空時二維相關非高斯雜波的建模與仿真

王崇輝　鄒鯤

摘 要： 在雷達信號處理中，脈沖之間存在時間相關性，不同距離單元的脈沖還存在空間相關性，因此在雜波建模中必須考慮其空時二維相關性。基于球不變隨機矢量的雜波建模方法能夠獨立控制雜波的幅度概率密度函數和雜波序列相關性，但該方法不能同時描述雜波的空時二維相關性，通過對該方法的分析，給出獲得空時二維相關的雜波建模方法，并通過計算機仿真，驗證了該方法的有效性。

關鍵詞： 雜波； 二維相關性； 球不變隨機矢量； 雷達信號

中圖分類號： TN958?34； TP391.4 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）15?0025?04

0 引 言

雜波的建模在雷達信號處理領域具有重要的理論和實踐意義[1]，這是因為雷達信號處理的目的是在雜波中檢測有用信號，而只有對雜波的統計特性充分了解，并建立合適的雜波統計模型，才能設計合適的信號檢測算法，并對算法進行性能評估。隨著雷達工作頻段的提高，在低掠射角（Grazing Angle）的條件下，尤其是在海面環境中，雷達雜波的幅度統計特性明顯偏離了瑞利分布，幅度概率密度函數（Probability Density Function，PDF）的尾部增大，表明雜波幅度高的部分概率增加[2]。研究表明，針對瑞利分布的常規信號檢測器在非高斯分布噪聲下的檢測性能會明顯下降。因此針對非高斯分布背景下的信號檢測算法是目前雷達信號處理領域研究的一個重點。

大量的實測數據和雜波產生的物理機理的研究表明，某個距離單元上的雷達雜波的基帶信號可以表示為復合高斯過程[3]或球不變隨機矢量（Spherically Invariant Random Vector，SIRV）。基于SIRV的雜波建模的優點在于能夠獨立控制非高斯雜波的幅度PDF和雜波序列的相關性。文獻[4?5]給出了基于SIRV的非高斯相關雜波的建模方法，利用該方法可以產生Weibull，K分布等常見非高斯分布相關雜波。但在實際雷達工作環境中，雜波序列不僅僅表現為時間的相關性，在不同距離單元上還表現為空間相關性[6]，這是由于雷達波束照射范圍內雜波大尺度的變化特性產生的。而文獻[5]給出的方法不能夠實現空間相關，這是因為雜波建模中的隨機變量[s]和零均值高斯矢量都是獨立產生的。

1 基于SIRV的非高斯雜波建模

雷達雜波建模的要求是雜波序列的邊緣概率密度函數和功率譜滿足指定要求。產生非高斯相關序列的方法主要有無記憶非線性變換[7]（Zero Memory Non Linear， ZMNL）和SIRV兩種方法。ZMNL方法是對相關高斯序列進行非線性變換，這種非線性變換是無記憶的，可以產生某些非高斯幅度分布，但非線性變換后的雜波功率譜會展寬，因此該方法適合描述具有弱相關的雜波序列，從而限制了該方法的應用；而基于SIRV的雜波建模是目前最具潛力的雜波模型，該模型的最大優點是可以獨立控制雜波序列的相關性和幅度PDF。SIRV可以表示為一個非負的實的隨機變量與一個復高斯矢量的乘積：

[c=τ×g] （1）

式中：隨機變量[τ]的PDF為[f（τ），]在SIRV中通常稱之為結構（texture）分量；零均值[N]維矢量[g]滿足聯合高斯分布[N（0，M），]其中[M]為協方差矩陣。

基于SIRV的建模方法就是要產生滿足PDF為[f（τ）]的隨機變量[τ]和滿足協方差矩陣為[M]的零均值高斯矢量。要獲得協方差矩陣為[M]的零均值高斯矢量，主要方法是考慮到[M]是Hermitian的，因此其對角化為：

