函數的單調性單元教學設計

李建邦 （甘肅省隴西縣第二中學 748100 ）

單元教學設計是指對某一單元的教學內容作具體的教學活動設計，這里的單元可以是一章，也可是以某個知識內容為主的知識模塊。單元教學設計要有整體性、相關性、階梯性、綜合性。下面我就以人教A版高中數學函數的單調性為例進行單元教學設計，設計內容包括單元教學目標、要素分析、教學流程設計、典型案例設計、反思與改進等。

一、單元教學目標

一是理解函數的單調性概念；二是會利用代數法和導數，“定性”“定量”多角度研究函數的單調性；三是理解函數的單調性在認識函數性質中的作用和地位。

二、要素分析

（一）數學分析

一是函數的單調性在高中數學中的地位。首先，函數是高中數學的一條主線。克萊因說：“函數概念，應該成為數學教育的靈魂。以函數概念為中心，將全部數學教材集中在他周圍，進行充分的綜合。”函數是客觀世界的一個基本數學模型，用于刻畫“變化”，體現兩個變量的依存關系。其次，函數有很多性質，高中階段單調性最重要。第三函數單調性貫穿整個數學教學，初中以具體函數為載體，“感性”認識函數值隨自變量的變化如何變化。高中利用代數法和導數，“定性”“定量”多角度研究函數的單調性。二是函數的單調性刻畫“變化”，而變化無處不在。

（二）標準分析

在必修階段，學生要經歷從“具體到抽象”，“圖形語言到自然語言，再到符號語言”的思維過程。這一過程不但有利于學生對函數單調性定義的理解，而且還有利于培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力。首先，歸納總結能力的培養。學生對基本初等函數已非常熟悉，如何將學生對函數的單調性的原有認知，轉化為以導數為依據的認知是不可忽視的問題。其次，邏輯思維的培養，教材只給出了函數單調性的充分條件，但在研究具體函數的單調性時并不夠，如何處理這部分教材是教師要重點思考的問題，而這一問題也正是培養學生邏輯思維能力的優良載體。

（三）學習者特征分析

學生對一次、二次、反比例函數等已有較好的認識，印象應該是深刻的；學生的直覺思維優于邏輯思維，感性認識勝于理性思考；學生的演算、恒等變形的能力有待加強，此處也正是培養學生這方面能力的載體。

（四）重點難點分析

函數的性質是研究函數問題的基石，對函數的定性和定量分析是研究函數的兩個不同角度，但同等重要。在必修中，函數的單調性的定義的形成過程是重點，將學生對已熟知函數的單調性從感性認識上升至理性認識是核心；在選修中，理解導數為何可以“定量”刻畫函數的變化是基礎，理解導數與函數單調性之間的關系是重點，能利用導數研究函數的單調性是目的。

（五）教材對比分析

現行教材有六個版本，分別為人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版和鄂教版，以前四個版本使用較多。教材的多樣性為教師的教學提供了充足的材料，教師可以根據自己學生的特點、認知水平，選擇合適的教學手段和方法。下面以前四種教材為例，談談在函數單調性定義方面，各教材在處理上的不同之處。一是定義引入的方式不同。人教A版和人教B版以具體的函數引出函數單調性的描述，而北師大版和蘇教版則以實踐中的具體實例引出函數單調性的概念。引入方式的不同，無所謂“優”與“劣”，教師可以結合學生的實際情況，采用不同的處理方法。定義的方式不同：人教A版、北師大版和蘇教版采用了傳統教材對單調性的定義方式，即在通過自變量的增大過程中函數值的增大或減小來定義；人教B版的教材則采用自變量具有正增量時函數值增量的符號加以定義。人教B版在其后安排了“探索與研究”，定義了平均變化率，希望學生能探究函數的單調性與增長快慢之間的聯系，為選修系列導數做了鋪墊。

（六）教學方式分析

這一過程可以靈活采用各種教學方法，我們學校主要采用五環節教學法，即：師生共同探究、學生獨立思考、小組合作交流、學生精彩展示、老師精彩點評。

三、教學流程設計

基于函數的單調性在中學數學中的特殊地位，對函數單調性的教學可以分為以下幾個階段。第一課時：以理解函數的單調性概念為主要教學目標，學生對單調性的認識能依據函數圖象指出其單調區間；初步理解用代數法證明（確定）單調區間的理論依據。第二課時：在理解函數的單調性定義的基礎上，能熟悉、鞏固證明函數單調性的方法，從“判定”和“性質”兩個方面進一步理解函數的單調性。基本初等函數和數列學完之后（1課時），這個階段以梳理基本初等函數和數列的單調性為主，讓學生進一步理解函數的單調性及其在認識函數性質中的作用和地位。不等量關系后的梳理（1課時）。選修階段（2課時）。第一課時：以基本函數為載體，結合曲線切線的幾何意義，學生能借助直觀初步理解函數的單調性與導數符號之間的關系；第二課時：在認識和理解函數的單調性和導數符號之間關系的基礎上，學生能利用導數研究函數的單調性，求函數的單調區間。高考備考階段（1課時）學生對用代數法和導數兩種方法研究函數的單調性有了比較全面和系統的認識。

四、典型案例設計

必修時期：必修一，函數的單調性（概念課）；選修時期：選修2-2，導數的應用；高三復習時期，專題復習，函數的單調性。（略）

五、反思與改進

首先，重視函數的單調性在高中數學中的指導性地位，要不失時機地滲透和鞏固，以加深學生對其重要性的認識；其次，把握教學中的“度”，最好不要在細枝末節處“折騰”；再次，進行單元教學設計可大可小，要用整體把握的觀點指導教學；最后，教學中要認識到“代數法”和“導數法”處理函數單調性的側重點和對學生能力培養的側重點，切不可“厚此薄彼”。