集合約束下的向量擬均衡問題

代乾文

（西華師范大學數學與信息學院，四川南充637009）

石鵬飛，何兆容，張焰杰

（成都理工大學管理科學學院，成都610059）

集合約束下的向量擬均衡問題

代乾文

（西華師范大學數學與信息學院，四川南充637009）

運用像空間分析研究更為一般的約束條件下的向量擬均衡問題（記為VQEP）的解，并且通過擬相對內部的概念定義擬相對弱向量擬均衡問題（記為qrw－VQEP），然后利用像的一種合理形式的擬內部和廣義拉格朗日函數的鞍點定理表示VQEP和qrw－VQEP的線性分離，最后得出VQEP和qrw－VQEP的拉格朗日型最優性條件。

向量擬均衡問題；線性分離；像空間分析；最優性條件；擬相對內部

引言

設W，Y，Z是Hausdorff局部凸向量空間，X?W且X是非空凸集。f：X×X→2Y，并且f（x，x）＝0對?x∈X都成立，G：X×X→2Z，C：X→2Y，｛C（x）：x∈X｝是Y中一族閉凸點錐，并且對于?x∈X都有qriC（x）≠?，并且D：X→2Z，｛D（x）：x∈X｝是Z中一族閉凸錐。

對于?x∈X，定義C0（x）＝C（x）＼｛0｝或qriC（x），并且定義K：X→2X為K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠?｝。

本文主要考慮的是更為一般的集合約束條件下的VQEP（qrw－VQEP）。

（i）VQEP：找到x∈K（x），使得

（ii）qrw－VQEP：找到x∈K（x），使得

如果G：X×X→Y，那么（1）式與（2）式將退化到參考文獻［1］的相應問題，即：K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝，有：

（~i）VQEP：找到x∈K（x），使得

（~ii）qr w－VQEP：找到x∈K（x），使得

像空間分析在研究向量變分不等式和向量優化問題中是一種很有效的工具。它最先運用于極值約束問題［2-3］。利用像空間的向量分離定理，Mastroeni［4］得到了一些相關的廣義性的結論，并且呈現了VQEP的解的向量鞍點優化條件。近來，越來越多的數學工作者在向量優化問題的研究中運用像空間分析，然而，當前像空間分析還較少用于向量擬均衡問題尤其是具有無窮維的像情況。Li和Guu將像空間分析運用到VQEP（qrw－VQEP）［1］，并且研究了它的線性分離、鞍點定理以及解集的誤差界。本文將探索像空間分析用于更為一般的集合為約束條件下的VQEP（qrw－VQEP）的線性分離、鞍點定理及最優性條件。

1 預備知識

設Rl表示l維Euclidean空間，其中l是正整數。設W是Hausdorff局部凸拓撲向量空間，定義W*是W的對偶拓撲，對于非空子集P?W，若tP?P對于?t≥0均成立，稱P為錐。當P∩（－P）＝｛0｝，稱P為點錐。定義P的正極錐：

P*：＝｛x*∈W*：［x*，x］≥0，?x∈P｝，對于任意子集P?W且P＼｛0｝≠?，那么顯然可見P*＝（P＼｛0｝）*。

設M?W，則M的凸包、閉包、內部和相對內部分別定義為：conv M、cl M、int M和ri M。

設x∈M，則M在x處的正規錐定義為：

NM（x）：＝｛x*∈W*：［x*，y－x］≤0，?y∈M｝

定義在M上的支撐函數：

定義1［5］設M?W，W是Hausdorff局部凸向量拓撲空間。

（1）如果clcone（M－x）＝W或者NM（x）＝｛0｝，則稱x∈M是M的擬內部點，記為x∈qi M。

（2）如果clcone（M－x）是W的子空間，或者NM（x）是W*的子空間，則稱x∈M是M的擬相對內部，記為qri M。

對于任何凸集M，有qi M?qri M，若int M≠?，則有int M＝qri M［5］和int M＝qi M［6］，此外，qri｛x｝＝｛x｝，?x∈W，若qi M≠?，則qi M＝qri M［7-8］。若W是有限維空間，則qi M＝int M［8］，qri M＝ri M［5］。