[M=UΛUH] （2）

式中：矩陣[U]為酉矩陣；矩陣[Λ]為對角矩陣；對角線上的元素就是協方差矩陣的特征值，而矩陣[U]的列向量由這些特征值對應的特征矢量構成；上標[H]表示矩陣的共軛轉置。由此可以得到矩陣[A=UΛ12UH，]假定零均值白色高斯矢量為[w，]那么就可以得到矢量：

[g=Aw] （3）

顯然[EggH=EAwwHAH=M，]由此可以根據指定的協方差矩陣構造出相應的高斯分布矢量。獲得指定PDF的隨機變量[τ]的方法通常采用選舍法[8]（Rejection Method），該方法可以產生任意指定PDF的隨機變量。其基本方法是同時產生一對均勻分布的隨機變量[（x，y），]其中隨機變量[x]在[f（τ）]的支撐域內均勻分布，而隨機變量[y]在[f（τ）]的值域內均勻分布。如果滿足[y

以上方法可以用于某個距離單元內的雜波序列在相干處理間隔（Coherent Processing Interval，CPI）的脈沖回波雜波建模，其中序列長度[N]表示脈沖累積的數目。但如果要描述不同距離單元之間的脈沖相關性，上述方法就失效了，這是因為在SIRV雜波建模過程中，隨機變量[τ]和高斯矢量[g]是統計獨立的，兩個隨機變量[τ]之間，以及兩個高斯矢量[g]對應元素之間也是統計獨立的。

假定利用上述方法產生[K]個[N]維SIRV矢量，那么就構成了一個[N×K]的矩陣，表示為[C=[c1，c2，…，cK]，]其中[cK]為[N]維SIRV列矢量。假定[cK]滿足協方差矩陣[R]為[N]維方陣，該協方差矩陣描述了雜波一個CPI內的時間相關性。同樣，[cK]之間的協方差矩陣[S]為[K]維方陣，該協方差矩陣描述了雜波不同距離單元之間的空間相關性。而由上述SIRV產生方法，只能指定協方差矩陣[R，]而仿真得到的協方差矩陣[S]始終是單位矩陣，即上述雜波建模方法不能描述雜波的空間相關性。空間相關性可以表示為：

[Eck1ck2=Eτk1gk1nτk2gk2n=Eτ1τ2Egngn ≡0， 1≤n≤N；1≤k1，k2≤K] （4）

這說明，要使得雜波序列滿足時間相關性的同時，還要求滿足空間相關性，必須保證公式（4）右邊兩個因子不能恒等于零，也就是說產生SIRV過程中的隨機變量[τ]要滿足一定的相關性，而且高斯序列[gk]要滿足空時二維相關性。

2 空時二維相關高斯序列的產生

建立空時二維相關的高斯序列，本質上就是建立具有二維相關的高斯分布矩陣。這種矩陣的獲得方法很多，而本文給出一種較為直接的算法。假定如下的矢量化表示：

[vecGN×K=vecg1g2…gK=vecgH1gH2?gHN=g1g2?gK=gNK×1] （5）

該函數表示將[N×K]維矩陣[G]的列矢量首尾相連，構成一個[NK]維列矢量，如果假定[gk～N（0，R），][gn～N（0，S），]那么容易得到[g～N（0，T），]其中矩陣[T]為[R]和[S]的Kronecker乘積，是[NK]維方陣：

[TNK×NK=R?S=RSij] （6）

由于矩陣[T]是兩個協方差矩陣的Kronecker乘積，因此也是Hermitian的，可以利用類似式（2），式（3）的方法，得到滿足協方差矩陣[T]的高斯序列，然后利用式（5）的逆變換得到[N×K]維矩陣。

將變換前后的二維隨機序列的相關系數進行繪制，如圖1所示。在變換前，相關系數是一個delta脈沖形狀，說明序列在兩個方向上是不相關的。而經過上述處理之后，兩個方向的相關性得到了增強。

