離散LPV系統的魯棒故障估計

王漢斌，　陳華民，　翁正新

離散LPV系統的魯棒故障估計

王漢斌，陳華民，翁正新

（上海交通大學自動化系，上海200240）

對一類具有仿射參數依賴關系的離散線性參數變化（LPV）系統的魯棒故障估計問題進行研究.基于增益調度思想，提出一種魯棒故障估計器的設計方法，所設計的故障估計器與對象具有相同的參數依賴性.首先以線性矩陣不等式（LMI）的形式給出并證明故障估計器存在的充分必要條件，然后給出故障估計器的構造方法，最后通過一個數值例子展示設計過程.仿真結果表明，所設計的故障估計器可以快速、準確地重構系統中的故障信號.

故障估計；離散時間線性參數變化系統；增益調度；魯棒H∞濾波

現代控制系統正變得越來越復雜，對系統安全性和可靠性的要求也日益提高，動態系統故障診斷與容錯控制的研究開始受到越來越多的關注.故障估計是近幾年故障診斷領域的研究熱點，其有效結合故障檢測與故障分離的功能，利用1個故障估計器重構系統的故障信號，實現故障的檢測與分離，并了解故障的相關信息.

本文主要研究離散線性參數變化（LPV）系統的魯棒故障估計問題.LPV系統指一類特殊的線性動態系統，其主要特征是系統的狀態空間表達式依賴于一些時變參數，這些時變參數通?？杀辉诰€測量或估計［1］.當時變參數沿給定的參數變化軌跡變化時，LPV系統退化為一般的線性時變（LTV）系統；當這些參數為某些固定值時，系統退化為線性定常（LTI）系統.在實際應用中，許多的非線性系統都可用LPV模型描述.

目前，對LPV系統故障診斷的研究主要集中在連續系統上，對離散LPV系統的研究較少.Varrier等［2］針對離散LPV系統，提出一種基于等價空間的故障診斷方法，利用車輛橫向動力模型證明方法的有效性；Wang等［3］研究帶延時離散LPV系統的故障檢測問題，將故障檢測濾波器的設計問題轉化成H∞濾波問題求解；Rodrigues等［4］針對離散多面體LPV系統，提出一種故障診斷濾波器的設計方法，將算法應用到帶有傳感器故障的纏繞機系統中，實驗結果驗證方法的有效性.這3種方法主要針對離散LPV系統的故障檢測，利用系統中已知的信號生成殘差信號，反映系統中故障發生與否.這些方法雖然可以診斷故障的發生，但難以表達故障類型、嚴重程度等重要信息.Astorga-zaragoza等［5］采用基于未知輸入觀測器的故障診斷方法，針對離散LPV系統提出一種故障估計器的設計方法，所設計的估計器雖然可準確重構出系統中的故障信號，但其對時變參數的變化、模型的不確定性以及外部擾動的魯棒性不強.

本文利用魯棒H∞優化技術，研究離散LPV系統的故障估計問題.所設計的故障估計器不僅可以快速、準確地重構系統的故障信號，而且對系統中的不確定性具有較強的魯棒性.

1　問題描述

考慮離散LPV系統P（θ）

式中：xp（k）∈Rn為系統的狀態變量；u（k）∈Rp為系統的控制輸入；d（k）∈Rq為系統的擾動信號；f（k）∈Rl為系統的故障信號；yp（k）∈Rm為系統的測量輸出；Ap（θ），Bp（θ），Cp（θ），Dp（θ），Ep（θ），Fp（θ），Gp（θ）和Hp（θ）等為適當維數的矩陣.假設參數變化的范圍已知，且在實際運行中可以進行在線測量.

對于式（1），作以下假設：

（1）時變參數向量θ（k）在頂點為θ1，θ2，…，θr的多面體Θ內變化，即

（2）式（1）中各狀態空間矩陣都仿射依賴于時變參數向量θ（k）.

（3）矩陣Cp（θ），Dp（θ），Gp（θ）和Hp（θ）參數獨立，即

根據假設（1）和（2），式（1）可表示為

式中：Api，Bpi，…，Hpi為Ap（θ），Bp（θ），…，Hp（θ）在參數多面體Θ的頂點θi處的值.

由式（4）可知，當時變參數向量θ（k）變化時，系統P（θ）也在一個多面體中變化，該多面體的頂點是P（θi），i=1，2，…，r，具有這種特性的系統稱為多面體系統.