引理1設M?W，W是Hausdorff局部凸向量拓撲空間，qri M≠?，則有：

■qri（tM）＝t qri M，?t∈R。

■t qri M＋（1－t）M?qri M，?t∈（0，1］，則qri M是凸集。

■clqri M＝cl M。

■如果M是凸錐，則qri M＋M＝qri M。

證明結論■，■，■，■參見文獻［1，5，7－9］。

引理2［5］設W是Hausdorff局部凸向量拓撲空間，M?W，M是閉凸錐，且cl（M－M）＝W，則x∈qri M?x∈qi M?［λ*，x］＞0，?λ*∈M*＼｛0｝。

引理3［1］設W是Hausdorff局部凸向量拓撲空間，設M是W的非空子集，且x0∈M，則有NM（x0）＝NconvM（x0）。

像空間分析在VQEP（qrw－VQEP）的一些性質：

當C0（x）＝C（x）＼｛0｝時，觀察x∈K（x）是（1）式的解時，當且僅當下式不成立：

C0（x）＝qri C（x）時，觀察x∈K（x）是（2）式的解時，當且僅當下式不成立：

定義映射：Ax：X→2Y×Z，

（1）當C0（x）＝C（x）＼｛0｝時，定義集合：

（2）當C0（x）＝qri C（x）時，定義集合：

集Kx稱為VQEP（或qrw－VQEP）的像，空間Y× Z稱為VQEP（或qrw－VQEP）的像空間，顯而易見它是無窮維。

性質1若（5）式不成立，那么當且僅當

若（6）式不成立，那么當且僅當

那么x∈K（x）是（1）式的解當且僅當（8）式成立。x∈K（x）是（2）式的解當且僅當（9）式成立。

性質2當C0（x）分別定義為C（x）＼｛0｝與qri C（x）時，有cl HC（x）＼｛0｝＝cl HqriC（x）。

證明因為C（x）是閉凸點錐，根據引理1的（Ⅲ），有clqri C（x）＝C（x），根據HC0（x）的定義有：

證畢。

由于一般情況下Kx非凸，通過cl HC0（x）介紹像Kx的一種合理形式εx：

性質3（1）若（5）式不成立或者（1）式成立時，當且僅當有如下關系成立：

（2）若（6）式不成立或者（2）式成立時，當且僅當有如下關系成立：

證明（1）因為C（x）是閉凸點錐，有cl（C（x）＼｛0｝）＝C（x），C（x）＼｛0｝＋C（x）＝C（x）＼｛0｝，所以有

根據

所以，如果（0，0）?Kx－HC（x）＼｛0｝?（0，0）?εx－HC（x）＼｛0｝，即有HC（x）＼｛0｝∩Kx＝??HC（x）＼｛0｝∩εx＝?。

（2）因為C（x）是閉凸點錐，根據引理1的（Ⅲ），有clqri C（x）＝C（x），又根據引理1的（Ⅳ），有qri C（x）＋C（x）＝qri C（x），所以有

根據

所以，如果（0，0）?Kx－HqriC（x）?（0，0）?εx－HqriC（x），即有HqriC（x）∩Kx＝??HqriC（x）∩εx＝?。

證畢。

為了表示εx的凸性，需要如下定義：

定義2設P?Y是一個閉凸錐，映射F：X→，如果映射h滿足關系式：

則稱映射F在凸集X上是P－凸的，稱映射F在凸集X上是P－似凸當且僅當F（X）＋P是凸集。

顯然，如果映射F在凸集X上是P－凸的，那么它在凸集X上是P－似凸的。

性質4設x∈X，那么集εx是凸集當且僅當在（7）式中映射－Ax在凸集X上是C（x）×D（x）似凸的。

證明參考文獻［1］可證。

2 線性分離和鞍點定理

定義3設x∈X，

（Ⅰ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且（α*，β*）≠（0，0），有

或者那么稱集HC0（x）和集Kx線性分離。

（Ⅱ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且α*≠0，有（13）式成立，稱集HC0（x）和集Kx正則線性分離。

