基于字典學習的殘差信息融合圖像去噪方法?

董明堃，蔣愛民，孫 娟

（河海大學物聯網工程學院，常州213022）

基于字典學習的殘差信息融合圖像去噪方法?

董明堃，蔣愛民，孫 娟

（河海大學物聯網工程學院，常州213022）

傳統去噪算法只考慮從含噪圖像中恢復出圖像信息，然而對去噪后殘差信號的利用卻并未加以重視。針對圖像去噪后殘差信號中包含有用信息的特點，提出了一種基于字典學習的殘差信息融合圖像去噪方法。首先使用字典學習方法對單幅含噪圖像進行去噪；然后對首次降噪后的殘差圖像進行圖像塊篩選；再對篩選出的圖像塊再次進行去噪處理；最后在小波域實現兩幅圖像的融合得到最終的去噪圖像。實驗結果表明，與傳統基于字典學習的去噪方法相比，所提方法能夠進一步提取殘差信號中的圖像特征信息，在峰值信噪比和結構相似度上都有所提升。特別是對一些細節較為復雜的場景圖像，具有更好的去噪效果，從而證明了殘差信號對于圖像去噪的重要作用。

圖像去噪；字典學習；圖像殘差；稀疏表示；小波融合

1 引 言

在許多圖像應用領域中，人們需要高質量的清晰圖像。然而在數字圖像的獲取和傳輸過程中，不可避免地受到噪聲干擾，因此圖像的去噪技術成為提升圖像最終視覺質量最重要的步驟［1］。

人們通常將含噪圖像表示為Y＝X＋N，其中Y表示含噪圖像，X表示原始的清晰圖像，N表示疊加在清晰圖像之上的噪聲。對于任意的含噪圖像Y，去噪處理可以被看做為將Y分離成一個去噪圖像＝?1（Y）和殘差圖像E＝Y－?1（Y）的過程。針對此種問題，人們一直在探索新的處理方法，逐漸形成了幾個大的類別。一般來說，根據圖像的表示方法不同，圖像去噪方法可以大致歸結為三類：空間域去噪、變換域去噪和字典學習去噪［2］。其中，空間域方法包括局部和非局部濾波，它們的主要區別在于濾波過程中所依據的篩選準則是空間距離約束還是相似性約束。變換域和字典學習方法主要是考慮將圖像變換到其它域中。兩者的不同點在于變換域使用固定的基函數去表示圖像；而字典學習的方法則放棄了正交基函數，轉而利用冗余字典表示圖像信息。

自稀疏表示理論形成以來，它已被廣泛用于各類圖像處理任務之中。基于稀疏表示的去噪算法一般包含兩部分：第一部分，利用含噪圖像訓練表示所需的冗余字典；第二部分，利用訓練所得字典獲取線性表示的系數，從而獲得去噪結果。

一些研究者致力于分析不同噪聲（如混合高斯噪聲［3］，乘性噪聲，高斯乘性混合噪聲［4］）環境下的稀疏去噪算法。與此同時，另一些學者則更關注于稀疏去噪算法的運算結構優化與改進（如字典更新和學習的碼字同步優化［5］、基于逐個原子更新學習過完備字典［6］等）。總之，以上這些研究的最終目的都是要解決含噪圖像的去噪恢復問題。

在眾多的基于稀疏表示的去噪算法中，最為典型的就是K－SVD去噪算法［7］。許多人結合其他思路對該方法進行了許多改進，以進一步提升其降噪效果，例如針對圖像塊間相關性結合非局部均值（Non－localmeans，NLM）的算法改進［8］等等。

一般情況下人們主要關注的是噪聲去除方法的研究。更確切的說，是更加關注如何有效使用原始含噪圖像以最大限度地提高去噪效果，但是忽略了殘差信號中同樣包含有原始圖像信息。所提方法主要針對去噪后殘差中所殘留的信息進行提取，并與之前的重構圖像進行融合，以進一步提升去噪效果。與此同時，對于所增加的計算量，提出的算法對運算結構進行了優化以提高運算速度。

