有“變”才有“活”

徐秀嬌

摘 要 有效實施變式教學，不但能較好地培養學生的數學思維能力和應變能力，而且能夠有利于遏制“題海戰術”，提高復習效果，顯著提高數學成績，促進輕負擔高質量的素質教育的落實。本文結合初三數學復習實踐，探討了有效實施變式教學提高復習教學效果的問題。

關鍵詞 數學復習 輕負高質 變式教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）13-0071-03

分析近年來各地中考數學試卷，明顯發現比較側重考查學生的探究能力，增加了考查學生思維深度和廣度的題目。因此，在初中數學復習教學中應該從一些簡單的題目入手，設計一些題型多變的例題和習題，有效實施變式教學，提高學生辨別能力，有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，幫助學生將所學的知識融會貫通，提高數學思維能力，遏制“題海戰術”的弊端，提高復習效果，促進輕負高質的實現。

一、巧用變式，奠定雙基

1.語言變式，夯實基礎

教師在學生初步感知數學知識后，在復習這些數學知識時，需要引導學生對不同的數學語言表述方式進行熟練轉換，從而加深對數學知識的理解。例如在復習“等腰三角形三線合一”時，由于學生對定理所闡述的意義理解不深，在推理過程中常出現“張冠李戴”的現象。從本質上看實際上是學生對三種語匯互譯能力有欠缺導致的。我們可以進行如下數學語言變式教學：

教師將下面九條語言形態分別制成九張卡片，用磁鐵張貼在黑板上，拿取其中任意一張，請同學找出其它相應的兩張卡片。相對應的三種自然語言如下：

⑴在等腰三角形中，頂角在平分線垂直平分底邊。

⑵在等腰三角形中，底邊上的中線也是底邊上的高、頂角角平分線。

⑶在等腰三角形中，底邊上的高平分底邊和頂角。

其對應的三種圖像語言如下：

相對應的三種符號語言分別對應如下：

⑴在△ABC中，如果AB=AC，∠BAD=∠CAD，則有AD⊥BC，BD=CD；

⑵在△ABC中，如果AB=AC，BD=CD，則有∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；

⑶在△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC，則有BD=CD，∠BAD=∠CAD。

如此反復地練習，學生很快掌握了這條定理的三種語匯互譯，為今后類似問題的解決打下了基礎。教師應該注重指導學生將現實問題中的文字語言轉換成數學的文字語言，再將數學的文字語言轉換成數學的符號語言或圖形語言。這樣堅持進行“語言”變式教學，有利于學生練好數學語言的基本功，提高語言理解能力，進而有效培養學生分析問題和解決問題的能力。

2.巧用變式，自主建構

復習課中用直觀化的形式再現知識，那是一種復制式的復習，而適當的運用變式教學能夠激發學生的好奇心，用“新瓶”既裝“舊酒”，又調配“新酒”，充分調動學生的積極性，讓學生主動參與到“知識探究、自主構建”的過程中來。例如一位教師開設了一節“平行四邊形單元復習”匯報課。他做了如下的設計。

【畫一畫】有一天，劉紅同學不小心撕去了一張平行四邊形紙片，巧的是剛好從A、C兩個頂點撕開（如圖1所示）。你能幫她補全平行四邊形嗎？

問題剛一提出，許多學生就躍躍欲試，想表達自己的畫法。

方法1：過點A作BC的平行線AE，過點C作AB的平行線CF，交AE于點D，四邊形ABCD就是所要補全的平行四邊形。（原理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；

方法2：過點A作BC的平行線AE，并在AE上截取AD=BC，連接CD，四邊形ABCD就是所要補全的平行四邊形。（原理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

方法3：連接AC，取AC的中點O，連接BO，并延長到點D，使BO=DO，再分別連接AD、CD，四邊形ABCD就是所要補全的平行四邊形。（原理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；

方法4：分別以點A、 點C為圓心，以AB、BC為半徑畫弧，兩弧交于點D， 連接AD、 CD，四邊形ABCD就是所要補全的平行四邊形。（原理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）；……學生用不同的方法補全了平行四邊形，并完成了如下表格的填寫：