（Ⅲ）如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且α*∈qri（C（x））*，有（13）式成立，稱集HC0（x）和集Kx強正則線性分離。

下面的分析將基于qri（C（x））*非空的情況下進行。

性質5設x∈X，則集合HC0（x）和集合Kx（正則，強正則）線性分離當且僅當集合HC0（x）和集合εx（正則，強正則）線性分離，即：如果存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）（α*≠0，α*∈qri（C（x））*），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，?（u，v）∈εx。

證明因為Kx：＝Ax（X）?εx：＝Ax（X）－（C（x））*×（D（x））*，設集合HC0（x）和集合Kx（正則，強正則）線性分離，即存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）（α*≠0，α*∈qri（C（x））*），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，?（u，v）∈Kx，那么

顯然等價于，

［α*，u］＋［β*，v］≤0，?（u，v）∈εx

定理1設x∈X，則集合HC0（x）和集合Kx線性分離當且僅當（0，0）?qiconvεx。

證明因為x∈K（x）和f（x，x）＝0，顯然（0，0）∈εx，那么（0，0）∈convεx。

必要性：假設集合HC0（x）和集合Kx線性分離，即存（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*（α*，β*）≠（0，0），有［α*，u］＋［β*，v］≤0，?（u，v）∈Kx，那么，則根據正規錐的定義有：（α*，β*）∈Nεx（0，0）。那么根據引理3，得到（α*，β*）∈Nconvεx（0，0），所以，（0，0）?qiconvεx。

充分性：假設（0，0）?qiconvεx，根據引理3得到（0，0）?qiεx，則有（α*，β*）∈Nεx（0，0）且（α*，β*）≠（0，0），那么，

在（14）式中令（c，d）：＝（0，0），將得到（13）式。

證明（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*。因為x∈K（x），有G（x，x）∩D（x）≠?。假設α*?（C（x））*，那么存在c0∈C（x）使得［α*，c0］＜0。又因為f（x，x）＝0，設~g∈G（x，x），那么在（15）式中令（y，c，d）：＝（x，c0，~g），將得到：

（16）式與假設矛盾，所以α*∈（C（x））*。又由于D（x）是閉凸錐，取任意~d∈D（x），在（15）式中令（y，c，d）：＝（x，0，~g＋~d），得到：

根據（17）式得到：β*∈（D（x））*。綜上所述：集合H0（x）和集合Kx線性分離。

證畢。

設x∈K（x），根據式（13）式考慮廣義拉格朗日函數：

定義4如果如下不等式成立：

則稱點

（x，α*，β*）∈X×（C（x））*×（D（x））*為L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*處的鞍點。

定理2設W＝Rn，Y＝Rm，Z＝Rs，X?W＝Rn。假設對?x∈X，y｜→G（x，y）在X上的－D（x）－凸的并且G（x，y）對于?x，y∈X是緊集，集合HC0（x）和集合Kx線性分離當且僅當存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且（α*，β*）≠（0，0）使得點（x，α*，β*）∈X×（C（x））*×（D（x））*為廣義拉格朗日函數L（x；y， α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*處的鞍點。

證明必要性：假設集合HC0（x）和集合Kx線性分離，存在（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，（α*，β*）≠（0，0），使得（13）式成立，即［α*，f（x，y）］＋δG（x，y）（β*）≤0，?y∈X成立。因為f（x，x）＝0，則在（13）式中令y：＝x得到：δG（x，x）（β*）≤0。又因為y∈K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠?｝，根據β*∈（D（x））*，則［β*，d］≥0，?d∈D，那么當y：＝x時，顯然G（x，x）∩D（x）≠?，則δG（x，x）（β*）≥0，所以得到δG（x，x）（β*）＝0。有：

