再論物體的速度究竟是多少＊

王 鵬 李 冰 楊培軍

（安徽省阜陽市界首中學 安徽 阜陽 236500）

1 問題的提出

有不少教師發文討論如下問題［1］：如圖1所示，物體A，B以相同的速率v下降，物體C以速率vx上升，當繩與豎直方向夾角為α時，則

圖1

常見的解法如圖2和圖3所示，結果分別為vx＝那么究竟哪種解法正確呢？下面從幾個方面進行詳細剖析.

圖2

圖3

2 相對運動與運動的合成與分解的區別

有些教師在分析上述問題時將小船渡河模型與之類比［2］，但實際上這是兩類完全不同的運動，并不能類比.小船渡河模型屬于相對運動問題，而上述問題和拉船模型一樣，屬于運動的合成與分解問題.

對于同一物體，選擇的參考系不同，其運動情況一般不同，速度自然也不同，那么各速度之間存在什么關系就屬于相對運動問題，其規律為vAC＝vAB＋vBC，其中3個速度分別為物體A相對物體C的速度，物體A相對物體B的速度，物體B相對物體C的速度.下面來看小船渡河模型.水流速度v1是水相對岸的速度，船在靜水中的速度v2是船相對水的速度，船的合速度v實際是船相對岸的速度，且v＝v1＋v2.

從以上分析可以看出，相對運動問題是研究同一物體在不同參考系間的速度變換關系，而運動的合成與分解則與之完全不同，它研究的是同一物體在同一參考系中的速度合成關系，其實質是矢量的合成與分解，拉船模型即屬于這類問題.以地面為參考系，船（繩子末端A點）實際的運動為由A到B，將位移分解，如圖4和圖5所示除以時間，即得到v＝v1＋v2，由此即可認為繩子末端A點同時參與兩個分運動：A到C，C到B，速度分別為v1和v2，其中3個速度均以地面為參考系，與小船渡河模型不同.

圖4

圖5

3 等效替代原則

圖1中給出了3個速度，有些教師便不假思索地認為它們是合速度與分速度的關系.但實際上未必，需要仔細分析.在分析時要注意等效替代原則，即所有分運動的共同作用效果必須與合運動的作用效果相同，否則便不是分運動與合運動的關系.

按照這個原則去分析拉船模型（圖4，圖5），可以發現，A點的速度v產生了兩個效果：一個使A點與滑輪之間的繩子長度以速度v1縮短，另一個使該段繩子以速度v2繞滑輪順時針轉動，如果A點同時以v1和v2速度運動，可以產生完全相同的效果，因此v1和v2確實是速度v的分速度.

下面來分析圖1問題的兩種解法.圖1中的問題要比拉船模型復雜，因為左右兩根繩子的末端連接在一起，每一個速度會同時對兩根繩子產生作用效果.在圖2中，當3繩的結點以速度vx上升時，由圖1可知，其作用效果是使左右兩根繩子結點與滑輪間的部分長度以速度v縮短，同時使該部分繩子以速度v′（大小未知）分別繞滑輪轉動.如果速度vx確實可以按照圖2分解，那么兩個分速度對左右兩根繩子的作用效果應與速度vx作用效果相同，矢量圖如圖6所示.

圖6

根據圖6，有

表1 分速度的效果

因此右邊的繩縮短的速度為

順時針旋轉的速度為

與速度vx作用效果完全相同，因此圖2解法正確.按照圖7分解也正確，但按照圖8分解則不對.圖8實際上是簡單套用了拉船模型的結論，卻沒有注意到左右兩根繩子連接在一起，互相牽制，實際上圖8中4個分速度的合速度是2vx.

圖7

圖8

圖9

圖10

4 謹防錯覺誤導我們

經過上面的分析發現圖3的解法錯誤，那么為什么會產生這種錯誤的解法呢？筆者認為可能是錯覺誤導了我們.圖3中滑輪與結點之間的繩子好像沿繩子方向運動，所以物體C的速度就是這兩個速度v的合速度，就類似圖11力的合成一樣.但是這部分繩子速度是沿繩子方向嗎？

圖11

圖12

從圖12可以發現，滑輪與結點之間的繩子運動情況很復雜，其速度方向既不沿繩子，也不是豎直向上.繩上每一點的速度和結點O類似，既有沿繩方向的分速度v（該速度各點相同），又有垂直于繩的分速度v′（該速度各點不同，與到滑輪的距離成正比，v′＝ωL），因此與圖11不能類比.

