范德蒙矩陣的病態性與擾動性算法研究

陳美玲等

摘 要：文章介紹和研究范德蒙矩陣的病態性并進行擾動性分析。將數值分析知識與Matlab軟件相結合，研究了3-20階的范德蒙矩陣的條件數隨階數增長，且增長越快導致矩陣病態性越嚴重，并進行了曲線擬合。以條件數為基礎，進一步對AX=b進行擾動分析，證實A和b的微小變動，對解的影響較大。最后對以范德蒙矩陣為系數矩陣的線性方程用雅克比迭代法進行收斂性分析，證實迭代矩陣的譜半徑都大于1，即迭代矩陣是發散的。研究矩陣擾動和病態算法在實際科學計算中有重要作用。

關鍵詞：范德蒙矩陣；條件數；擾動性分析；雅克比迭代；收斂性

1 范德蒙矩陣與相關概念介紹

范德蒙矩陣是法國數學家范德蒙提出的一種各列為幾何級數的矩陣[1]：

即得解向量的相對誤差與右端項的相對誤差、矩陣的條件數之間的關系。

2 范德蒙矩陣的病態性分析

（n為大于1的3-20階正整數），用Matlab求解其條件數[5]，探索范德蒙矩陣條件數，得到圖1：矩陣階數越大，條件數也越大，病態性越嚴重。進一步探索條件數與矩陣階數的關系，我們對條件數作了對數擬合[6]，擬合效果如圖2所示。

由此，對條件數增長率進一步分析，由Matlab作圖3可知，隨階數增加，增長率越大，當然最后19、20階增長率速度下降。

3 范德蒙矩陣擾動分析

對于線性方程組Ax=b，在實際科學測量時，對于系數矩陣A和常數向量b都有可能存在誤差，這些誤差稱為擾動。在科學實驗和工科測量時，系數矩陣或則常數矩陣的一些微小變化可能會導致數值解的很大差距，因此我們要分析這些測量值得變化對結果的影響以及如何影響結果的。現把這些擾動分為兩種情況分析，第一種情況：系數矩陣存在擾動，常數向量不存在擾動。第二種情況：系數矩陣不存在擾動，常數向量存在擾動。

4 雅克比迭代法收斂性分析

雅克比迭代法x（k+1）=Bx（k）+g適用于解大型的且系數陣為稀疏的方程組[4]，能減少運算次數，節約存儲。采用這種方法研究范德蒙矩陣A隨階數增大，矩陣的收斂性。求得迭代矩陣的譜半徑結果如圖4所示。

從上面程序可以看出Matlab的強大功能。僅僅只需要幾行簡單的代碼就能將枯燥乏味、冗雜抽象的數值計算問題輕易解決。不僅節約了時間，而且提高了效率，可見數值分析與Matlab相結合能促進科學計算問題得到更好地解決。

參考文獻

[1]杜先能，葉郁，殷曉斌，等.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]劉長河，劉世祥.范德蒙矩陣的三角分解[J].北京建筑工程學院學報，2005，21（1）：2-5.

[3]陸全，任學明.一類廣義范德蒙矩陣求逆的快速算法[J].西安建筑科技大學學報，2004，36（3）：2-4.

[4]袁東錦.計算方法-數值分析[M].南京：南京師范大學出版社，2004.

[5]周國標，宋寶瑞，謝建利.數值計算[M].北京：高等教育出版社，2008.

[6]任玉杰.數值分析及其MATLAB實現[M].北京：高等教育出版社，2007.

[7]吝維軍.符號計算系統與數學實驗[M].長春：吉林科學技術出版社，2005.