高考中三角函數的常見題型

■河南省洛陽市教育局中小學教研室 張清獻

三角函數是高考考查的重要內容，也是平時復習備考的重點。縱觀近幾年有關三角函數的高考試題，考查內容難度不大，常考的知識點有:三角函數的概念，三角函數的恒等變換(三角公式的應用)，三角函數的圖像與性質，解三角形。多數是常規題型，建議大家在復習時要總結題型，加強練習，強化對概念的理解、公式的靈活應用，以及對三角函數的圖像與性質的掌握。

下面對近幾年高考試卷中出現的三角函數的典型試題進行歸類剖析，并總結相應問題的解決方法。

題型一：任意角的三角函數概念

任意角的三角函數概念是三角函數的基礎，高考主要考查三角函數的概念、三角函數值的符號等。解決此類問題主要是緊扣概念，注意所給角所在的象限，以利于三角函數值的符號的判斷。

例1(20 18年浙江卷)已知角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重

(1)求sin(a+π)的值。

評注:本題考查了三角函數的定義、誘導公式，以及角的變換與差角公式。

題型二：三角函數式的化簡與求值

三角公式是進行三角函數化簡與求值的基礎，首先，要在理解的基礎上記憶公式;其次，要能靈活應用。一些常見的變式與解題技巧需要大家牢固掌握。

例2(20 18年全國卷Ⅱ)已知sina+cosβ=1，cosa+sinβ=0，則sin(a+β)=____。

解析：因為sina+cosβ=1，cosa+sinβ=0，所以sin2a+cos2β+2sinacosβ=1①，cos2a+sin2β+2cosasinβ=0 ②。

由①②兩式相加可得:

sin2a +cos2a +sin2β +cos2β +2(sinacosβ+cosasinβ)=1。

評注:本題考查了兩角和與差公式的應用。對此類問題要注意所給條件與所求結論之間的差異，聯想相應公式進行整理求解。

題型三：三角函數的圖像與性質

三角函數的圖像與性質是高考考查的重點。要掌握正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，同時還要類比掌握y=Asin(ω x+φ)等的圖像與性質。對于圖像，要掌握它們的基本形狀，特別是“五點法”畫圖與圖像變換作圖;對于性質，要掌握單調性、奇偶性、周期性、對稱性(對稱軸與對稱中心)、最值等。

例3(20 18年全國卷Ⅰ)已知函數f(x)=2cos2x-sin2x+2，則( )。

A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3

B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2π，最大值為4

解析：易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=，則f(x)的最小正周期為π，當x=kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值，其最大值為4。故選B。

評注:三角函數的最值問題，要掌握以下幾種方法:(1)對于y=Asin(ω x+φ)+B，此類型要求對三角恒等變形及輔助角公式熟練掌握;(2)對于y=asin2x+bsinx+c的形式，可利用二次函數性質來求解;(3)含有形如sina-cosa，sina+cosa，sina·cosa的函數，可通過換元化為二次函數求解;(4)利用數形結合求解。對于三函數的周期問題，一般先把函數化為標準形式再求解。若函數f(x)=Asin(ω x+φ)或 f(x)=Acos(ω x+φ)，則 周 期 為 T=，若 函 數f(x)=Atan(ω x+φ)，則周期為T=

題型四：解三角形

解三角形主要是正弦定理與余弦定理的應用，利用這兩個定理可以實現三角形中的“邊角互化”。在求解時，要注意三角形中常見的一些結論:(1)內角和為18 0°;(2)三角形(3)△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB。

例4(20 18年全國卷Ⅰ)如圖1，在平面四邊形ABC D 中，∠AD C=9 0°，∠A=45°，AB=2，B D=5。

(1)求cos∠AD B。

(2)若D C=22，求BC。

圖1

在△BC D中，由余弦定理可得:

所以BC=5。

評注:本題第(1)問考查了正弦定理的應用，第(2)問考查了余弦定理的應用。本題給出了一個四邊形，需要轉化為兩個不同的三角形才能解決。解題時要注意不同三角形中的角與邊之間的聯系。

編者注：總之，三角函數內容雖多，但題目難度適中，是同學們在高考中必須拿分的內容。在復習中要以三角函數的圖像與性質為重點，靈活運用三角公式及恒等變形，在解題中要貫穿方程思想、等價轉化思想、分類整合思想等。