(xué)術(shù)思想特別活躍的時(shí)期。詭辯派代表人物芝諾，就提出一個(gè)悖論“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”。阿基里斯是古希臘奧運(yùn)會長跑冠軍，怎么會追不上烏龜呢？豈非荒謬！阿基里斯這樣解釋的，假設(shè)最開始，烏龜在阿基里斯前100米的位置，阿基里斯每分鐘走10米，烏龜走1米，這種情況下其就永遠(yuǎn)不會追上烏龜，最主要的原因是當(dāng)其走完了100米的時(shí)候，烏龜已經(jīng)向前走了10米，而其向前再走10米，烏龜也向前走1米，當(dāng)其向前走1米的時(shí)候，烏龜則向前走0.1米，其向前走0.1米，烏龜則向前走0.01米，如此循環(huán)，阿基里斯永遠(yuǎn)也不會追上烏龜。通過這一例子可以看出，阿基里斯和無軌之間的距離越來越小，其追上烏龜一次的終點(diǎn)所消耗的時(shí)間則越來越短，但是無論如何不能夠完全追上烏龜，與其之間總是存在著一定的距離，保持著一種無限接近的狀態(tài)，這就是極限思想的射影。

課堂中，如何給學(xué)生傳遞極限的思想，這是一個(gè)難點(diǎn)，首先，對于所有微積分理論的初學(xué)者來講，極限是既簡單又存在一定困惑的問題，必須要對其進(jìn)行深入分析。所謂極限，就是用來描述變量在一定變化過程中的終極狀態(tài)的量，在這個(gè)過程中，自變量在不斷變化，變量則會無限的接近一個(gè)確定的數(shù)值，而這個(gè)數(shù)值則被稱為此變化過程中的極限。

書中給出這樣的理論概念：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 0的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小),總存在著正數(shù),使得當(dāng)x滿足不等式0< x? x 0< δ時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式f(x)? A< ε ,那么常數(shù)A就叫函數(shù)f(x)當(dāng)x→ x 0時(shí)的極限,記作 xli

→m xf (x)= A 或f(x)→ A（當(dāng)x→ x 0）。

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設(shè)函數(shù)在點(diǎn)課堂中應(yīng)該主要講解三點(diǎn)：1.在x 0處不一定要有定義，只要當(dāng)x→ x 0時(shí)，有相應(yīng)的函數(shù)值存在。2.存在一確定常量A 是f(x)以A為極限的條件。極限就是在函數(shù)變化過程中始終不能夠超越而只能接近的度。3.如果對任意給定的正數(shù)總存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)x在滿足不等式0< x? x 0< δ時(shí)，f(x)? A< ε恒成立。其中ε刻畫f(x)與常數(shù)A接近程度，δ刻畫x與x 0的接近程度，ε是任意給定的，δ是隨ε而確定的。當(dāng)x越來越靠近x 0時(shí)，ε越來越小，可以小到任意，或者說ε沒有盡頭，這樣才能體現(xiàn)f(x)無限接近于A的含義。另外x→ x 0漸變過程及f(x)→ A的漸變過程都是無限永不停止的過程，所以每一個(gè)x都還能想x 0靠近，但永遠(yuǎn)取不到x 0。同理f(x)若趨近與A，則只能越來越近，永遠(yuǎn)不可能到達(dá)A。

總之，極限思想是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在實(shí)際教學(xué)的過程中，老師能夠通過實(shí)例更多的去挖掘極限思想，并滲透在教學(xué)過程中，讓學(xué)生能夠更好的去感受這一數(shù)學(xué)思想，為其今后數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并更好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。