注釋1如果假設式（3）不成立，那么可通過引入前置或后置濾波器，使得系統滿足要求［6］.故障估計器F（θ）的狀態空間表達式為

式中：xf（k）∈Rk為故障估計器的狀態變量；y（k）= （uT（k）yT（k））T∈Rp+m為故障估計器的輸入；^f（k）∈Rl為故障估計器的輸出，即故障信號的估計；Af（θ），Bf（θ），Cf（θ）和Df（θ）為需要設計的故障估計器的狀態空間矩陣.原系統與故障估計器的連接如圖1所示，ef（k）代表故障估計誤差.

圖1　系統故障估計器Fig.1　Fault estimator for the plant

假設F（θ）與系統P（θ）具有相同的參數依賴性，即：

式中：Afi，Bfi，Cfi和Dfi分別為Af（θ），Bf（θ），Cf（θ）和Df（θ）在參數多面體Θ的頂點θi處的值.

故障估計器的設計目標是使故障估計誤差ef（k）=f（k）-^f（k）極小化.為使用魯棒H∞優化技術討論該問題，可將估計器和原系統的連接圖轉變成圖2的形式.其中，Paug（θ）為所謂的廣義對象，其具體的狀態空間表達式為

其他矩陣都具有適當的維數.

圖2　離散LPV估計器的綜合框架Fig.2　H∞synthesis structure for discretetime LPV estimator

注釋2由于ef（k）=^f（k）-f（k），根據式（7），ef（k）∈Rp 1，^f（k）∈Rm2，因此m2=P1.

圖2所示閉環系統的狀態空間描述為

式中：

由式（9）、（10）可知，閉環系統式（9）也是多面體系統，其狀態空間表達式可改寫為：

式中：Acli，Bcli，Ccli和Dcli分別代表Acl（θ），Bcl（θ），Ccl（θ）和Dcl（θ）在參數變化多面體Θ中頂點θi處的值.

問題1設LPV系統式（1）滿足假設條件（1）～（3），尋找一個LPV故障估計器F（θ），使得對于滿足限制條件（2）的所有可能的參數變化軌跡θ（k），圖2所示系統二次穩定，且由外部輸入w到故障估計誤差ef的閉環傳遞函數的L2誘導范數小于一定值γ.

2　故障估計問題的可解條件

利用基于離散LPV系統的有界實引理，經過適當運算，可得到問題1的解.

定理1考慮LPV系統式（1），假設其滿足假設條件（1）～（3）.設NS為（C2D21）的零空間的基，則存在一個滿足問題1的k階離散LPV故障估計器的充分必要條件是：存在矩陣0＜R=RT∈Rn×n和0＜S=ST∈Rn×n，使得下列矩陣不等式成立：

證明根據基于離散LPV系統的有界實引理［6］，離散LPV系統的故障估計問題1有解的充分必要條件是線性矩陣不等式

存在正定對稱解Xcl∈R（n+k）×（n+k）.

結合式（6）、（9）～（11），式（15）可改寫為

Ψ（θi）=

由投影定理［7］可得，式（16）成立的充分必要條件是：

式中：WP和WQ分別為P和Q的零空間的基.

依據式（18）和（19）中P和Q的表達式，WP和WQ可分別寫成：

將矩陣Xcl和Xcl-1按式（23）進行分塊

式中：S，R∈Rn×n和E，F∈Rk×k均為對稱矩陣；N，M∈Rn×k.

將式（10）、（22）和（23）代入式（20）、（21）中，經轉化，式（20）和（21）成立等價于式（24）和（25）成立.

則式（12）和（13）得證.

定義矩陣T1和T2為由Xcl的定義，易知

對不等式Xcl＞0左乘TT1，右乘T1，并利用式（28），可得Xcl＞0成立等價于則式（14）得證，完成定理1的證明.

3　故障估計器的構造

由定理1的證明過程可推導出故障估計器的構造方法，算法1詳細介紹LPV故障估計器的設計步驟.

阿諾德的思想與文化理念必將為我國的文化發展帶來美好與光明。他的思想在當時受到各界批評和質疑。“文化傳教士”“文化預言者”等這些帶有諷刺性口吻的稱號始終陪伴著他。但令很多批評者大跌眼鏡的是，他的很多預言隨后居然能夠成為現實，人們記住的是他所代表的文化理念，而當年那些“對手”卻隨著歷史的流逝變得悄無聲息，這正好從側面印證了他思想的價值所在。在經歷了100多年時間的洗禮后，他的思想更是在新世紀煥發了新的容顏。正如他在《文化》中第1章使用的標題那樣，給世界留下的是實實在在的“美好與光明”。阿諾德的文化理念為一代又一代人提供美好與光明。

（1）根據定理1，求出滿足式（12）～（14）的解R、S.

（2）計算Xcl.由式（23）可得，MNT=I-RS，對I-RS進行因式分解獲得列滿秩矩陣M，N，再由式（28）解得Xcl.