在分析圖3時，有些教師提出如下問題［3］：博爾特百米跑時間約為10s，速度約10m／s，那么兩個博爾特拉著你跑，你的速度應為兩個10m／s的合速度即20m／s，所以你應能跑出5s的百米成績，這個看法正確嗎？答案顯然是否定的，然后與圖3類比，即得出圖3的解法不正確這個結論.

問題是我們能這樣類比嗎？兩個博爾特拉著你跑，3人速度方向一致，與圖12方向明顯不同，因此不能這樣類比.如果要類比應與圖13類比.

下面分析圖13，物體C被兩根繩子拉著運動，速度是2v嗎？

這個問題可以把它看做圖2中α＝0的特殊情況進行處理，也可以和 “兩個博爾特拉著你能跑出5s的百米成績嗎”這個問題進行類比，很容易看出速度并不是2v.那么速度是2v這個錯誤答案是如何產生的呢？

我們來深入分析得出這個錯誤結果的過程：物體C同時參與兩個分運動，一個跟隨左邊繩子向上運動，速度為v，另一個跟隨右邊繩子向上運動，速度也為v，因此合速度為2v.但是從圖14可以看出，在一段時間內，兩個分運動初末位置、位移、速度均相同，其實是同一個運動，因此物體C的速度并不等于2v，而是v.

圖13

圖14

再來分析圖15的例子.一平面內有兩直線AB和CD，相交α角，若直線AB以速度v1在平面內沿垂直于AB的方向移動，直線CD以速度v2在平面內沿垂直于CD的方向移動，求兩線交點P的速度.先來分析學生的錯誤解法.很多學生認為P點速度就是v1和v2的合速度，究其原因，學生很可能誤以為交點P是兩直線上的固定點（譬如中點），然后跟著兩直線一起運動，具有兩個分速度v1和v2，如圖16所示.

圖15

圖16

然后得出P點速度就是v1和v2的合速度這個錯誤的結論，這顯然是因為沒有理解交點產生的原因而產生的錯覺.實際上交點在桿上的位置是不斷變動的，P′才是兩桿的交點，P點速度的方向沿PP′方向（圖17）.

圖17

沿PB方向位移為

沿PC方向位移為

合位移

合速度

當兩桿垂直時，α＝90°，此時圖16和圖17一樣，學生的解法才正確.

5 分運動具有獨立性嗎

有些教師在分析上述問題時使用了分運動的獨立性原理，認為各分運動互相獨立，互不影響.那么各分運動果真互相獨立，互不影響？文獻［4］給出了精彩回答：各分運動可以互相獨立，也可以互相影響，不存在所謂的分運動的獨立性原理.現將部分內容轉述如下：

對于有空氣阻力的拋體運動，當速度較小時，可以認為空氣阻力大小與速度成正比，這時

根據牛頓第二定律可得物體沿x和y方向運動的微分方程為

這兩個方程表明，每個方程都不包含另一方向上的運動分量，可以分別獨立地解出方程，此時兩個分運動互相獨立，互不影響.

再考慮速度較大，空氣阻力大小是速度二次函數的情況.這時

物體沿x和y方向運動的微分方程為

這兩個方程表明，每個方程都包含了另一方向上的速度分量，明顯反映出兩個分運動彼此關聯，并不是互相獨立的.

由上述例子可以看出，各分運動可以互相獨立，也可以互相影響，所謂的分運動的獨立性原理自然就不正確了.

總之，物理模型在物理教學中固然重要，類比法也是解決問題的重要方法，但在處理具體問題時，不能單憑感覺，草率地與熟悉的模型進行類比，從而得到錯誤的結論.在進行運動的合成與分解時，每一個運動都要慎重分析，各分運動有時并非相互獨立，互不影響，教會學生用聯系的觀點處理問題，具體問題具體分析，嚴防被直覺所誤導.

1 李慶國，帥厚梅.物體的速度究竟是多少？ 物理教師，2013（8）：23～24

2 殷正徐.《物體的速度究竟是多少》究竟為什么？物理教師，2014（5）：93～94

3 章建光.補議《兩個博爾特拉著你能跑出5秒的百米成績嗎》.中學物理教學參考，2013（3）：40～42

4 人民教育出版社.高中物理必修2教師教學用書.北京：人民教育出版社，2010.28～35