壓縮感知理論在信息整合信號重構上的應用

林斌

摘 要 傳統的香農采樣定理決定了最終采樣得到的數據非常龐大，這給數據實時化傳輸帶來了挑戰。壓縮感知理論的指出可以用遠少于信號長度的測量值，通過重構算法來近似重構原始信號。本文主要探討了壓縮感知理論的三大步驟以及其在各領域中的應用。

關鍵詞 采樣定理；壓縮感知；信號稀疏；測量矩陣；重構算法

中圖分類號TP3 文獻標識碼 A 文章編號 1674-6708（2015）138-0083-01

早期，香農奈奎斯特（Shannon Nyquist）采樣理論是用于不失真地恢復信號。香農理論指出至少以信號最大頻率的2倍頻率進行采樣才能保證精確恢復原始信號。由香農理論得到的采樣數據將會是十分的龐大，將會造成很大的數據傳輸成本。有學者提出是否可以在采集數據的時候只采集重要的數據，即獲取采集數據的同時進行壓縮和采樣。壓縮感知理論提供了解決辦法。

1 壓縮感知

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）采樣理論[1-2]于2006年由Cand?s、Tao、Donoho等人提出。CS理論指出：一個信號若是可稀疏或可壓縮的，可以通過測量矩陣對該信號進行“感知測量”得到采樣數據，最后通過重構算法采樣信號進行重構，就可以近似地恢復原來的信號。下面開始介紹CS理論的三大步驟：信號稀疏、測量矩陣和信號重構。

1.1 信號稀疏

利用信號的稀疏性是CS理論應用的一個前提條件。假設有一信號為一維信號，將信號在一組正交變換基上展開得到：

（1）

其中：是信號的稀疏系數。從公式（1）可以理解為信號的稀疏化。一般，現實中的信號都可以找到一組正交變換基用來展開。假如此時只有個非零值（），則可以認為信號是稀疏或可壓縮的。在某些場合，前個數據對信號而言是相對重要的，后個數據是可以忽略的，在傳輸的時候是可以拋

棄的。

1.2 測量矩陣

在CS采樣理論中，測量矩陣的作用是用于數據采樣，是CS理論中感知測量數據中關鍵的一步。測量矩陣設計的好壞將會直接影響到后續數據重構的精度。

假設信號，利用一組測量矩陣（其中）對信號進行采樣，從而得到的個采樣數據。

整個采樣過程是一個降維過程，其可以用公式（2）

描述：

（2）

因為最終得到的采樣數據的維度，且不受信號帶寬影響，所以相對于傳統香農采樣理論而言，其采樣得到的數據容量要小的多。

測量矩陣必須滿足有限等距性質（Restricted Isometry Property，RIP），即公式（2）中對于任意k稀疏信號和常數，測量矩陣滿足[3]：

（3）

目前，測量矩陣主要有：確定性和隨機性測量矩陣。確定性測量矩陣有Toepltiz和循環矩陣；隨機性矩陣主要有高斯、貝努利矩陣等等。

1.3 信號重構

由于，公式（2）是一個欠定方程組，無法求出其具體解，如何求出具體解將是CS理論需要解決的問題。在滿足RIP條件下，可以利用范數優化方法求解的近似解或逼近解，即通過式（4）求解：

（4）

另外也可用使用范數代替范數，以解決式（4）存在的NP-hard問題：

（5）

CS重構算法的好壞決定了信號恢復的精度。目前主要的重構算法有正交匹配追蹤OMP算法、匹配追逐MP算法和基追蹤BP算法等等。

2 壓縮感知應用

CS理論自誕生以來，在光學、醫學和生物學等領域得到了蓬勃發展。CS理論具有采集數據小，同時具有很好保密性，近年來在軍事領域引起了關注。下面將介紹CS理論在不同領域中的應用。

1）光學領域。

單像素相機是CS理論應用于光學的一個很好的例子。其工作原理是：通過光敏二極管電極兩端的電壓變換記錄采集得到數據微鏡裝置（Digital Micromirror Device，DMD）陣列反射的測量值，然后經過模數轉換，當采集一定數量的數據之后，經過重構算法恢復得到原始圖像。

2）醫學領域。

在醫學領域，CS理論主要是用于核磁共振（Magnetic Resonance Imaging，MRI）成像領域。CS理論的應用可以在減少儀器測量時間的同時保證數據恢復精度并減少儀器對病人身體帶來的傷害。隨著計算機的處理速度大大加快，采用CS理論進行MRI成像，甚至可以達到實時成像。

3）物聯網。

當今，我們社會步入了物聯網時代，無線傳感網絡是其中關鍵的技術支撐。無線傳感器本身具有工作環境特殊，容易受到高溫、風沙、地震等等惡劣環境的影響，將容易導致數據丟失。CS理論將很好的解決數據丟失問題，這會是以后人們研究的一大熱點。

4）軍事領域。

目前信息化已經滲透到軍事領域，軍事戰爭對信息的實時性傳輸性提出了很高的要求。反映戰場形式最直觀的數據是各種語音、圖像等數據，但它們過于龐大，對實時傳輸造成了巨大的影響。而CS理論的提出將解決此類問題，一方面可以達到減少數據冗余，實現實時傳輸，另一方面也具有很好的保密性。

3 總結

本文介紹了壓縮感知的理論框架，探討了CS理論中三個關鍵步驟：信號稀疏、測量矩陣、信號重構。文章最后介紹了CS理論的實際應用的情況，作為一門新生的理論，在信號處理各領域中注入了新生的血液，給廣大研究者提供了廣闊的研究前景。

參考文獻

[1]David L.Donoho， Compressed sensing[J]. IEEE Transaction on Information Theory， 2006， 52（4）：1289-1306

[2]CANDES E. Compressive Sampling[A].Proceedings of the International Congress of Mathemati-cians[C]//Madrid，Panin，2006.33-1452.

[3] E.Candès， T.Tao. Decoding by linear programming[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2005，51（12）：4203-4215.