3 相關[τ]分量的產生

產生指定PDF，具有一定相關性的[τ]變量的方法則要復雜得多，這是因為當要考慮建立具有相關性的[τ]隨機序列時，必須指定多變量PDF。通常而言，[f（τ）]是比較復雜的，采用ZMNL方法是不合適的，有時甚至不可能實現。這是因為每一類型的[f（τ）]惟一對應一種ZMNL方法。本文給出了一種較為簡單的方法，該方法的基本思想是考慮到滿足某個分布的隨機變量的排序不會改變其幅度分布，但會改變相關性，因此可以先獲得無相關性的隨機序列，經過適當的排序，得到相關的序列，具體方法如圖2所示。

圖1 相關系數對比

圖2 相關[τ]分量的產生

首先是利用選舍法獲得幅度分布滿足[f（τ）]的隨機變量。由選舍法的基本原理可知，這些隨機變量之間是統計獨立的，在時序上沒有任何相關性。同時，還考慮到隨機變量在時序上調換位置，而不改變變量的大小并不影響幅度分布的規律。因此可以對其重新排序，使得在時序上滿足某種相關性。由此可見要獲得這種相關性，本質上就是要獲得時序排列的方法。

本文假定獨立同分布的高斯分布隨機序列是可以獲得的，考慮到高斯分布的線性變換仍然是高斯分布。值得指出的是[f（τ）]一般都是非高斯的，因此利用選舍法得到的隨機序列經過線性濾波器，輸出的幅度分布可能不再滿足[f（τ），]因此可以將獨立同分布的高斯分布序列通過線性濾波器，得到相關的高斯分布隨機序列。輸出高斯序列的相關性與濾波器的頻率響應存在對應關系。對該相關高斯序列進行排序，就可以得到相關序列與順序序列之間的位置映射關系[P：]

[P：1，2，…，K?k1，k2，…，kK] （7）

隨機序列的排序過程，就是位置的映射過程，這種映射是一一映射，也是滿射，因此其逆映射是存在的，定義為[P-1。]將這個逆映射作用于排序后的[τ]序列，就可以得到滿足某種相關性的[τ]序列，其相關性與高斯序列的相關性存在某種關系，這種關系的確定較為復雜，但通過計算機仿真驗證發現，高斯序列的相關性越強，獲得的[τ]序列的相關性也越強。

圖3給出了滿足某種PDF的隨機序列在變換前后的波形圖。從波形圖可以看出，改變隨機序列的位置，可以得到滿足某種相關性條件，同時不改變幅度分布特性。

圖3 位置映射前后的序列波形

為了考察[τ]序列經過位置逆映射之后的相關性與相關高斯序列的相關性之間的關系，假定高斯序列滿足的相關系數為對稱指數分布：[ρ（m）=exp（-bm）]，其中，參數[b]控制了序列的相關性，[b]越大序列的相關性越小，如圖4中虛線所示。

圖4 高斯序列和[τ]的相關系數比較

圖4給出了[m=1，2，3]時的相關系數隨著[b]的變化規律。利用前述方法得到相關[τ]序列，其相關系數隨[b]的變化規律如圖4中實線所示。可以發現，[τ]序列經過位置變換之后，具有與高斯序列相接近的相關性，即隨著[b]的增大，[τ]序列的相關性也減弱。但與高斯序列相關性比較可以發現，其相關系數比高斯序列的相關性弱，這主要是由于在位置變換這種逆映射過程中，等價于某種非線性變換過程，從而導致了功率譜的展寬，使得相關性減弱。

4 結 論

雜波序列通常表現為空時二維相關性，在時間方向上反映了CPI內某個距離單元回波之間的相關性，而不同距離單元的回波相關性則反映了雷達天線波束照射區域內的場景結構，而這種結構也導致了雜波序列具有空間相關性。已有的基于SIRV的雜波建模方法，無法描述雜波序列的空間相關性，這是由其產生方法決定的。

本文通過設計空時二維相關的高斯序列，以及采用位置映射的方法獲得空間相關的[τ]序列，可以產生基于SIRV模型的空時二維相關的雜波序列。計算機仿真分別驗證了高斯序列和[τ]序列的相關性。但本文并沒有給出[τ]序列的相關函數與高斯序列相關函數之間的顯性關系，這部分內容將是下一步研究的重點。

參考文獻

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