2 基于字典學習的殘差融合圖像去噪方法基本思路

Dominique Brunet等人在2009年曾經對于圖像去噪所得殘差圖像的用途進行過分析，對重構圖像和其與原始含噪圖像的殘差進行了一系列測試，其中包括獨立性測試、Pearson相關系數測試、G－test最大似然比顯著性測試、K－S（Kolmogorov－Smirnov）測試等［9］。測試結果完全展現了殘差與重構圖像之間的相關性，以及其所含有的有用信息。為了實現去噪圖像質量的進一步增強，需要對殘差圖像進行進一步的去噪以提取殘留的圖像信息。

所提出算法的計算結構可以表示成下式：

其中，Y表示原始含噪圖像（如圖1（a）），?1（Y）指對原始含噪圖像Y進行去噪處理后所得的圖像（如圖1（b）），殘差圖像E（如圖1（c））是經過去噪處理?1后所得的殘差圖像，即E＝Y－?1（Y），?2指針對殘差E的信息提取或去噪處理，ξ（Y）即為最終合成的圖像。對于原始含噪圖像和殘差圖像的去噪重構（即?1、?2），均使用字典學習算法進行處理。

圖1 去噪處理各階段所對應圖像示例

2.1 K－SVD算法去噪

在稀疏表示理論中，信號可以由冗余字典中原子的線性組合所表示。對于冗余字典，每個信號的表示并不唯一，因此實際中常常假設表示系數中含有大量的0，即信號可由字典中的原子稀疏表示。信號稀疏表示中的字典可以由各類固定基函數組合而成，但更為高效的方法是由信號訓練出所需字典，這類字典更能很好地表征信號本質特征。因此，選擇一個合適的字典學習算法是各類基于稀疏表示的去噪算法的關鍵。

給定一組信號yi，用其構成信號矩陣Y，則基于字典學習的去噪問題可以歸結為如下形式：

這里的D∈Rs×n表示信號稀疏表示所需的冗余字典，dk表示字典中的第k個原子，μij表示拉格朗日乘子，Y為原始含噪圖像，Rij用于從圖像Y中提取第（i，j）個圖像塊，aij為圖像中第（i，j）個圖像塊的稀疏表示系數。

為了解決上述問題，可以采用K－SVD字典學習算法提取去噪所需的冗余字典。該算法采用迭代方式不斷更新字典中的原子和稀疏表示系數，每一次迭代包含以下兩個主要步驟：

稀疏編碼：使用已獲得的初始字典，計算每個圖像塊的稀疏表示系數，該問題表示如下：

這里，C表示一個標量參數，σ表示圖像噪聲的標準差。對于式（3）所示的最優化問題，可以利用正交匹配追蹤（Orthogonal matching pursuit algorithm，OMP）算法等稀疏編碼算法求解。

字典更新：使用循環方式更新冗余字典D中每一個原子dk。對于需要更新的dk，原始優化問題可以表示為：

aij（m）表示系數矩陣的m行中的非零系數所組成的行向量。（4）式可以改寫為：

其中，

為了更新原子dk，對Ek進行奇異值（SVD）分解Ek＝UΔVT。這里，U和.V.均為酉矩陣，Δ是對角陣。不失一般性，假設所有奇異值按升序排列在對角線上。那么，U（：，1）即為最優解，Δ（1，1）V（：，1）即為稀疏表示系數的最優值（k）。

2.2 平行字典更新

使用K－SVD算法對含噪圖像進行去噪處理，其主要缺點就是每次循環中均需進行奇異值分解，當信號維數較高時，所需計算量較大。為了減少計算規模，在K－SVD算法中的字典更新部分，提出使用平行原子更新字典學習（Parallel Atom－Updating Dictionary Learning，PAU－DL）的方法。考慮到總的殘差矩陣，

