關于分數階擴散方程的系數反問題

張 維，嚴春梅，文 進

(成都理工大學 管理科學學院，四川 成都 610059)

0 引 言

Ω 是Rn上的一個有界域，n ≥1，并且具有光滑的邊界Ω.考慮如下初邊值問題，

其中，Γ 為Gamma 函數，滿足，

如果α ＞0，則滿足?－1 ＜α ＜?，? ∈N.當α= 1，2 時，此算子相當于拋物線和雙曲線方程.

式(1)是非均勻介質中的反常擴散模型，可以由連續(xù)時間隨機游動得到.有研究認為，分數階擴散方程是不常用的，它包括了分數階擴散方程的一個參數階α.顯然，它違反了高斯在實驗中的普遍情況，不遵循高斯預測［1］.文獻［2－ 5］對初邊值問題(1)～(3)也有所研究，例如，在p ∈C(Ω—)和p ≤0 在Ω 上的條件下，有如下結論:

1)當0 ＜α ＜1 時，如果a ∈H2(Ω)∩(Ω)，方 程 存 在 唯 一 解，u ∈ C(［0，∞);H2(Ω) ∩(Ω)).此外u ∈C(［0，∞);L2(Ω)).

2)當1 ＜α ＜2 時，如果a ∈H2(Ω)∩(Ω)，方程存在唯一解，u ∈C(［0，∞);H2(Ω)∩(Ω)∩C1(［0，∞);L2(Ω)).此 外，u ∈C(［0，∞);L2(Ω)).

固定a ∈H2(Ω)∩(Ω)，由u(p，α)= u(p，α)(x，t)表示為式(1)～(3)的解.所給系數p 的初邊值問題稱為正問題.實踐中，系數p 和分數階導數的階α 經常是未知的，必須通過解的可用數據來確定.這就是一個系數反問題.

對于當α = 1，2 時的系數反問題，即雙曲線和拋物線類型的偏微分方程，可利用由Bukhgeim 和Klibanov 創(chuàng)建的方法［6］，其方法是求解偏微分方程反問題的常用方法，其基于Carleman 估計的加權L2-估計.然而，對于分數導數，αN 并不適合分部積分法的一般步驟，所以對于分數階擴散方程(1)，不能直接證明Carleman 估計.當α = 1/2，1/3時，在一維的情況下，可以減少偏微分方程(1)中導數x，t 是自然數的階數，建立Carleman 估計.Cheng［7］證明了在一般情況下，當α = 1/2 時的Carleman 估計，但是對于一般的α，Carleman 估計的證明仍然是很難的.因此，除α = 1/2 時或其他特殊的α 值以外，即使在一維情況下，系數反問題都沒有結果.

本研究的目的是通過數據u |w×(0，T)(T ＞0，w?Ω 是恰當的子域)來證明式(1)中系數反問題，p(x)，x ∈Ω 和α ∈(0，1)∪(1，2)，的唯一性.所提供的數據，u|w×(0，T)不僅能夠確定p(x)，還能確定階數α.

1 符號與引理

對于任意給的常數M ＞0，光滑函數η，有，

引理1 如果A 隨著增長階，‖Cos(s)‖?(x)≤Meθs，s ≥0，生成一個余弦算子函數Cos，對于分數階擴散問題，α

t φ(t)= Aφ(t)，t ＞0，φ(0)= a，α∈(0，2)，是適定的，其解算子滿足增長階‖Sα(t)‖?(X)≤Mαeθ2/αt，t ≥0，表達式為，

這里的內核Kα定義是依賴以下的Wright 函數Φγ，

引理2 α ∈(0，2)，f(t)，t ≥0 是在Banach 空間X 中的函數且滿足，‖f(t)‖≤Meθt，t ≥0.f 隨著式(8)定義的核Kα轉換，定義為，

引理3［9］如果0 ＜α ＜2，β 是任意的常數，μ是任意的實數，滿足則對于任意的p ≥1，有以下展開式，

2 定理與證明

定理1 α，β ∈(0，1)∪(1，2)，假定式(5)、(6)成立，且p，q ∈UM.

1)如果在w ×(0，T)中，u(p，α)= u(q，α)，則在Ω 中，p = q.

2)假設a ≤0，或者a ≥0，或者a ≠0.如果在w ×(0，T)中，有u(p，α)= u(q，β)，則在Ω 中，有α= β 且p = q.

證明 令w = w(p)是以下方程的解:

由式(5)和p ∈W1，∞(Ω)，可以得到，

由引理1，當x ∈Ω 且t ＞0 時得，

和

假設，

由解t 的解析性［10］，可得，

因此，

對任意的x ∈w，由引理2 得，

由式(13)和p，q ∈W1，∞(Ω)，在Ω 中可以得到p = q.因此定理1 的第一部分得到證明.

假設在w × (0，T)中，u(p，α)= u(q，β).由解t 的解析性可得，

因 為，p ∈ W1，∞(Ω)， 通 過(Apu)(x) =－△u(x)－ p(x)u(x)和D(Ap)= H2(Ω)∩(Ω)，定義一個算子，Ap∈L2(Ω).設{λk}k∈N和{μk}k∈N是算子Ap和Aq所有特征值的集.注意λk，μk＞0，且從L2(Ω)到 它 自 身 是 有 界 的.則，{φkj}1≤j≤mk和{Ψkj}1≤j≤nk，k ∈N 是Ker(Ap－ λk)和Ker(Aq－ μk)的標準正交基，每一個{φkj}k∈N，1≤j≤mk和{Ψkj}1≤j≤nk在L2(Ω)中都是標準正交基.(·，·)是L2(Ω)中的內積.則有，

u(p，α)(x，t)

和，

由式(5)知級數在C(［0，∞);H2(Ω)∩(Ω))中是收斂的.

由引理3，當t →∞時可得，

和，

其中，Γ(1－α)≠0，且－1 ＜1－α ＜1，1－α ≠0.

此外，在Ω 中易得，

和，

由式(14)，當t →∞時有，

| (A－1pa)(x)| =| b(x)| ＞0，x ∈Ω.

同理，對于x ∈Ω，有| (A－1qa)(x)| ＞0.固定，和且cp≠0，cq≠0.由式(15)，當t →∞時得，

若α ≠β，不失一般性，假設α ＜β，等式兩邊同乘以tα得，

當t →∞時，由tα－β，tα－2β→0 可得cp= 0，矛盾.因此，α = β.由此，定理1 第二部分的證明簡化為第一部分的證明，即定理得證.

3 結 論

本研究考慮分數階擴散方程系數反問題，討論了空間系數p(x)，x ∈Ω 的反問題并通過數據u|ω×(0，T)確定分數階導數的階數α，并證明了p(x)，x∈Ω 和α ∈(0，1)∪(1，2)的唯一性.

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［9］Podlubny I.Fractional differential equations［M］.San Diego，CA:Academic Press，1999.

［10］Sakamoto K，Yamamoto M.Initial vale/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems［J］.Math Anal Appl，2011，382(1):426－447.