……

以問題為出發點，喚起學生對知識的回憶，把學生的注意力吸引到復習教學中去，讓學生主動參與到“知識探究、自主構建”的過程中來。問題情景喚起了學生對平行四邊形的判定方法的回憶，學生積極投入表格的填寫。通過填寫表格，學生對平行四邊形的性質與判定有了整體性的認識，在學生的頭腦中烙下了清晰的“儲藏圖表”，內化成為學生自己的知識結構，讓學生感覺到復習不再是知識點的羅列。這樣的變式教學復習，既使學生興趣盎然，又使學生借助表格把所學的零散知識系統化和條理化，進而有效幫助學生自主構建起自己的知識網絡，提高了復習課堂的教學效果。

二、變式解題，提煉方法

有些教師經常出現的誤區是：在復習課上傾向于多講復雜的、難度大的綜合題，而沒有深入引導學生自己去探究解題的方法，及時總結解題的規律，使得學生做了大量題目而數學思維并沒有提高多少，導致復習效果不盡如人意。教師應該精心選取比較典型的一題多解、一題多變和多題歸一的題目，組織學生分析討論，激發學生問題解決的興趣。通過變式解題，促進學生思維發散，加深對所學知識的理解，促進學生探究能力的提高和解題思路的拓展。

教學片段1：在“一元一次方程”復習設計實際問題：

我們學校準備組織七年級學生去實踐基地進行社會實踐，如果租用45座位的客車，則有15人沒有座位，如果租用同樣數量的60座位的客車，則除多出一輛外，其余的車恰好坐滿。

⑴問七年級共有學生多少人？

⑵已知用45座位的客車每日租金為每輛250元，60座位的客車每日租金為每輛300元，問租用哪種客車更合算？

分析：對于第⑴小題引導學生用兩種不同的方法來解決。方法一，設有x輛車，那就可以用兩個不同的式子來表示七年級學生人數，抓住人數不變列方程。方法二，設七年級有學生x人，那就可以用兩個不同的式子來表示車的輛數，抓住車輛數不變列方程。

解決實際問題是學生普遍感到困難的地方，主要原因在于不能尋找出相關的數量關系，或者即使找到了有關數量關系，也不知道每個數量關系到底能起到什么作用。教師應該根據班級學生的學習實際，選取緊密貼近生活而又比較典型的實際問題進行問題解決教學，有效引導學生進行分析討論、發現與歸納，自主建構起“表示同一個量的兩個式子相等”這樣一個能普遍解決實際問題的等量關系。這樣的變式教學過程能夠有效引導學生進行“一題多解”，深刻感悟數學學習方法，從中提煉出常用的數學思想方法，既激發了學生學習的積極性，又提高了復習效率，何樂而不為呢？

教學片段2：“概率”復習課

例1.甲口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中裝有3個相同的小球，它們分別寫有字母C、D和E；丙口袋中裝有2個相同的小球，它們分別寫有字母H和I，從3個口袋中各隨機地取出1個小球。

（1）取出的3個小球上，恰好有1個元音字母的概率是多少？

（2）取出的3個小球上全是輔音字母的概率是多少？

分析：這個問題中有3個獨立的條件，即甲、乙和丙三個口袋，將每個口袋中的小球2個、3個、2個分別看成各個元素。從3個口袋中各隨機地取出1個小球。可用下面的樹形圖表示：

根據樹形圖可以看出，所有可能出現的結果是12個，這些結果出現的可能性相等。

⑴只有一個元音字母（記為事件A）的結果有5個，所以P（A）=；

⑵全是輔音字母（記為事件B）的結果有2個，所以P（B）==。

例2.甲、乙、丙三人打乒乓球。由哪兩人先打呢？他們決定用“石頭、剪刀、布”的游戲來決定，游戲時三人每次做“石頭” “剪刀”“布”三種手勢中的一種，規定“石頭” 勝“剪刀”， “剪刀”勝“布”， “布”勝“石頭”。問一次比賽能淘汰一人的概率是多少？

分析：此題中的甲、乙、丙三人相當于例1中的甲、乙、丙三個口袋，每人每次可做“石頭、剪刀、布”， 相當于例1中每個口袋都放3個標號不同的球。

例3.經過某十字路口的汽車，它可能繼續直行，也可能向左或向右轉，如果這三種可能性大小相同，當有三輛汽車經過這個十字路口時，求下列事件的概率：

（1）三輛車全部繼續直行； （2）兩輛車向右轉，一輛車向左轉； （3）至少有兩輛車向左轉。

分析：這個問題中的三輛汽車相當于例1中的甲、乙、丙三個口袋，每輛汽車都有直行，左轉或右轉3種可能，相當于例1中每個口袋都放3個標號不同的球。

例4.在課外活動時間，小王、小麗、小華做“互相踢踺子”游戲，踺子從一人傳到另一人就記為踢一次。

⑴若從小麗開始，經過兩次踢踺后，踺子踢到小華處的概率是多少？（用樹狀圖說明）

⑵若經過三次踢踺后，踺子踢到小王處的可能性最小，應確定從誰開始踢，并說明理由。

分析：這個問題中的小王、小麗、小華3人，相當于例1中的甲、乙、丙三個口袋，每個人都有把踺子踢到另外兩個人的可能，相當于例1中每個口袋都放2個標號不同的球。對于第⑵小題，要進行分類討論。

