也談多頻率激勵下穩態電路的最大功率傳輸問題

孫 盾,田社平,范承志

(1.浙江大學電氣工程學院,浙江杭州 310027;2.上海交通大學電子信息與電氣工程學院,上海 200240)

也談多頻率激勵下穩態電路的最大功率傳輸問題

孫 盾1,田社平2,范承志1

(1.浙江大學電氣工程學院,浙江杭州 310027;2.上海交通大學電子信息與電氣工程學院,上海 200240)

正弦穩態電路最大功率傳輸問題是電路理論課程的重要教學內容。該文以包含2個正弦激勵的非正弦周期穩態電路為例,討論多頻率激勵下穩態電路最大功率傳輸問題。非正弦周期穩態電路平均功率等于直流分量和各次諧波分量分別產生的平均功率之和,因此,非正弦周期穩態電路的負載所獲得的功率至多等于電源各諧波分量單獨作用時負載所獲得的最大功率之和。

最大功率傳輸;多頻率激勵;穩態電路

[1]《多頻率電源下的最大功率傳輸問題研究》一文(以下簡稱“研究文章”),討論了多頻率激勵作用情況下穩態電路的最大功率傳輸問題,但該文所附測量結果(見“研究文章”中表1和表2)有明顯差錯。誠然,最大功率傳輸是電能及信號傳輸中必須考慮的重要問題,也是“電路理論”教學的重點內容[2-4]。對于正弦穩態電路,在負載阻抗可以無約束調節的情況下,可以通過調節負載阻抗與正弦電源的內阻抗(或含源線性一端口網絡的輸出阻抗)達到共軛匹配,實現負載從電源獲得最大平均功率的要求,當實際應用中的負載阻抗不可調節時,需要通過阻抗變換的方式來實現前述的共軛匹配條件[5-8]。當激勵源為多頻率分量時,在什么條件下,負載可以獲得最大功率,是一個值得探討的問題。多頻率激勵同時作用情況下,即便負載可以自由變化,負載獲得最大功率條件的解析表達式很難推導出來,更不用說負載固定需要通過雙口網絡變換阻抗的情況了。

下面針對“研究文章”中存在的問題作一討論。希望通過討論切磋,引發大家共同思考。

1 激勵含兩種頻率分量f1＝0.159 Hz、f2＝0.318 Hz且負載為阻抗

“研究文章”經過分析,得出如下結論:如果負載阻抗同時滿足ZL(j1)＝(0.5－j0.5)Ω和ZL(j2)＝(0.8－j0.4)Ω,則負載將得到最大功率Pmax＝31.25 W。對于圖1電路,由于負載的拓撲規定為RC串聯網絡,一

圖1 負載為RC串聯阻抗的情況

圖1所示負載為可變阻抗的非正弦周期穩態電路(見“研究文章”圖2),其激勵為般來說,該網絡并不滿足上述結論中的條件,因而RC串聯負載不可能獲得最大功率。但是,在“研究文章”中表1中的12組測量數據中,居然有6組測量數據的最大功率超過31.25 W,這顯然是不可能的。

通過仿真分析發現,由于激勵的頻率很低,實際上功率表的讀數是不穩定的。我們利用PSPCIE仿真,仿真電路及仿真波形如圖2所示。從圖2可以發現,從第4秒開始(進入穩態),負載瞬時功率在約3～47 W之間呈周期變化。既然瞬時功率按周期性變化,其平均值應該是穩定的。仿真中瓦特表讀數不穩定的原因是由仿真軟件的算法所決定的。一般來說,仿真軟件的平均值算法是基于當前數據的總體平均,因此隨著仿真的進行,新的數據不斷加入,造成結果不斷波動。只要調小仿真步長,那么功率表的讀數大概在13 W左右波動,而不會超過14 W(見圖3)。實際上電阻RL在0.5～0.8Ω,容抗XC在0.5～0.4Ω而不是電容C在0.5～0.4Ω之間變化,所以圖3所示負載獲得功率遠沒有到達最大功率31.25 W,而是在13 W左右徘徊。

