Banach空間算子加權群逆的擾動與計算

胡春梅

摘 要 研究算子加權群逆的擾動。利用加權群逆的性質，從兩個不同的角度給出了擾動算子加權群逆存在的充要條件及表示，同時得到了相應的擾動界。

關鍵詞 算子 加權群逆 擾動 充要條件 表示

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.06.026

Disturbance and Calculation of Weighted Banach

Space Operators Group Inverse

HU Chunmei

（Department of Mathematics and Computer， Lijiang Teachers College， Lijiang， Yunnan 674100）

Abstract Study Operator weighted group inverse perturbation. Weighted group inverse of nature， from two different angles give the necessary and sufficient conditions for weighted group inverse perturbation operator presence and representation， at the same time get the corresponding perturbation bounds.

Key words operator; weighted group inverse; disturbance; necessary and sufficient condition; representation

1 引言及引理

岑建苗教授在文[1]中討論了長方矩陣加權群逆存在的充要條件及其計算公式，推廣了有關方陣的群逆的一些結果。這些理論在線性微分方程組、人口增長模型和最優控制等方面有著重要的應用。

2008年，陳永林教授在文[6]中給出了長方矩陣加權群逆存在的新的充要條件，并得到了加權群逆許多新的表示。作為對文[1]的補充，討論了Cline與Greville意義下的加權群逆存在的充要條件及表示。

2009年，盛興平和陳果良在文[7]中也對長方矩陣加權群逆作了一系列的研究。首先，討論了在解析擾動下，擾動矩陣的加權群逆可逆性及其表示，并得到了其相關的誤差估計界。其次，給出了在代數擾動下，擾動矩陣的加權群逆可逆性及其表示。最后，利用高斯消去法，得到了長方矩陣加權群逆的一種新的表示。這些結果極大地豐富了矩陣加權群逆理論，有力地推動了矩陣加權群逆理論的發展。

由于目前關于加權群逆所取得的結果主要是建立在有限維矩陣空間中，本文將有限維矩陣空間中的相關理論推廣到無限維的Banach空間中，對Banach空間中擾動算子加權群逆進行討論分析，并得到相應的結果。

下面給出本文需用到的符號、定義及引理。

設和為兩個任意可分的Banach空間，（，）是從到的有界線性算子的全體，（，）記為（）。對任一算子（，），（）、（）、（）、（） 和|| ?||分別表示的秩、指標、值域、零空間和范數。

定義1 設（，），（，）。稱滿足下列方程組的算子（，）

（1） = ;（2） = ;（3） =

為的加權群逆，記 = 。若存在，則必唯一。

引理1 設（），和為的閉子空間，且有 = ，為沿到的投影算子，則

（1） ?= （） ;

（2） ?= （） 。

引理2 設（）。若|| ?||<1，則算子1€？均可逆，且|||| ≤。

引理3 設（，），（，），則存在，有：

（1）（） = （） = （） = （）

（） = （） = （） = （）

（2）和存在，且

（） = （） = （） = （） = （）

（3） = ?= ?= ?=

（4） = ， ?=

（5）（）（） = ?（）（） =

引理4 設（，），（，），若（） = （） = 1， 則有：

（1）（） = ， （） =

（2）（） = ， （） =

（3）（） = （） =

（） = （）=

2 主要結果

定理1 設（，），（，），且存在，令 = ?+ ，若 = ， ?= 。則存在且

= ?=

證明：由引理3可知，（）（） = ?（）（） = 。又 = ， ?= ，則 = ， ?= ，從而有 = ， = 。再由引理3，即得

= ?=

定理2 設（，），（，），且存在，令 = ?+ ，若 = ， ?= 且||||<1，則

（1） =

（2）||||≤

（3）≤

證明：（1） 由定理1知，存在且 = 。又 = ， ?= ，則 = 。則由引理1，有 = ? = ，即（） = 0。同理可得（） = 0。

則

= ?+ ?+

= ?+endprint

=

（2） 由（1）式可得， = ，由||||<1，則由引理2，存在，且||||≤，則 = ，從而有

|||| = ||||

≤|||| ?||||≤

（3） 由（1）式，我們有

|||| = ||||

≤|||| ||||≤

從而≤≤。

定理3 設（，），（，），且存在，令 = ?+ ， ?= ?= ?= ?= 1，若||||<1， ||||<1，則

= ?= 的充要條件是

= ?=

= ?=

證明：由引理2可知， + ， ?+ 可逆。

充分性 ?由條件有

= ?+ ?+

= ?+

=

故 = ，則 = 。

同理有 = 。

必要性 由條件有 = （）， ?= （），則再由引理3和引理4知

= ?=

= ?= ?=

= ?=

= ?= ?=

= ?=

= ?= ?=

= ?=

= ?= ?=

定理4 設（，），（，），且存在，令 = ?+ ， ?= ?= ?= ?= 1 ， = ?= ， = ?= ，且||||<1，|| ? ||<1，則

（1）||||≤

（2）≤

證明：（1）由定理3可得， = ，由 || ? ||<1，則由引理2，存在，且||||≤，則

|||| = ||||

≤|||| ?||||≤

（2）由定理3，我們有

|||| = ||||

≤|||| ||||≤

從而

≤≤。

基金項目：云南省科技廳計劃項目（2013FD060）

參考文獻

[1] 岑建苗.關于長方矩陣的加權群逆的存在性[J].計算數學，2007.29（1）.

[2] DJORDJEVIC D.S.，VLADIMIRI RAKOCEVIC。Lectures on generalized inverse[M]. Faculty of Sciences and Mathematics：University of NiS，2008.

[3] Cline r e，Greville T N E. A Drazin inverse for rectangular matrices[J].Linear Algebra Appl，1980（29）.

[4] 楊凱凡，杜鴻科.擾動算子的Drazin可逆性及其Drazin逆的表示[J].數學學報，2010.53（6）.

[5] 陳永林.長方矩陣的加權群逆的存在條件與表示[J].南京師大學報（自然科學版），2008.31（3）.

[6] Sheng X P， Chen G L. The computation and perturbation analysis for weighted group inverse of rectangular matrices. J Appl Math Comput，2009（31）.endprint