在“概率”的復習課中設計以上四個例子，說明若在一個問題中存在著幾個相互獨立的條件，在每個條件中都有幾個不同的元素，在這些獨立條件中各隨機抽取一個元素，求組成這些元素符合結論的概率，用樹形圖解決比較方便。在解題后通過反思和歸納還發現其實這四個例子可以歸一成一題， 這一過程引導學生感悟“多題歸一”的數學學習方法，從中提煉數學思想方法，就能“以不變應萬變“，使學生的解題能力得到真正的提升，這也有助于復習效率的提高。

三、緊扣考綱，突出重點

問題變式要圍繞教材重點、難點展開，防止脫離中心，主次不分，要與“主旋律”和諧一致。圍繞重點進行變式教學，可以避免平均使用力量，做到脈絡分明，達到帶動全局的預期目標。所選范例必須具有典型性：一要注意知識之間的橫向聯系；二要具有延伸性，可進行一題多變；三要注意思維的創造性和深刻性。

例如在“三角形”單元復習課中，三角形全等證明是一個重點，可以從下面的問題出發進行變式教學。已知：如圖，C為線段AB上的一點。△ACM、△CBN是等邊三角邊。求證：AN=BM。

大多數學生都能完成這道題的證明，但大多數學生完成了本題的證明后，就不再深入地思考還能得到其他別的結論。如果在原題的基礎上進一步設問：“根據現有圖形，你還可證哪些三角形是全等的？試寫出證明過程。”這樣，原命題就改變成為一道開放性問題.經過努力，多數學生還是能夠證得△ACF≌△BCG。在完成了這道開放性探索性問題后，學生既鍛煉了思維，又有了體驗成功的愉悅感受。

四、主動參與，體驗成功

問題變式教學中，要讓學生主動探索，教師不可包辦代替，在教師作出示范性變式時由學生尋求結論，不僅如此，教師還要留下“空白”，留下思維的空間與時間，讓學生自我嘗試變式，并通過學生之間的合作討論，真正突出學生的主體地位。例如在復習“多邊形的內角和”這節時，為了了解學生知識掌握情況，我試著讓學生自己編題進行小測驗，效果明顯。問題：圍繞n邊形內角和為180€？n-2），請每位同學自編自解三個習題。同學們積極踴躍得到如下許多習題。

編一：求十二邊形的內角和？

編二：求十邊形的外角和？

編三：已知一個多邊形的內角和是1080€埃蠖啾咝偽呤？

編四：已知一個多邊形的內角和是1000€埃蠖啾咝偽呤？無解）。

編五：已知一個多邊形，它的內角和等于外角和的兩倍，求這個多邊形邊數。

編題活動激發了學生學習的積極性，使得課堂具有濃厚的研究氛圍，學生自編題型覆蓋本節課所有知識點，還能夠引發出耐人尋味的新問題。

我們都知道：數學的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”。教師適時適度地實施變式教學，能夠給學生提供數學學習的橋梁，比較自然地引導學生從已知水平向未知水平過渡。有效的“變式”教學，能夠避免題海戰術的弊端，減少學生低水平的重復練習，從而有可能達到數學復習教學輕負高質的理想效果，并且能夠培養學生思維的廣闊性、深刻性和靈活性。當然，對概念、公式、定理的教學，特別是解題教學，實施變式教學效果顯著，但對原始概念和數學公理的教學不宜采用。并且變式教學在開始實施時會有一些困難，要在反復理解和運用中逐漸內化形成，絕不是一朝一夕可以完成的，教師需要循序漸進地推進。

參考文獻：

[1]楊象富，陳振宣.新課標初中數學解題方法全書[M].上海：上海遠東出版社，2005，（05）.

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[3]葉影華.運用數學變式訓練 提高課堂教學效率[J].新課程研究中旬刊，2010，（5）.

（責任編輯 曾 卉）