定義子矩陣Am＝dmaij（m），那么E可以分解為：

n為字典的原子數目，為了更新Ak，已經更新的A1，...，Ak－1被用于計算部分殘差Ek，然而余下的子矩陣Ak＋1，...，An并沒有被更新。為了解決殘差矩陣每次迭代只有部分更新的問題，Mostafa提出了PAU－DL算法，對基于K－SVD的去噪過程進行運算結構的優化。為了更新每一個子矩陣Ak，需要計算部分殘差矩陣Ek。可以看出此殘差矩陣可以在迭代的運算過程中不斷更新。首先使用給定字典D和稀疏系數aij計算總的殘差E＝RijY－Daij。然后可以計算部分殘差矩陣Ek＝E＋Ak，隨后將第k個子矩陣Ak更新為，則殘差矩陣被更新成E＝Ek－。如此便實現了K－SVD算法的一次迭代計算，且減少了迭代過程中的運算量。

2.3 基于相似度的殘差圖像截取

在對含噪圖像使用PAU－DL算法進行去噪處理之后，含噪圖像與去噪后圖像間的殘差中仍然保留著部分圖像結構信息，例如原始圖像的紋理、邊緣信息等。這些信息可以從殘差中提取出來，用于重構圖像。由于在殘差圖像中所包含的噪聲量遠大于圖像信息量，如果單純使用PAU－DL算法對殘差圖像進行去噪處理，必將會引入大量噪聲［10］，往往并不能取得很好的去噪效果。因此，在其后的處理中，探索利用殘差圖像與重構圖像之間的相似性［11］進行進一步的去噪處理。

度量向量間的相似性有很多種方法，例如常用的歐幾里得距離（Euclidean Distance）、曼哈頓距離（Manhattan Distance）、馬氏距離（Mahalanobis Distance）、切比雪夫距離（Chebyshev Distance）以及向量空間余弦相似度（Cosine Similarity）等。由于幾何中夾角余弦可以用來衡量兩個向量的方向差異性［12］，考慮到圖像塊紋理的方向性特征，選擇使用余弦相似度度量。對于重構圖像和首次降噪后的殘差圖像，將兩者的圖像塊轉化為列向量，計算對應列向量之間的余弦相似度，

其中，eij表示由殘差圖像第（i，j）個圖像塊轉化而來的列向量，xij表示由去噪后圖像的第（i，j）個圖像塊轉化而來的列向量。借鑒文獻［12］中的思想，通過對夾角余弦設置一個閾值ε，

將殘差圖像塊矩陣中那些不相似的圖像塊所對應的列向量置零，保留符合條件（10）的列向量，從而篩選出與重構圖像相似度較高的圖像塊，將殘差中占比重較大的噪聲圖像塊直接濾除。利用這一方法篩選出的圖像塊所含有用信息較多，之后便可針對這些篩選出來的圖像塊進行單獨的去噪處理。相較于直接使用殘差圖像進行信息提取，這種方法不僅大大減少了計算量，而且有效降低了大噪聲對后續去噪處理的影響，進一步提升了去噪效果。

2.4 重構圖像融合

在圖像處理過程中，圖像融合仍占有重要地位，其主要目的就是充分利用多個被融合圖像中包含的冗余信息和互補信息，恢復圖像。

借鑒基于小波分析的圖像融合思想，所提出的方法使用小波分解方式處理降噪后的重構圖像和基于殘差相似塊重構的圖像，實現兩幅圖像的融合［13］。對此，可以采用Dauchies8小波對兩幅重構圖像進行變換，將其分解到不同的尺度上［14－15］。對于去噪后的殘差圖像而言，其高頻部分含有較多的噪聲信息，所以直接將其剔除，得到低頻圖像。將低頻圖像與的低頻部分進行疊加，再與的高頻部分進行小波逆變換，從而恢復出最終的去噪圖像。綜上所述，所提出的去噪算法基本流程如下：