此外，有：

綜上（x，α*，β*）是廣義拉格朗日函數L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×（D（x））*的鞍點。

充分性：設（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*且（α*，β*）≠（0，0），使得（x，α*，β*）為廣義拉格朗日函數L（x；y，α，β）在X×（C（x））*×D*的鞍點，即對?（y，α，β）∈X×（C（x））*×D*有

在（18）式中令β：＝0得到：δG（x，x）（β*）≤0。

x∈K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠?｝的證明與文獻［10］中證明類似。

假設G（x，y）∩D（x）＝?，有（G（x，y）－D（x））∩D（x）＝?，如果（G（x，y）－D（x））∩D（x）≠?，且D（x）是閉凸錐，那么存在ˉg∈G（x，y）和ˉd∈D（x）使得ˉg∈D（x）＋ˉd?D（x），顯然與G（x，y）∩D（x）＝?矛盾，因為G（x，y）是－D（x）－凸的，那么G（x，y）－D（x）是凸集，又因為G（x，y）是緊集的且D（x）是閉的，所以G（x，y）－D（x）是閉的，因為D（x）是閉凸錐，有

因為（G（x，y）－D（x））∩D（x）＝?，有

根據參考文獻［11］，存在分離超平面使得G（x，y）－D（x）與D（x）強分離，即存在a∈Rs且a≠0，有

假設a?（D（x））*，那么存在d0∈D（x）使得［a，d0］＜0，由于D（x）是閉凸錐，那么td0∈D（x）對?t＞0成立。顯然，當t→＋∞，t［a，d0］→－∞，與（19）式矛盾，既有a∈（D（x））*。

因為a∈（D（x））*，有mind∈D（x）［a，d］＝0，根據參考文獻［11］，有那么D（x），所以有

因為（D（x））*是錐，那么ta∈（D（x））*對?t＞0成立。又因為δG（x，y）（a）＜0，那么當t→＋∞時－δG（x，y）（ta）＝－tδG（x，y）（a）→＋∞，顯然與（18）式中第一個不等式矛盾，所以G（x，x）∩D（x）≠?，即有x∈K（x）。所以x∈K（x）時，δG（x，x）（β*）≥0，即得到δG（x，x）（β*）＝0，那么在（18）式得到

即集HC0（x）和集Kx線性分離。

證畢。

3 最優性條件

定理3設x∈X，假設intC（x）≠?，intD（x）≠?，并且在（7）式所定義的映射－Ax在X上是C（x）× D（x）－似凸。

（Ⅰ）當C0（x）＝C（x）＼｛0｝時，如果x是VQEP的一個解，那么集HC0（x）和集Kx線性分離。

（Ⅱ）當C0（x）＝qri C（x）時，如果x是qrw－VQEP的一個解，那么集HC0（x）和集Kx線性分離。

證明（Ⅰ）與（Ⅱ）的證明類似，在此證明（Ⅱ），（Ⅰ）可類似證明。因為x∈X且在（7）式所定義的映射－Ax在X上是C（x）×D（x）－似凸，所以根據性質4可得εx是凸集，用這個結論可證（Ⅱ）。

如果x是qrw－VQEP的一個解，那么x∈K（x），（0，0）∈εx，根據性質2有HqriC（x）∩εx＝?，因為int C（x）≠?，則有int C（x）＝qri C（x），那么HintC（x）＝HqriC（x），所以有HintC（x）∩εx＝?，因為int C（x）≠?，int D（x）≠?，有

int HqriC（x）＝int（qri C（x）×D（x））＝

intqri C（x）×int D（x）≠?

