高職微分方程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

唐平華

（江蘇省南京工程高等職業(yè)學(xué)校）

現(xiàn)如今，數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際社會(huì)問(wèn)題中的應(yīng)用越發(fā)廣泛。許多懸而未決的問(wèn)題，都可以利用數(shù)學(xué)建模進(jìn)行合理地預(yù)測(cè)。在此過(guò)程中要求學(xué)生要具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最關(guān)鍵的是學(xué)生必須能夠嫻熟地運(yùn)用微分方程。因?yàn)槲⒎址匠淌潜容^重要的數(shù)學(xué)工具，是解決數(shù)學(xué)模型的一種方法，因此在日常教學(xué)中就應(yīng)該將微分方程教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想相融合。

一、微分方程的概念及實(shí)際運(yùn)用

微分方程是一種用來(lái)描述數(shù)學(xué)語(yǔ)言的工具，作用是用來(lái)描述未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系，微分方程的解通常是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，是一個(gè)常數(shù)值。

現(xiàn)如今微分方程已經(jīng)融入生活的方方面面，比如城市環(huán)境污染問(wèn)題、社會(huì)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)問(wèn)題、交通模型等。由此可見(jiàn)微分方程與人類(lèi)的科技發(fā)展是密切相關(guān)的。

二、數(shù)學(xué)建模的概念及過(guò)程

1.數(shù)學(xué)建模的概念

將實(shí)際的問(wèn)題運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，從定量的角度去構(gòu)建數(shù)學(xué)運(yùn)算為基礎(chǔ)的研究模型。該模型需要通過(guò)對(duì)研究對(duì)象的深刻理解，在了解具體數(shù)據(jù)的同時(shí)，對(duì)其內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行研究，并通過(guò)求解然后再用專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言表述出來(lái)。

2.建模過(guò)程

數(shù)學(xué)建模在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用十分廣泛，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的要求是將研究對(duì)象具體化，在此過(guò)程中必須要對(duì)研究對(duì)象的信息充分了解，并分析出內(nèi)在規(guī)律，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分析并表述，因此，建模過(guò)程大抵需要經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：

（1）數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)備過(guò)程

充分了解研究對(duì)象的信息，明確主要意義，然后找出內(nèi)在的規(guī)律，最后用專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述。

（2）數(shù)學(xué)模型的假設(shè)過(guò)程

對(duì)研究問(wèn)題進(jìn)行假設(shè)簡(jiǎn)化，并根據(jù)對(duì)象的實(shí)際特征以及研究的目的，運(yùn)用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行假設(shè)。

（3）模型的建立過(guò)程

基于對(duì)研究問(wèn)題的假設(shè)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言設(shè)定問(wèn)題需要研究的變量及常量，利用數(shù)學(xué)工具構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

（4）模型的計(jì)算過(guò)程

利用科學(xué)合理的知識(shí)，對(duì)已經(jīng)構(gòu)建成功的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行細(xì)致的計(jì)算，并得出答案。

（5）模型的檢驗(yàn)過(guò)程

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的成功性，必須通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)判定，如果模型所得出的結(jié)果與實(shí)際相吻合，即表示數(shù)學(xué)模型構(gòu)建成功。相反，則需要通過(guò)分析，做出具體的修正。

三、微分方程與數(shù)學(xué)建模思想有機(jī)結(jié)合的具體辦法

1.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題

在學(xué)生掌握了一定的微分方程理論知識(shí)的前提下，將微分方程的運(yùn)用與實(shí)際的案例相結(jié)合，要求學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并使用微分方程對(duì)模型進(jìn)行求解。

例如，微分方程在人口增長(zhǎng)模型中的運(yùn)用，在此模型運(yùn)用中首先要設(shè)定人口變量N（t），然后根據(jù)馬爾薩斯理論得出函數(shù)表達(dá)式，得出函數(shù)dN（t）/dt=aN（t），其中a＞0 為常數(shù)，然后通過(guò)運(yùn)用具體的微分知識(shí)進(jìn)行解答。

2.利用計(jì)算輔助構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)如今多媒體教學(xué)已經(jīng)普及化，各個(gè)學(xué)校都構(gòu)建起了以多媒體教學(xué)為輔助的新型教學(xué)模式。因此在高職微分教學(xué)中，也要懂得利用這樣的資源，對(duì)教學(xué)模式進(jìn)行改革，在教學(xué)中采用多媒體輔助教學(xué)，可以在課堂上構(gòu)建許多具有現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)學(xué)模型，由于多媒體教學(xué)的即視感，可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考的主觀能動(dòng)性，并且由于數(shù)學(xué)模型的實(shí)際效應(yīng)，同樣可以使學(xué)生聯(lián)系實(shí)際去思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，在此過(guò)程中也可以培養(yǎng)起學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的實(shí)際操作能力。與此同時(shí)，學(xué)?？梢源罱ㄒ孕@網(wǎng)為基礎(chǔ)的互動(dòng)平臺(tái)，使師生在線交流，實(shí)現(xiàn)資源共享，利用Maple、Matlab 等軟件讓學(xué)生自主構(gòu)建起感興趣的數(shù)學(xué)模型，以此培養(yǎng)起學(xué)生利用微分方程解決實(shí)際數(shù)學(xué)模型的實(shí)際操作能力。

3.改變教學(xué)方法以討論教學(xué)為重點(diǎn)

微分方程是高級(jí)數(shù)學(xué)中十分重要的知識(shí)，但是也因?yàn)槠渲R(shí)的抽象性所以不利于學(xué)生理解。因此在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該摒除傳統(tǒng)的師本位教學(xué)，采取啟發(fā)誘導(dǎo)的教學(xué)模式誘發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)模式才有利于學(xué)生思維的發(fā)散，才能使學(xué)生更加積極地去學(xué)習(xí)，才能有效地培養(yǎng)學(xué)生將微分方程與數(shù)學(xué)建模思想相結(jié)合的科學(xué)素養(yǎng)。譬如，在教授一階微分方程的初級(jí)解題方法時(shí)，老師就應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生將一些實(shí)際的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如轉(zhuǎn)化成伯努利方程，再由伯努利方程逐步轉(zhuǎn)換為一階非齊次線性微分方程來(lái)進(jìn)一步求解。這樣良性的引導(dǎo)，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

［1]龔成通.大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題精講［M].華東理科大學(xué)出版社，2006

［2]張雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論及解題研究［M].高等教育出版社，2005.