分類探討電磁感應現(xiàn)象中的4種常見情形

王新鋒

（西安交通大學蘇州附屬中學 江蘇 蘇州 215021）

電磁感應知識是高中物理的重要組成部分，是歷年高考的熱點和重點.《2015年江蘇省普通高中學業(yè)水平測試（選修科目）說明》羅列出的與電磁感應知識直接相關的知識點有4個，其中Ⅱ級要求的就有兩個，分別是感應電流的產(chǎn)生條件、法拉第電磁感應定律和楞次定律（限于導線方向與磁場方向、運動方向垂直的情況）.同時電磁感應知識也是學生學習的難點，從學生對該部分內(nèi)容的反應來看，筆者認為問題主要出在學生沒能真正理解感應電動勢的產(chǎn)生條件，也可以認為導致回路磁通量發(fā)生變化的情況多種多樣，學生對其中的幾種典型問題沒能真正掌握.現(xiàn)分類探討如下4種感應電動勢產(chǎn)生的常見情形與大家分享.

1 電磁感應現(xiàn)象中的感生電場

麥克斯韋提出，磁場變化時會在空間激發(fā)感生電場（又叫渦旋電場），如果此刻空間存在閉合導體，導體中的自由電荷就會在感生電場的作用下做定向移動，產(chǎn)生感應電流，或者說導體中產(chǎn)生了感應電動勢.在這種情況下，非靜電力就是感生電場對自由電荷的作用.物理學上把由感生電場產(chǎn)生的電動勢叫做“感生電動勢”.人教課標版教材選修3－2第四章第5節(jié)中提到的電子感應加速器，是應用感生電場對電子的作用來加速電子的一種裝置，主要用于核反應研究，教材只要求分析：當電磁鐵線圈電流的方向與圖示方向一致時，電流的大小應該怎樣變化才能使電子加速？筆者認為在該處照本宣科顯然是不夠的，借助例題1的問題情境，可以收到良好效果.

【例1】電子感應加速器是利用變化磁場激發(fā)感生電場來加速電子的設備，如圖1所示.上、下為兩個電磁鐵，磁極之間有一個環(huán)形真空室，用交變電流充磁的電磁鐵在兩極間產(chǎn)生交變磁場，從而在環(huán)形室內(nèi)激發(fā)出很強的感生電場使電子加速，被加速的電子同時在洛倫茲力的作用下沿圓形軌道運動，設法把高能電子引入靶室，能使其進一步加速在一個半徑為r＝0.84m的電子感應加速器中，電子在被加速的4.2×10－3s時間內(nèi)獲得的能量為120MeV.這期間電子軌道內(nèi)的高頻交變磁場是線性變化的.磁通量從零增到1.8Wb，求：

（1）當交變磁場線性增強時，電子所處的環(huán)形真空室內(nèi)產(chǎn)生的感應電動勢大小；

（2）電子在環(huán)形真空室中共繞行了多少周.

圖1

（3）有人說，根據(jù)麥克斯韋電磁場理論及法拉第電磁感應定律，電子感應加速器要完成電子的加速過程，電子軌道內(nèi)的高頻交變磁場也可以是線性減弱的，效果將完全一樣，你同意嗎？請簡述理由.

解析：（1）由麥克斯韋電磁場理論知，當交變磁場線性增強時，電子所處的環(huán)形真空室內(nèi)將產(chǎn)生恒定不變的感生電動勢E，由法拉第電磁感應定律求出

由題知ΔΦ＝1.8Wb，Δt＝4.2×10－3s，N＝1匝，代入上式得

（2）電子在環(huán)形真空室中運動一周被電場加速做功為

故獲得W＝120MeV的能量需繞行的周數(shù)為

（3）不同意

由

得

盡管交變磁場線性減小也可以產(chǎn)生大小不變的感生電場，但感生電場的方向相反，電子不能被加速反而被減速，同時減小的磁場不能提供越來越大的洛倫茲力以維持電子繞行時的向心力.

該問題的處理體現(xiàn)了“讓學生通過有實際意義的物理情景來學習基礎知識”的思想，尤其是具體數(shù)據(jù)的引入讓學生能夠更好地理解物理模型，遠離物理學本身的抽象難懂.同時也體現(xiàn)了筆者在改變學生學習方式上所作出的努力.

