GM(1，1)模型在數控磨床可靠性預測中的應用* ＊

范晉偉 周中源 王澤立 苗 偉

(北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京100124)

數控磨床是復雜的集機、電、液于一體的高技術設備，是現代化產品加工生產的重要工具。然而，數控磨床在實際生產中經常發生故障停機，對企業的可持續生產產生嚴重影響，直接關系到企業的經濟效益。所以，磨床生產商為了增強自身的市場競爭力，對用戶磨床可靠性的預測提出了迫切的要求。

數控磨床可靠性預測的方法主要可以分為兩類:一類是基于實際經驗的預測方法，即由有經驗的專業人員在調查、采樣等工作的基礎上，結合當時的實際情況，做出預測;另一類方法是建立在歷史數據和經驗數據的基礎上，先建立相應的數學模型，然后利用數學模型進行預測。第1 種預測方法需要積累很多經驗，因此不容易學習，傳承性很差，而且預測的準確率比較低，預測過程沒有堅實的理論基礎，說服力比較差;而第2 種方法在預測數控磨床可靠性方面應用比較廣泛，預測準確率較高，而且預測過程以數學理論知識為基礎，說服力比較強［1］。本文在第2 類方法的基礎上提出運用灰色GM(1，1)模型對數控磨床的可靠性進行了科學預測，為磨床用戶提供可靠的預測結果。

1 灰色系統基本原理

1.1 灰色系統基本概念

灰色系統(gray system)是指信息不完全、不確定的系統，灰色問題(gray problem)是指結構、特征、參數信息不完備的問題［2］。

系統不完全是指:系統因素不完全明確;因素關系不完全清楚;系統結構不完全知道;系統的作用原理不完全明了。

1.2 灰色系統建模理論

模型是一個系統各種因素(變量)之間的數學關系。灰色系統理論建模的主要任務，是根據工程設計、社會、經濟等系統的行為特征數據，尋找因素之間或者因素本身的數學關系。現有的其他建模方法是用離散的數據建立一個按時間做逐段分析的模型，即遞推的離散模型。但是這種離散的數學模型有很大的局限性，因為這種方法建立起來的模型，只能表現出系統輸入與輸出之間的關系，而不能讓人們依據此模型把握系統的內部本質。因此人們希望能建立系統的微分方程，因為微分方程可以準確地把握要辨識的系統內部本質。但是微分方程模型可否建立及如何建立，用通常的方法難以給出確定的答案，灰色系統理論通過將任何隨機過程都看作是灰色過程，進而建立其近似的微分方程，即灰微分方程。灰色系統理論是利用數據間的關系，來尋找系統的運動規律，從而對灰色過程建立灰微分方程［3］。

GM 模型即灰色模型(gray model)，是用原始數列做一次累加生成后，利用累加數列建立灰色微分方程。由于系統被噪聲污染之后，原始數列呈現出離亂的情況，離亂的數列即灰色數列，或者灰色過程，灰色模型就是對灰色過程所建立的模型［4］。

設X(0)為非負準光滑序列，則X(0)一次累加生成序列X(1)具有準指數規律，這是灰色系統建模的理論基礎。一般的非負準光滑序列經過累加生成后，都會減少隨機性，呈現出近似的指數增長規律，原始序列越光滑，生成后指數規律也就越明顯。灰色建模是利用離散的時間序列建立1 個近似連續的微分模型，在這一過程中，利用累加手段生成函數，其生成函數是灰色建模、預測的基礎［5］。

2 灰色GM(1，1)模型

GM(1，1)是最常用的一種灰色模型［6］，是由1 個包含單變量的一階微分方程構成的模型。GM(1，1)模型的含義:其中G 代表灰色，M 表示模型，兩個1 分別表示一階微分方程和1 個變量。此模型的表達形式為:

式中:X(0)(t)為原始數據序列，X(0)t≥0，t=1，2，3，…，n;Z(1)(t)為由原始數據列生成的鄰均值數據列。

按照以下步驟建立GM(1，1)模型:

(1)利用原始數據生成數據序列

應用累加生成法對原始故障數據進行生成處理，通過累加體現灰色量積累過程的發展態勢，使離亂的原始數據的規律充分顯露出來，從而建立灰色預測模型。

設原始故障數據為:

式中:上標(0)表示原始數據列;n 表示數據個數。

設累加生成的新數據列為:

式中:上標(1)表示經過一次累加生成的數據。

(2)對X(0)進行光滑準指數檢驗

灰色模型是針對符合光滑離散函數的數據建立的預測模型，同時認定生成數列具有準指數規律，建立灰色預測模型時，首先要對數據進行光滑離散檢驗，然后再進行準指數檢驗，只有兩項都通過后才能建立灰色預測模型，否則采用其他方法進行預測。