圖2 RL＝0.6Ω,CL＝0.5 F時R2吸收的瞬時功率Pspice仿真結果

圖3 RL＝0.6Ω,CL＝0.5F時R2吸收的平均功率Multisim仿真結果

2 激勵含兩種頻率分量f1＝159 Hz、f2＝318 Hz且負載為阻抗

為了避開平均功率仿真數據的不穩定因素,下面的討論將把多頻率激勵的基波和諧波頻率提高為原來的1 000倍。

圖4 頻率分量f1＝159 Hz、f2＝318 Hz時電路

類似地,當電源諧波分量u2(t)＝52cos(2 000t)單獨作用時,電源的等效阻抗及開路電壓相量經計算分別為

因此,負載可以得到的最大功率為P＝P1max＋P2max＝31.25 m W。

為了便于與“研究文章”比較,參照同樣的分析方法,當電阻RL在500～800Ω、容抗XC在500～400Ω、電容C在2～1.25μF之間變化時,選擇若干取值,利用Multisim仿真,得到負載獲得平均功率的讀數列于表1當中,仿真圖如圖5所示。

表1 不同容性負載取值時對應的功率

從表中數據可以清晰看出,負載上所獲得的功率不會超過分別獲得的最大功率之和,即31.25 m W。

圖5 RC變化時負載獲得功率的Multisim仿真結果

3 激勵含兩種頻率分量f1＝159 Hz、f2＝318 Hz且負載為電阻

針對圖4所示電路,但負載只能是純電阻(去掉CL)。利用疊加定理,僅當u1(t)＝10cos(1 000t)單獨作用時,電源的等效阻抗及開路電壓相量分別為

類似地,當電源諧波分量u2(t)＝5 2cos(2 000t)單獨作用時,電源的等效阻抗及開路電壓相量分別為

當電阻RL在500～400Ω之間變化時,選擇若干取值,利用Multisim仿真,得到負載獲得的平均功率的讀數見表2。

表2 不同阻抗負載取值時對應的功率

從表2中數據可以清晰看出,負載上所獲得的功率也沒有超過分別獲得的最大功率之和,即26.61 m W,當然肯定小于負載為阻抗情形下的31.25 mW。

4 進一步的討論

而當ω＝2 000 rad/s時,支路ad發生并聯諧振,負載阻抗為

因此,圖6所示電路能夠獲得最大功率Pmax＝31.25 m W,Multisim仿真結果與上述分析完全吻合。

圖6 阻抗負載獲得最大功率的電路

5 結論

在多頻率激勵下,負載獲取最大功率條件的解析表達式很難推導,其本質上是一個負載所獲得功率表達式的數學求極值問題。由最大功率傳輸定理可知,單一頻率而且當負載阻抗與電源等效阻抗互為共軛復數時,負載獲得最大功率;單一頻率而且當電阻負載與電源等效阻抗的模匹配時,負載獲得最大功率;對非正弦周期穩態電路,其平均功率等于直流分量和各次諧波分量分別產生的平均功率之和,因此,非正弦周期穩態電路的負載所獲得的功率至多等于電源各諧波分量單獨作用時負載所獲得的最大功率之和。

本文通過例子討論了非正弦穩態周期電路最大功率傳輸問題,限于篇幅,電源僅包含2個諧波分量。對于含有多個諧波分量電源激勵的情況,可作類似分析。本文的教學理念[10-12]討論可供從事電路理論教學的教師參考。

參考文獻(References)

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更 正

本刊2015年第1期第75頁汪濤老師原論文中沒有通信作者,是編輯過程中誤加,應去掉。

《實驗技術與管理》雜志編輯部 2015年第3月20日

On maximum power transfer of steady-state circuits under multi-frequency excitation

Sun Dun1,Tian Sheping2,Fan Chengzhi1
(1.College of Electrical Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China; 2.School of Electronic,Information and Electrical Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

It is an important lecture about the maximum power transfer in sinusoidal steady-state circuit.Taking two non-sinusoidal periodic steady-state circuits with sinusoidal excitation as an example,this paper has discussed the maximum power transfer problems.The conclusion is drawn that the maximum power of the non-sinusoidal periodic steady-state circuit is not greater than the sum of the corresponding maximum powers of the respective sinusoidal steady-state circuits.

maximum power transfer;multi-frequency excitation;steady-state circuit

TM133

A

1002-4956(2015)4-0062-04

2014-08-06

浙江省2013高等教育教學改革項目“電類系列課程體系結構建設與教學實踐”(jg201311);國家級電類基礎課程教學團隊建設項目(教育部,2010);2013浙江大學本科大類課程建設項目“電路與模擬電子技術”課程建設

孫盾(1966—),女,江西南昌,碩士,副教授,主要從事電工理論的教學與研究工作.

E-mail:sundun01＠163.com