圓度誤差處理模型及算法研究

楊亞輝,李會榮（陜西國防工業職業技術學院,陜西　戶縣　710300）

圓度誤差處理模型及算法研究

楊亞輝,李會榮
（陜西國防工業職業技術學院,陜西戶縣710300）

介紹了圓度誤差處理的四種基本數學模型，并介紹了其對應的誤差處理算法，提出圓度誤差算法研究方向。

圓度；誤差處理；算法

在加工回轉類工件時，受工件材料、切削刀具、機床主軸回轉等因素的影響，零件將產生圓度誤差。因此，圓度誤差是評定回轉類工件加工精度的一項重要指標。在誤差測量過程中，可以通過半徑變化量測量或坐標測量獲取誤差原始數據，再通過一定的評定方法對數據進行處理，就可獲得誤差結果。借助于計算機技術處理誤差，可得到較為準確的誤差結果，處理誤差的計算機算法已成為當前研究的熱點。

1　概述

圓度是表示零件上圓的要素實際形狀，與其中心保持等距的情況，即通常所說的圓整程度。圓度誤差就是實際圓偏離理想圓的狀況，其誤差區域用包容實際圓上各點的兩同心圓環表示，并且同心圓環半徑差為最小，該半徑差即為圓度誤差值，如圖1所示。

2　數學模型

在獲取實際圓上各測量點數據后，可以采用最小區域法、最小二乘法、最大內接圓法和最小外接圓法這四種數據處理模型。圓度誤差的評定應按最小區域法。常用的近似方法有最小外接圓法、最大內接圓法以及最小二乘法。

在對圓度誤差處理過程中，評定基準圓用方程表示為：

用di表示圓上各實際測量點到評定基準圓圓心的距離：

圓度誤差結果用f表示如下：

式中，用dmax表示實際圓上各測量點到評定基準圓圓心的最大距離；用dmin表示實際圓上各測量點到評定基準圓圓心的最小距離。

2.1最小區域法

用最小包容法來評定圓度誤差，是用符合最小包容區域的包容圓作為評定基準圓，其符合交叉準則，即兩同心圓包容實際圓，并且至少有四個測量點內外相間地分布在兩個圓周上，如圖2所示。

根據式（2）、（3）得到函數

其關鍵是得到最小區域圓圓心（x0，y0）坐標，根據（3）式即可求出圓度誤差值。

2.2最小二乘法

所謂最小二乘圓，是指實際圓上各測量點到評定基準圓的圓周距離的平方和為最小。以最小二乘圓為評定基準圓，以其圓心為圓心做實際圓的外接圓和內接圓包容實際圓，該內接圓、外接圓的半徑差為圓度誤差值。如圖3所示。

設最小二乘圓的方程式為（1），得到函數：

求解函數的最小值，會得到最小二乘圓心（x0，y0）及最小二乘半徑r，用（3）式可以計算出圓度誤差值。

2.3最小外接圓法

采用最小外接圓法評定圓度誤差，是以外接于實際圓且半徑為最小的圓作為評定基準圓。以相同的圓心做實際圓的內接圓，兩同心圓的半徑差即為圓度誤差。該基準圓要滿足的條件：實際圓上至少有兩點或三點通過基準圓，如為兩點通過，則兩點的連線為基準圓的直徑；如三點通過，則三點連線應形成銳角三角形，并且實際圓上的所用點被該基準圓包容。如圖4所示。

由式（2）、（3）得到函數

式（6）經優化求解，會求出最小外接圓心坐標（x0，y0），用（3）式可以計算出圓度誤差值。

2.4最大內接圓

采用最大內接圓法評定圓度誤差，是以內接于實際圓且半徑為最大的圓作為評定基準圓。以相同的圓心做實際圓的外接圓，兩同心圓的半徑差即為圓度誤差。該基準圓要滿足的條件：實際圓上至少有兩點或三點通過基準圓，如為兩點通過，則兩點的連線為基準圓的直徑；如三點通過，則三點連線應形成銳角三角形，并且實際圓上的所用點被該基準圓包容。如圖5所示。

由式（2）、（3）得到函數

式（7）經優化求解，會求出最大內接圓心坐標（x0，y0），用（3）式可以計算出圓度誤差值。

3　誤差評定算法

3.1最小區域法

最小區域法評定圓度的核心問題是求出評定基準圓的圓心坐標，采用二位搜索法，程序設計思路如下：

（1）選擇交替的四個點作為控制點，交叉連直線，求兩直線的斜率K1和K2。

（2）做兩條直線的垂直平分線，得到交點

求解方程組，得到交點坐標O（x，y）。

（3）設定交點坐標O（x，y）為圓心，做一組同心圓。

（4）判定實際圓上其它測量點是否在同心圓區域內，如在，將相應數據記錄；如實際圓上任一測量點不在同心圓區域內，則不符合評定準則，則選取的四點組合無效。

（5）重復步驟（1）到（4），知道符合評定準則的測量點所有組合完成。

（6）對第四步記錄的數據進行比較，結果中最小的即為圓度誤差值。

其流程圖如圖6所示。

3.2最小二乘法

在采用最小二乘法評定圓度誤差時，首先求出最小二乘圓圓心（x0，y0）坐標：

在上式中：

在求出最小二乘圓圓心（x0，y0）坐標后，有（2）、（3）式可得到圓度誤差值。

由于在推導圓心的過程中，有時需要對坐標進行多次變換，當滿足圓心坐標足夠小時，方可結束坐標變換。如圖7所示為其程序框圖。

3.3最小外接圓

在采用最小外接圓法評定圓度誤差時，可按兩種情況進行分析：條件a，直線準則，有兩點與基準圓接觸，且兩點的連線是基準圓的直徑；條件b，三角形準則，有三點與基準圓接觸，且三點的連線構成銳角三角形。

在滿足條件a或b的條件下形成評定基準圓，如果實際圓上所有測量點都在該基準圓的內部，那么該基準圓就是最小外接圓。如圖8所示為求解程序流程圖。

3.4最大內接圓

最大內接圓法求解圓度誤差的過程可參照最小外接圓法，在此不再贅述。

4　結論

隨著計算機技術的發展及新國標的頒布，圓度誤差評定計算機化已成為趨勢；最小二乘法容易實現，已在圓度儀等設備上得到應用；圓度處理的算法還需進一步優化，尤其是未來采用測量信號分離、濾波等，對測量結果精度有更高要求時顯得尤為重要。

[1]李柱,徐振高,蔣向前.互換性與測量技術----幾何產品技術規范與認證GPS[M].北京:高等教育出版社,2004(12).

[2]甘永立.幾何量公差與檢測[M].上海：上?？茖W技術出版社,2010,1(09).

[3]GB/T7235-2004產品幾何量技術規范（GPS）評定圓度誤差的方法半徑變化量測量[S].北京：中國標準出版社,2004(11).