淺談類比在中學數學中的應用

董婭賢

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）12-0070-02

所謂類比就是某種類型的相似性。對象A與A*可類比，意味著它們有某方面的相同或相似（或概念相似，或結構相似，或性質相似，地位相似，作用相似，甚至形式相似等等）。類比也叫類比推理，如根據帶齒的草葉與帶齒的鐵皮結構相似，由前者能劃破手指，推出后者能割斷樹木；根據正常人體構造相似，由甲的某些癥狀反映某種疾病，以及使用某種藥物或方法可以治好的經驗，推知乙的相似癥狀也反映同一種疾病，使用同一種藥物或方法也能治好，等等，都是反映了類比推理的方法。在數學中，這種方法也是最常用、最有效的思維方法之一。

類比既是一種邏輯推理的方法，又是一種科學研究的方法，它是人們思考和處理問題的重要手段，是發明創造的一把金鑰匙。飛機的發明，潛艇的制造等等，都有賴于仿生學，而仿生學的主要研究方法之一便是類比法。在數學中，常常由問題條件的相似，去猜測結論的相似；由命題形式的相似，去猜測推理論證的相似。

一、類比法的原則

1.類比的兩個對象所具有的相似屬性要足夠多，這樣就使兩個對象在自然領域（屬同種系統）中的地位也較為接近，這樣去推測其他的屬性相似的可靠程度較高，更合理。

2.類比的兩個對象的相似屬性是本質的，相互關聯的，這種類比的可靠程度較高。

3.類比所根據的相似數學模型越精確，類比的可靠程度越高。因為只有在精確的數學模型之間作出類比，才能把其中相關的元素分別準確地對應起來，才能有效地作出新發現。

總之，類比的結果是猜測性的，不一定可靠。類比法是否成功，與知識是否豐富成正比。知識面越廣，知識越豐富，則在數學思考中用作類比的題材也越豐富，形成普遍命題的機會也越多。

二、方法的應用

數學中的類比的出發點，是數學對象之間的相似性。而相似對象又是多種多樣的，屬性之間又有這樣或那樣的關系，因而人們所應用的類比方法也就有不同的類型。

1.降維類比

在中學范圍內，降維類比通常是將三維空間（立體幾何問題）類比到二維空間（平面幾何問題），它們之間的元素可按下列對應方法構成類比對象：

直線……平面 平行四邊形……平行六面體

角……二面角 矩形……長方體

三角形……四面體 圓……球

例1 空間不共點的四個平面，任何兩個都相交且交線不平行，它們將空間分成多少部分？

解：類比到平面：平面上不共點的三條直線，任何兩條都相交，則它們把平面分成如下幾部分：1個有限區域（三角形的內部），6個無限區域，其中3個與三角形有一公共邊，另外3個與三角形有一個公共點。從而把平面分成1+3+3=7部分。由此可知，四個平面將空間分成如下幾部分：1個有限區域（四面體內部），其余都是無限區域，其中有4個與四面體共一個面，另有6個與四面體共一條棱，還有4個與四面體共一個頂點。因此它們被空間分成1+4+6+4=15個部分。

2.減元類比

當一個數學命題包含多個變元時，我們先去掉某些變元（但必須保持與原命題相似的結構），使問題得到簡化，而簡化了的問題的解決，常常是解決原來問題的先導。

例2 設a1，a2，…，an∈R，求證：a12+a22+…an2≥a1a2+a2a3+…ana1

分析：將變元減少到三個，得到類比題：a2+b2+c2≥ab+bc+ca其證明只需將三個同向不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca相加，類比到原題只需將n個同向不等式相加即得證。

（1）方法技巧的類比

在長期的解題實踐中，每個人都積累有豐富的經驗，即解題的方法與技巧。這些方法和技巧如果能巧妙地使用到合適的地方，將有很好的效果。

例3 解方程

此題用韋達定理比較簡單，可把原方程組等價變換為一元二次方程t2-7t+12=0解得其兩根為t1=3，t2=4。則原方程的解為，。

（2）結論的類比

在數學中有很多結論可用類比的方法擴展到其他分支和領域。如：

例4 設A、B、C為△ABC的三個內角。

求證：sin2A+sin2B+sin2C=4coscoscos

分析 這類問題一般是用和差化積的方法來證。如果注意聯想到結論：

“若A+B+C= ，則sin2A+sin2B+sin2C=4coscoscos類比此結論可有如下簡易解法：因為（ -2A）+（ -2B）+（ -2C）=

運用上述結論可得：

sin2A+sin2B+sin2C

=sin（ -2A）+sin（ -2B）+sin（ -2C）

=4coscoscos

=4sinAsinBsinC.

（3）思想方法上的類比

思想方法上的類比是一種高層次的類比，這將把我們帶入一種較高的思維境界。

例5 如a1a2，…，an均為小于1的正數，且b1，b2，…，bn是它們的一個新排列，那么所有形如（1-a1），（1-a2）b2，…，的數都不可能大于。

分析 這種一般性的問題，我們可類比使用特殊化方法探路。

當n=1時，（1-a1）a1=-a12+a1=-（a1-）2+≤

為使用這一結論，再考慮類比使用整體思維的方法。

將所有的式子相乘，得

0>（1-a1）b1（1-a2）b2…（1-an）a1（1-a2）a2…（1-an）an≤（）n

如（1-ai）ai>（i=1，2，…n），則（1-a1）b1（1-a2）b2…（1-an）bn>（）n

從而引出矛盾，結論得證。

三、類比法的局限性

我們知道，事物之間的同一性和差異性是類比方法的客觀基礎，因此類比的結果具有或然性，結論就不一定正確。類比推出的性質是共同性結果就正確，反之遇到差異性結果就錯誤。所以類比法不能作為數學的證明方法。在利用類比法解題時，要始終注意以下三點：

1.類比是一種比較，但比較不一定是類比，因而類比是一種特殊的比較。

2.要盡量從事物的本質上進行類比，不要被表面現象迷惑。否則，只抓住一點表面相似甚至假象就類比，那就會犯機械類比的錯誤。

3.類比是一種似真推理，由類比得出的結論不一定正確，它必須用實踐或演繹的方法加以證明。

（責任編輯 文 思）