2 電磁感應現(xiàn)象中的洛倫茲力

如果磁場沒有變化，空間就沒有感生電場，但閉合回路部分導體在切割磁感線，這時可以充分發(fā)揮人教課標版教材選修3－2第四章第5節(jié) “思考與討論”欄目的作用，讓學生的思維層層深入，最終得出導體CD兩端存在電勢差，即導體CD相當于一個電源，產(chǎn)生的電動勢稱為“動生電動勢”.教師可以就此提出問題：在恒定磁場中，運動的導體內(nèi)產(chǎn)生的動生電動勢是哪種作用充當了非靜電力呢？教材沒有給出具體的解答，只給了一個結論：此時非靜電力與洛倫茲力有關.現(xiàn)借助例2從洛倫茲力的角度分析推理并最終推導出動生電動勢大小的表達式E＝BLv.

【例2】如圖2，長為L的金屬棒AB在磁感應強度為B的勻強磁場中以速度v1向右勻速運動，試分析該情況下動生電動勢的產(chǎn)生機理并推導動生電動勢大小的表達式.

圖2

解析：當金屬棒以速度v1向右勻速運動時，導體內(nèi)的自由電子隨棒一起以速度v1向右移動，會受到如圖2所示的指向B端的洛倫茲力f1的作用，因此在金屬棒B端不斷聚集負電荷，A端出現(xiàn)等量的正電荷，故而在金屬棒中形成由A指向B的電場，洛倫茲力f1充當了非靜電力的角色.當金屬棒中的自由電子受到的洛倫茲力和電場力平衡時，自由電子便停止向B端聚集，從而在金屬棒AB兩端形成一個穩(wěn)定的電壓，此電壓在數(shù)值上等于金屬棒做切割磁感線運動產(chǎn)生的感應電動勢.所以有

解得

該處需要引起大家注意的是，教材中提到，“導線在做切割磁感線運動時相當于一個電源，非靜電力與洛倫茲力有關”，而沒有說就是洛倫茲力.實際上自由電子除了速度v1，還有一個在f1作用下沿金屬棒的速度v2，又導致電子受到洛倫茲力f2的作用，如圖3所示.通過上面的分析得知，原來此時的非靜電力是洛倫茲力沿導線方向的分力充當.

圖3

3 電磁感應現(xiàn)象中的“雙生”共存

此處的“雙生”共存，筆者指的是感生電動勢、動生電動勢同時存在的情況.在高中物理題中，一般考查只有其中一種電動勢存在的情況，偶爾也考查兩種電動勢同時存在的情況.

【例3】（2000年高考上海卷）如圖4所示，固定于水平桌面上的金屬框架cdef，處在豎直向下的勻強磁場中，金屬棒ab擱在框架上，可無摩擦滑動，此時adeb構成一個邊長為L的正方形，棒的電阻為r，其余電阻不計，開始時磁感強度為B0.

（1）若從t＝0時刻起，磁感強度均勻增加，每秒增量為k，同時保持棒靜止，求ab棒中的感應電流大小，并說明感應電流的方向.

（2）在上述（1）情況中，始終保持棒靜止，當t＝t1s末時需加的垂直于棒的水平拉力為多大？

（3）若從t＝0時刻起，磁感強度逐漸減小，當棒以恒定速度v向右做勻速運動時，可使棒中不產(chǎn)生感應電流，則磁感強度應怎樣隨時間變化？（寫出B與t的關系式）

圖4

解析：忽略前兩問，第（3）問中磁感強度逐漸減小，回路中有感生電動勢；棒以恒定速度v向右做勻速運動切割磁感線，回路中同時還有動生電動勢.棒中無感應電流，即整個回路的感應電動勢為零，也就是回路中的兩種感應電動勢相互抵消.

解法1：在某時刻t，對整個回路

當t＝0時，B＝B0，結合式（1）得C＝B0L，所以式（1）可寫為

解法2：換一個角度考慮，因為棒中無感應電流，即回路的磁通量不變化，所以有

故

當然，上面的兩種解法在本質(zhì)上是一致的，感興趣的可自行證明.