對序列X(0)，光滑比ρ(t)=X(0)(t)，X(1)(t－1)，若ρ(t+1)，ρ(t)＜1，ρ(t)∈ [ 0，0.5 ]，則稱序列為光滑序列，只有該序列滿足了準光滑性的條件，才能建模進行預測。

對序列X(1)，級比σ(t)=X(1)(t) ，X(1)(t－1) ，若?t，σ(t)=∈ [a，b] ，b－a=δ，δ ＜0.5 ，則稱序列具有準指數規律。只有序列X(1)滿足準指數規律，才能進行建模預測。

(3)建立GM(1，1)模型的基本形式

對序列X(1)做緊鄰均值生成，得序列:

其中

將X(1)(t)擬合成一階線性微分方程X(0)(t)+aZ(1)(t)=b。

(4)模型的參數估計

按最小二乘法求得參數a、b 的估計值。若a^=(a，b)T為參數列，且

解方程X(0)(t)+aZ(1)(t)=b，求得GM(1，1)預測模型為:

求X(1)的模擬值

(5)模型精度檢驗

常用的檢驗模型精度的方法有殘差檢驗、關聯度檢驗、后驗差檢驗。這幾種方法都是通過對殘差的考察來判斷模型的精度。一般情況下常用相對誤差檢驗，也可以同時用這幾種方法檢驗。本文用平均相對誤差檢驗模型精度。

①計算殘差

①求相對誤差

相對誤差序列

③模擬精度檢驗表

根據表、將Δ－與相對誤差a 進行比較，確定模型精度。

表1 精度等級表

3 實例應用

根據某機床廠提供的同一型號數控磨床的故障數據，應用上述灰色預測模型，預測該型號磨床后續故障趨勢及下次故障時間，故障數據如表2 所示。

表2 數控磨床故障時間

(1)初步建立預測模型

此型號數控磨床整機故障原始時間序列為:

X(0)= (384，408，480，552，576，648，696，768，864，936，1 176，1 344)。

根據公式(3)作累加生成的新序列為:

X(1)=(384，792，1 272，1 824，2 400，3 048，3 744，4 512，5 376，6 312，7 488，8 832)，對故障序列X(0)作光滑性檢驗，根據上述光滑比計算公式，得計算結果為:

得到ρ(1)=1.06，ρ(2)=0.61，ρ(3)=0.43 ＜0.5，…，ρ(11)=0.18 ＜0.5，所以當t ＞2 時，序列X(0)滿足準光滑條件;

對故障序列X(1)作準指數規律檢驗，根據上述計算公式得到計算結果為:

σ(t)= (2.06，1. 61，1. 43，1. 32，1. 27，1. 23，1.21，1.19，1.17，1.19，1.18);

得到σ(2)=1.61，σ(3)=1.43∈ [ 1，1.5 ]，…，σ(11)=1.18∈[ 1，1.5 ]，所以當t ＞2 時，序列X(1)滿足準指數規律檢驗;

由上面兩點可知，數控磨床故障數據列滿足光滑性要求，下面對其建立GM(1，1)預測模型。

(2)建立GM(1，1)預測模型

①根據公式(6)，對X(1)作緊鄰均值生成得到序列為:

令

②參數估計

對參數進行最小二乘估計，得到下面估計結果:

③根據公式(7)確定模型時間響應式為:

④根據上式求得X(1)的模擬值為:

表3 模型檢驗

即X(0)(t)=353.72 ×e0.1164t，t =1，2，…，n。預測模型相應的函數曲線如圖1 所示。

此型號數控磨床在考核期內發生了12 次故障，根據故障預測模型函數可知，它可能在1 606.3 h 發生第13 次故障。

4 結語

運用灰色GM(1，1)模型預測對數控磨床原始故障數據進行處理，得到的序列具有較好的準光滑性，其累加生成序列也具有良好的準指數規律，有效地提高了預測的精確度和可靠度，較好地解決了統計樣本數據少、信息貧乏的難題。通過建立的故障預測模型成功地預測出了數控磨床下次故障時間，這樣就為維修人員提供了理論依據，他們可以及時對磨床進行檢查，發現潛在的故障予以解除，減少停機時間，為企業帶來生產效益。

［1］余香梅，羅良玲. 基于神經網絡的數控機床可靠性預測的研究與實現［J］. 現代機械，2007(2):50 －52.

［2］鄧聚龍. 灰色系統理論教程［M］. 武漢:華中理工大學出版社，1990.

［3］孫要偉.灰色神經網絡GNNM(1，1)批處理算法的收斂性［D］. 大連:大連理工大學，2009.

［4］鐘珞，饒文碧，鄒承明.人工神經網絡及其融合應用技術［M］.北京:科學出版社，2007:91 －92.

［5］王自力.航空可靠性工程技術與應用［M］. 北京:國防工業出版社，2009:299 －300.

［6］朱曉翠.基于灰色理論的數控機床可靠性及維修性分析技術［D］.長春:吉林大學，2013.