（3）利用凸優化算法求解式（16），

i=1，2，…，r

（4）在線測量時變參數向量θ（k），求其在參數多面體Θ的頂點θ1，θ2，…，θr處的凸分解，即

相應的故障估計器的狀態空間矩陣

4　數　例

考慮離散LPV系統p1（k）和p2（k）為系統時變參數.假設參數的運動軌跡分別為：

p1（k）=-0.2-0.014k

采樣次數為100，參數的變化范圍為

根據定理1求解式（12）～（14），得到最優的γ值為0.26，相應的矩陣解為

根據算法1，可得到F（θi），i=1，2，3，4.對于實時測量的參數變量θ（k），利用式（30）和（31）可在線計算LPV故障估計器的狀態空間矩陣.

故障估計的結果見圖3.在仿真過程中，取干擾信號d為標準差=0.2的高斯白噪聲，控制信號μ為單位階躍信號，考慮突變故障和緩變故障等2種類型故障.為進行比較，采用標準方法設計1個固定參數的魯棒故障估計器［7］.設計中，時變參數取其名義值，即p1=-0.9，p2=0.65.由圖3可知，LPV故障估計器可很好地應對時變參數的變化，抑制系統中干擾的影響，準確地重構各類故障信號.固定參數的魯棒估計器不能很好地應對參數的變化，而LPV故障估計器則可很好地完成故障估計的任務.

圖3　LPV故障估計器與固定參數估計器的比較Fig.3　The comparison of the LPV fault estimator and fixed parameter fault estimator

5　結　語

針對離散LPV系統，研究魯棒故障估計器的設計問題.提出的LPV故障估計器與原系統具有相同的參數依賴關系.文中用線性矩陣不等式表示滿足要求的故障估計器存在的充分必要條件，通過求解線性矩陣不等式，可以構造LPV故障估計器.仿真結果表明，本文設計的故障估計器可準確、快速地進行故障估計.

［1］Shamma J S.An overview of LPV systems［C］／／Mohammadpour J，Scherer WC.Contr Linear Parameter Varying Syst Application.Berlin：Springer，2012：3-26.

［2］Varrier S，Koenig D，Martinez M J J.A parity spacebased fault detection on lpv systems：approach for vehicle lateral dynamics control system［C］／／Preprints 6th IFAC Symp Fault Detection，Supervision&Safety Tech Processes.Mexico City，2012：806-811.

［3］Wang C，Wang H，Gao H，et al.Robust fault detection for a class of discrete-time LPV systems with time-delays［C］／／Proc 1st Int Symp Systems&Contr Aerospace&Astronautics.Harbin，2006：1239-1244.

［4］Rodrigues M，Sahnoun M，Theilliol D，et al.Sensor fault detection and isolation filter for polytopic LPV systems：a winding machine application［J］.J Process Contr，2013，23（6）：805-816.

［5］Astorga-Zaragoza C M，Theilliol D，Ponsart J C，et al.Fault diagnosis for a class of descriptor linear parameter-varying systems［J］.Int J Adaptive Contr& Signal Proc，2012，26（3）：208-223.

［6］Apkarian P，Gahinet P，Becker G.Self-scheduled H∞control of linear parameter-varying systems：a design example［J］.Automatica，1995，31（8）：1251-1261.

［7］Gahinet P，Apkarian P.A linear matrix inequality approach to H∞control［J］.Int J Robust&Nonlinear Contr，1994，4（4）：421-448.

（編輯俞紅衛）

Robust Fault Estimation for DiscreteTime LPV System

WANG Hanbin，CHEN Huamin，WENG Zhengxin
（Department of Automation，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

The robust H∞fault estimation problem for affine discrete-time linear parameter varying（LPV）system was studied.Based on the gain scheduling techniques，a new design method of robust H∞fault estimator was proposed.The designed fault estimator possessed the same parameter dependence as the plant.A necessary and sufficient condition for the existence of the fault estimator was presented in terms of linear matrix inequations（LMI）.The synthesis algorithm of the fault estimator is presented.A numerical example is proposed to introduce the synthesis process of the estimator，and the simulation result demonstrated that the designed fault estimator could reconstruct the fault signal promptly and accurately.

fault estimation；discrete-time linear parameter varying（LPV）system；gain scheduling；robust H∞filterin g

TP 277

A

1671-7333（2015）03-0265-06

10.3969／j.issn.1671-7333.2015.03.011

2015-01-11

上海市自然科學基金資助項目（12ZR1415000）

王漢斌（1990-），男，碩士生，主要研究方向為LPV系統的故障估計研究.E-mail：wanghanbin＠sjtu.edu.cn

翁正新（1966-），男，副教授，主要研究方向為故障診斷與容錯控制.E-mail：zxweng＠sjtu.edu.cn