很顯然int HqriC（x）是凸集，因為int HqriC（x）?HintC（x），并且HintC（x）∩εx＝?，所以int HqriC（x）∩εx＝?。又由于εx與int HqriC（x）均是凸集，所以HqriC（x）與εx線性分離。

證畢。

定理4設x∈K（x）。

（Ⅰ）假設cl（C（x）－C（x））：＝Y。如果（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*∈qri（C（x））*，使得（13）式成立，即HC0（x）與Kx強正則線性分離，那么x是VQEP的一個解。

（Ⅱ）假設cl（C（x）－C（x））：＝Y。如果（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*≠0，使得（13）式成立，即HC0（x）與Kx正則線性分離，那么x是qrw－VQEP的一個解。

證明（Ⅰ）由于x∈K（x），假設x不是VQEP的解，那么對于y∈X，使得f（x，y）∈C0（x），并且G（x，y）∩D（x）≠?，因為D（x）是Hausdorff局部凸向量空間Z中的閉凸錐，有D（x）＝（（D（x））*）*，因為（α*，β*）∈（C（x））*×（D（x））*，且α*∈qri（C（x））*，根據引理2，有［α*，f（x，y）］≥0，所以［α*，f（x，y）］＋δG（x，y）（β*）＞0與（13）式矛盾，則x是VQEP的解。

（Ⅱ）的證明過程類似（Ⅰ）。

在所得結論中，如果G：X×X→Y，那么結論將退化到（3）式與（4）式的情形下的相關結論。

推論1若G：X×X→Y，那么有K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝。即本文結論退化到參考文獻［1］的相關線性分離、鞍點定理以及最優性條件的結論。

文獻［1］的研究是建立在G：X×X→Y，即K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∈D（x）｝的條件下，而本文是在更為一般的集合條件K（x）：＝｛y∈X：G（x，y）∩D（x）≠?｝下進行研究，進而將相關的線性分離、鞍點定理以及最優性條件的應用范圍擴大化。

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石鵬飛，何兆容，張焰杰

（成都理工大學管理科學學院，成都610059）

摘 要：為了更好地研究次亞緊空間及其他拓撲空間的覆蓋性質，在與幾乎基亞緊空間結合后定義了幾乎基次亞緊空間，研究了它的遺傳性，并獲得結果：（1）幾乎基次亞緊空間的閉子空間是幾乎基次亞

關鍵詞：閉子空間；次亞緊空間；－仿緊空間

Vector Quasi-equilibrium Problem s w ith Sets Constraints

DAIQianwen
（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong 637009，China）

The solutions of vector quasi-equilibrium problems（for short，VQEP）under general constraints conditions are studied byusing the image space analysis.The quasi relatively weak VQEP（for short，qrw-VQEP）are defined by introducing the notion of the quasi relative interior.Next，the linear separation for VQEP and qrw-VQEP are characterized by utilizing the quasi interior of a regularization of the image and the saddle points of generalized Lagrangian functions.Finally，the Lagrangian type optimality conditions for VQEP and qrw-VQEP are obtained.

vector quasi-equilibrium problems；linear separation；image space analysis；optimality conditions；quasi relative interior

O221

A

1673-1549（2015）01-0092-06

10．11863／j．suse．2015．01．22

O189.11文獻標志碼：A

編號：1673-1549（2015）01-0098-03 DOI：10．11863／j．suse．2015．01．23

2014-10-12

國家自然科學基金項目（11371015）；教育部科學技術重點項目（211163）；四川省青年科技基金項目（2012JQ0035）

代乾文（1989-），男，四川成都人，碩士生，主要從事優化理論及應用方面的研究，（E-mail）544486461＠qq.com

收稿日期：2014-10-25

基金項目：安徽省高等學校省級優秀青年人才基金項目（2010SQRL158）

石鵬飛（1990-），男，甘肅武都人，碩士生，主要從事拓撲學方面的研究，（E-mail）1160949117＠qq.com