需要特別說明的是：該題第（3）問現(xiàn)已被選入教材，是人教版普通高中課程標準實驗教科書選修3－2第四章第2節(jié)“問題與練習”的第7題.可見我們平時的教學切不可脫離教材一味地去追求所謂的“難題”、“新題”.筆者覺得教材后的習題很多都是經(jīng)過歲月積淀下來的經(jīng)典題，是我們平時教學的“本”，值得我們每一位一線教師去重視、去挖掘、去研究.

4 電磁感應現(xiàn)象中的“雙桿”模型

兩桿同時切割磁感線時，在電路中會產(chǎn)生兩個感應電動勢，但兩桿產(chǎn)生的感應電動勢可能相互疊加，也可能相互抵消.若同向切割磁感線，則E＝BLv1－BLv2（v1＞v2）；若反向切割磁感線，則E＝BLv1＋BLv2.在具體問題中要根據(jù)兩桿的速度方向并結合右手定則才能判定.

【例4】如圖5所示，兩根足夠長的平行導軌由傾斜和水平兩部分連接組成，導軌間距L＝1m，傾斜角θ＝45°，水平部分處于磁感應強度B＝1T的勻強磁場中，磁場方向豎直向上，磁場左邊界MN與導軌垂直，金屬棒ab質(zhì)量m1＝0.2kg，電阻R1＝1 Ω，金屬棒cd質(zhì)量m2＝0.2kg，電阻R2＝3Ω，導軌電阻不計.兩棒與導軌間動摩擦因數(shù)μ＝0.2.開始時，棒ab放在斜導軌上，與水平導軌高度差h＝1m，棒cd放在水平導軌上，距MN距離為s0，兩棒均與導軌垂直，現(xiàn)將ab棒由靜止釋放.取g＝10m／s2，求：

（1）棒ab運動到MN處的速度大小v0；

（2）棒cd運動的最大加速度；

（3）若導軌水平部分光滑，要使兩棒不相碰，棒cd距MN的最小距離.

圖5

解析：（1）對棒ab，從開始下滑至MN處，根據(jù)動能定理得

代入數(shù)據(jù)解得

（2）棒ab運動到MN處時，棒cd速度為零，只有棒ab切割磁感線，此時回路中感應電動勢最大，感應電流最大，棒cd所受的安培力最大，加速度最大.

此時對棒cd運用牛頓第二定律得

此時對回路，根據(jù)閉合電路歐姆定律得

代入數(shù)據(jù)解得

（3）在不相碰的情況下，兩棒最終有共同速度v，對兩棒組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得

代入數(shù)據(jù)解得

設某時刻棒ab的速度為v1，棒cd的速度為v2，在極短時間Δt內(nèi)，棒ab速度變化為Δv，對棒ab，根據(jù)牛頓第二定律得

代入數(shù)據(jù)解得

“雙桿”模型物理情境變化的空間很大，如雙桿均做勻速直線運動，一桿靜止一桿勻速，一桿靜止一桿勻變速，一桿勻速一桿勻變速等等.此處筆者選擇例4這種情境的原因有兩個：一是雙桿運動情況復雜——均做非勻變速運動，二是該題涉及較為復雜的數(shù)學方法.從近幾年江蘇高考物理的實際情況看，新的情境和較復雜的數(shù)學方法一直是命題人心目中難題的標準，我們只有在平時的教學中做到有針對性的滲透，才能真正提升學生這方面的能力.

總之，不管在平時的新授課，還是后來的高三高考復習課，適時地把物理知識分類、歸納、總結，不但有助于加強學生對所學知識的理解和掌握，游刃有余地應對千變?nèi)f化的考題，更重要的是鍛煉了學生思維的深刻性和廣闊性，在提升能力的同時激發(fā)學生對知識的興趣.

1 張大昌.普通高中課程標準實驗教科書物理（選修3－2）.北京：人民教育出版社，2010.1～26

2 張大昌.普通高中課程標準實驗教科書物理（選修3－2）教師教學用書.北京：人民教育出版社，2010.1～69

3 陳熙謀.高中物理專題研究：電路與電磁場.北京：人民教育出版社，1998

4 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程：電磁學篇.合肥：中國科學技術大學出版社，2004