拋體運動軌跡的數值分析

郝亞非

（浙江師范大學數理與信息工程學院物理系 浙江 金華 321004）

1 目前大學物理教材對拋體運動問題的處理

拋體運動是大學物理課程中學習的一種典型運動.取水平向右作為Ox軸的正向，豎直向上作為Oy軸的正向.拋體在地球表面附近從坐標原點O以初速度v0沿與x軸正向成α角拋出.不考慮空氣阻力，根據牛頓第二定律，有

求解得到軌跡方程

這正是大學物理教材中給出的結果［1］.根據這個結果，很容易分析出初速度和拋射角對拋體水平射程和上升高度的影響.令y＝0可求得射程2sinαcosα時，射程最大.令0，得時拋體上升的最大高度為y＝時，上升高度最大.不考慮空氣阻力，拋體的運動軌跡不受質量的影響.

2 實際拋體運動的情況

實際拋體在運動過程中所受的空氣阻力對它的運動軌跡有著顯著的影響.文獻［2］中假設空氣對拋體的阻力與拋體的速度成正比.實際上，空氣阻力與速度的關系取決于速度的大小，需要分3種情況進行分析.

（1）第一種情況，空氣阻力與速度大小成正比，與速度方向相反，F＝－k1v.動力學方程可以寫作

求解得到軌跡方程為

（2）第二種情況，空氣阻力與速度大小的平方成正比，與速度的方向相反，F＝－k2vv，動力學方程可以寫作

（3）第三種情況，空氣阻力與速度大小的三次方成正比，與速度的方向相反，F＝－k3v2v.動力學方程可以寫作

后兩種情況的動力學方程為超越方程，無法直接得到解析解，但是可以用Matlab編程，數值求解得到拋體的運動軌跡.數值計算所需的參數不能任意選取，而需根據實際情況選取.

3 數值計算參數的選取和計算結果

考慮空氣阻力與速度大小的平方成正比、與速度方向相反的情況.數值計算的參數選取如下：取0.45英寸柯爾特自動手槍彈的彈頭參數，彈頭質量0.015kg，橫截面積1.03cm2，初速度大小 260 m／s.比例系數，其中ρ＝1.25kg／m3為空氣密度，S＝1.03cm2為迎風面積，v為彈頭速率，C為空氣阻力系數，可以取C＝0.3.彈頭在亞音速階段的空氣阻力系數可以看作常量［3］.計算得到阻力系數k2≈2×10－5kg／m.數值計算結果如圖1（a）所示，很顯然，拋射角越大，拋體上升的高度越大.水平射程與拋射角不成線性關系，拋射角約為35°時，水平射程最大，這和不考慮空氣阻力的情況不同.為了對比，圖1（b）給出了不考慮空氣阻力時拋體運動軌跡隨拋射角的變化關系.不考慮空氣阻力，拋體上升的高度和水平射程都比考慮空氣阻力時要大.圖1（c）給出了考慮空氣阻力時拋體運動軌跡隨拋體初速度的變化關系，其中彈頭的質量為0.015kg，拋射角均為35°.初速度越大，拋體上升高度越大，水平射程越大.圖1（d）給出了考慮空氣阻力時拋體運動軌跡隨拋體質量的變化，其中初速度為260m／s，拋射角為35°.拋體質量越大，上升高度就越大，水平射程也越大.

空氣阻力與速度大小的三次方成正比、與速度方向相反的情況.數值計算的參數選取如下：取0.3英寸卡賓槍彈的彈頭參數，彈頭質量0.007kg，初速度600m／s.比例系數k3的確定：假定彈頭初速度為260m／s時，與速度大小三次方成正比的空氣阻力和與速度大小平方成正比的空氣阻力相同，得到k3≈8×10－8（kg·s）／m2.計算結果表明，考慮空氣阻力時，拋體上升高度和水平射程都遠小于不考慮空氣阻力的情況，其中，拋射角約為35°水平射程最大.同一個拋體以同樣的拋射角拋出，初速度越大，上升高度和水平射程越大.質量不同的拋體以同樣的初速度和拋射角拋出，質量越大，上升高度和水平射程越大.模擬結果如圖2（a）～（d）所示.

圖1 空氣阻力與速度大小的平方成正比的模擬結果

空氣阻力與速度大小成正比、與速度方向相反的情況.雖然可以得到拋體運動軌跡方程的解析解，但是分析拋射角、初速度、拋體質量的變化對運動軌跡的影響仍然有一定難度.為了直觀地看出拋體運動軌跡隨這些參數的變化，對運動軌跡進行了數值計算.數值計算的參數選取如下：假定一顆質量為0.015kg的子彈頭，用手以20m／s的初速度拋出.比例系數k1的確定：假定彈頭初速度為260m／s時，與速度大小成正比的空氣阻力和與速度大小平方成正比的空氣阻力相同，得到k1≈0.005kg／s.空氣阻力與速度大小成正比的情況，拋射角約為45°時，水平射程最大，這和不考慮空氣阻力的情況相同.初速度和質量對運動軌跡的影響與前面分析的兩種情況相同，拋體初速度越大，質量越大，拋體上升高度越大，水平射程越大.模擬結果如圖3（a）～ （d）所示.

圖2 空氣阻力與速度大小三次方成正比的模擬結果

圖3 空氣阻力與速度大小成正比的模擬結果

3 結束語

在教學過程中，通過上述結果的展示，能夠讓學生直觀地理解空氣阻力與速度的大小、速度大小的平方、速度大小的三次方成正比的3種情況下拋體運動軌跡與拋體質量、拋射角、初速度之間的關系，并通過對比考慮空氣阻力和忽略空氣阻力的拋體運動軌跡，理解空氣阻力對拋體運動影響的重要性.

1 馬文蔚.物理學.北京：高等教育出版社，2006.9～11

2 郝成紅.考慮空氣阻力的拋體射程.大學物理，2008，27（12）：21～22

3 劉雨.某聲干擾器子彈作用過程關鍵問題研究：［學位論文］.南京：南京理工大學，2013.12～17