輸入：含噪圖像Y。

輸出：最終去噪圖像。

（1）將DCT字典作為初始D，初始化殘差字典D0，迭代次數J，迭代收斂閾值ε。

（2）含噪圖像的去噪處理，迭代J次：

a.稀疏編碼：給定D，利用稀疏編碼算法求解稀疏表示系數。

b.字典學習：利用PAU－DL算法更新字典D。

3 實驗與分析

為了驗證所提出的去噪方法的性能，對各類圖像進行了測試，測試所采用的圖像為標準的512× 512灰度圖像：Goldhill，Couple，Man和Bridge。圖像中所添加的噪聲滿足高斯分布。對于每幅圖像和每組參數，均進行10次獨立的去噪處理，以驗證算法的平均去噪效果。初次去噪時字典原子個數設置為256，后續處理中字典原子個數設置為128。經過一些測試，可以將式（10）中的閾值設置為0.001。實驗中使用峰值信噪比（Peak Signal－to－Noise Ratio，PSNR）和結構相似度（Structural similarity index measurement，SSIM）這兩個指標衡量去噪效果，它們分別定義為：

式中X和Y分別表示清潔圖像和去噪后圖像，X（i，j）和Y（i，j）表示相應位置的像素值，Xj和Yj表示相應的第j個圖像塊，μ和σ分別表示圖像塊的均值和標準差，M和N指兩幅圖像尺度，σXj，Yj表示兩幅圖像塊的互相關，C1和C2表示正穩定性約束。

對于測試圖像Boats進行去噪處理，結果如圖2所示。

圖2 殘差去噪圖像（σ＝20）

可以看出首次去噪后的殘差圖像包含有原始圖像的一些有用信息，可用于進一步去噪處理。而基于殘差所重構的圖2（b）顯示出類似于原始圖像的結構。同時還對算法在不同噪聲強度下的去噪性能進行了分析，對于每張測試圖像，經過多次去噪測試，然后取數據均值，實驗結果與K－SVD算法的去噪結果進行了對比，如表1所示。

測試結果表明，相比于K－SVD去噪算法，所提出的新方法能夠提升絕大部分圖像的去噪效果，具有較為廣泛的應用價值。

表1 與K－SVD去噪算法在不同圖片和噪聲水平下的去噪后PSNR和SSIM數據對比

4 結束語

針對圖像降噪后殘差信號中常常含有有用信息的特點，提出了一種基于字典學習的殘差融合圖像降噪方法。該方法首先利用PAU－DL算法構建圖像的稀疏表示，然后再對首次降噪后的殘差圖像進行圖像塊篩選，從而將含有較大噪聲的圖像首先利用PAU－DL算法構建圖像的稀疏表示，然后再對首次殘差圖像進行融合。實驗表明，所提出的圖像降噪的新方法對于結構性較為復雜的圖像具有較好性能。

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Dictionary－Learning－Based Image Denoising Method Using Information Fusion of Residuals

Dong Mingkun，Jiang Aimin，Sun Juan
（College of Internet of Things Engineering，Hohai University，Changzhou 213022，China）

The traditional image denoising algorithms focus on how to restore image information，but it pays less attention to the effects of residual signals obtained after denoising.Since residual signals contain the useful information，a dictionary－learning－based image denoising algorithm using information fusion of residuals is proposed in this paper.This algorithm first applies the traditional dictionary－learning－based denoising approach on a noisy image.Then，some image patches are selected from the residual image obtained in the previous step.These image patches are further denoised.Finally，the denoised image obtained in the first step and the one attained by the residual image are fused in the wavelet domain.The experimental results show that，compared with traditional dictionary－learning－based denoising algorithms，the proposed approach can consequently extract feature information of images from the residual signals and improve denoising performance with respect to peak signal－tonoise ratio（PSNR）and structural similarity index measurement（SSIM）.The proposed algorithm is especially suitable to images containing complex scenario details and can achieve better denoising performance，which illustrates the important effects of residual signals for image denoising.

Image denoising；Dictionary learning；Image residuals；Sparse representation；Wavelet fusion

10.3969/j.issn.1002－2279.2015.01.017

TP391

A

1002－2279（2015）01－0058－05

國家自然科學基金（61101158）；中央高校基本科研業務費項目（2011B11214）

董明堃（1986－），男，安徽省淮北市人，碩士研究生，主研方向：數字圖像處理。

2014－07－18