嫦娥三號軟著陸的軌道設計與控制優化

梁翠萍 孫一銘 岳曉峰 董曉云

（河南師范大學，河南 新鄉 453007）

1 模型假設

1）月球表面附近沒有大氣，著陸器的動力學模型中沒有大氣阻力項。

2）軟著陸過程一般在幾百秒的范圍內，所以諸如月球引力非球項、日月引力攝動等因素均忽略不計，該過程可以在二體模型下描述。

3）主減速發動機的推力在主減速階段大小恒定為7500N。

2 模型的建立與求解

2.1 針對著陸準備軌道近遠月點的位置及速度問題模型的建立與求解

2.1.1 模型的建立與求解

近月點速度

由火箭反射及其變軌的理論知識，可知火箭在不同的軌道的重合位置上速度是相等的。同理，位于橢圓準備軌道上的近月點的速度等于圓周繞月軌道經過該點時的速度。物體做圓周運動時滿足：F向＝m

由分析可知，此時的向心力只有萬有引力，所以有：F向＝F萬＝G

其中，r為近月點距月心的距離，M為月球的質量，m為著陸器的質量，G為萬有引力常數。

2.2 針對嫦娥三號著陸軌道及6個階段最優控制問題模型的建立與求解

2.2.1 主減速階段的著陸軌道及最優控制策略的求解

（1）模型建立

這一過程可以在二體模型下描述。其中為σ月球質心，x軸方向為月心指向著陸器的初始位置，y軸方向為初始位置著陸器速度方向。

其動力學方程如下：r＝v；θ＝ω；v＝（F/m）sinψ－μ/r2+rω2；

ω=-（（F/m）cosψ+2vω）/r；m=-F/Isp

在上式中r為著陸器與月心距離，v為著陸器徑向速度，θ為著陸器極角，ω為著陸器極角角速度，μ為月球引力常數，F著陸器制動發動機推力，m為著陸器質量，ψ為制動發動機推力方向角，其定義為F與當地水平方向夾角，Isp為制動發動機比沖。

根據動力下降段的起點位置即近月點的位置可以確定動力學方程初始條件，如下

其中rp，ra分別為近月點和遠月點的半徑。

終端條件為到達高度為 3km 的位置，即：rf＝R＋3km；v＝57m/s

其中R為月球半徑。優化變量為制動發動機推力方向角ψ（t）。優化的性能指標為在滿足初始條件和終端條件的前提下，使著陸過程中燃料消耗最少，即：

（2）模型求解

求解DACA算法應用過程的具體步驟如下：

1）設置初始參數，包括螞蟻數 num＿ant，循環次數 num＿clc，揮發系數ρ，調節系數，所有路徑信息素量初值τ0，螞蟻初始位置。初始化數據如下：rp＝1752.013km，ra＝1837.013km，R＝1737.013km，m0＝2400kg，F＝7500N，Isp＝2940m/s

用函數逼近法進行參數化的相關參數設置為：前面已經說明將軌跡離散化為9段，那么待優化參數共11個，即10個推力方向角和1個終端時刻tf。在用蟻群算法進行優化過程中需要確定這11個優化參數的搜索范圍。對于10個方向角，由經驗可知，推力方向角的變化范圍為：0°＜ψi＜90°，i＝1，2，…，10

對于終端時刻tf，根據齊奧爾科夫斯基公式和軟著陸初始條件，可由下式估計：tf=1-exp（（Vf－V0）/Isp）（Ispm0/F）

式中Vf和V0分別表示著陸器的終端速度和初始速度，經計算確定搜索范圍為：500＜tf＜700

十進制蟻群算法中的相關參數設置如下：

num＿ant＝1000，num＿clc＝50，K＝5，Q＝0.5，ρ＝0.2，τ0＝5

2）根據轉移概率公式計算每只螞蟻的轉移概率，然后依據賭輪原則為每只螞蟻選擇下一個路經城市。重復上述操作直至所有螞蟻均完成一次循環。

3）將每只螞蟻的路徑解碼為優化參數值，計算目標函數值，找出最好的前10只螞蟻的路徑。然后，計算依據信息素更新規則更新相關路徑上的信息素。

4）判斷是否滿足終止條件，不滿足則重復前三步，否則結束計算輸出結果。

根據算法最終求得終端時刻tf的最終優化值.為：573.13s。并且，嫦娥三號距離月心的距離隨時間的遞增呈現遞減趨勢（從1772000米降到1752000米），其下降速度也在不斷下降。

（3）結果分析

1）分析蟻群算法優化后的值，可以發現呈現遞增趨勢，符合現實，說明模型求解的正確性。

2）探測器距月心的距離隨時間的變化其下降的速度逐漸遞減，這是因為速度在不斷減小，所以距離變化的速度也在不斷的減小,符合實際。反映該模型結果的合理性。

3 模型優缺點

3.1 優點

1）我們的模型具有堅實可靠的數學和物理基礎，很多物理理論能夠簡明的解出所需求得的物理量，能夠快速滿足人們的需求。

2）模型充分考慮了能耗問題，找出了能耗最優的方法。

3.2 缺點

1）我們的模型因為追求高效，所以忽略了一些次要因素，模型建立的較為理想化。

2）我們在考慮問題時將一些次要的階段簡要考慮，沒有詳細分析次要階段。

［1］段佳佳,徐世杰,朱建豐.基于蟻群算法的月球軟著陸軌跡優化[J].宇航學報,2008,29(2):476-480.

［2］新華網.嫦娥三號落月在即解密如何實現月球軟著陸[OL].http://www.js.xinhuanet.com/2013-12/12/c_118520433.htm，2014-9-15.

［3］韓中庚.數學建模方法及應用[M].北京:高等教育出版社,2005:1-200.